Yaklaşım oranları için hiyerarşi teoremi?

İyi bilindiği gibi, NP-sert optimizasyon problemleri, PTAS'a sahip olmaktan, herhangi bir faktör içinde yakınlaştırılmaya kadar çok farklı yaklaşım oranlarına sahip olabilir. Arada, çeşitli sabitlerimiz var, , , vb. $O(\log n)$ $poly(n)$

Olası oranlar kümesi hakkında bilinenler nelerdir? Herhangi bir "yaklaşım hiyerarşisi" olduğunu kanıtlayabilir miyiz? Resmi olarak, ve fonksiyonları için yaklaşıklık oranıyla ilgili bir sorun olduğunu kanıtlayabilir miyiz ? $f(n)$ $g(n)$ $f(n)\leq \alpha < g(n)$

Bu durumda, , yaklaşım oranının tam olarak ilgili bir sorun olması mevcut mu ? $\alpha=O(1)$ $\alpha$

cc.complexity-theory approximation-hardness

— Jeremy Hurwitz
kaynak

Böyle bir teoremin kanıtı muhtemelen bilgeliğe benzer. Weizmann.ac.il/~oded/p_testHT.html . Bilinen yaklaşık bağlı ile ilgili bir sorun göz önüne alındığında , bağlı ile ilgili bir sorun elde etmek için muhtemelen bir çeşit dolgu kullanarak sorunu bir şekilde "daha kolay" hale getiriyoruz .

α

$\alpha$

f (α)

$f(\alpha)$

— Jeremy Hurwitz

O (\log n)

$O(\log n)$ ve sabit değildir.

p o l y (n)

$poly(n)$

— Tyson Williams

@TysonWilliams: Bence PTAS ve hiçbir yaklaşım arasında sabitler, log ve poli (n) vb olduğunu kastediyordu

— Suresh Venkat

F'yi en aza indirmek için bir -approximation değerini en aza indirmek için bir yaklaşımı olduğunda önemsiz dönüşümleri ekarte etmeniz gerekmez mi ?

α

$\alpha$

\sqrt{α}

$\sqrt{\alpha}$

\sqrt{f}

$\sqrt{f}$

— Suresh Venkat

Α = O (1) hakkında son sorunuzda, kutu paketleme, makine çizelgeleme (iris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html) gibi birçok sorun için sıkı sınır gösterilmiştir

— Gopi

Yanıtlar:

Bilinen ana örnekler yaklaşık bir hiyerarşi vardır: FPTAS EPTAS PTAS APX . Ancak yetersizlik için NPO-PB de vardır . $\subseteq$ $\subseteq$ $\subseteq$

Bunun gibi sonuçlardan yola çıkarak olası oranlar kümesi hakkında birçok sonuç var:

EPTAS FPTAS, olmadığı sürece, $P||C_{max} \in$ $\backslash$ $P=NP$

APX / NPO-PB-zor problemlerinin tanımlanması.

Bazı referanslar:

PTAS'TA: M. Cesati ve L. Trevisan. Polinom zaman yaklaşma şemalarının etkinliği üzerine, 1997.
NPOPB'de: V. Kann. Bazı NPO PB-tam maksimizasyon problemlerinin yakınlığına güçlü alt sınırlar

Ama en iyisi Karmaşıklık Hayvanat Bahçesi'ni kontrol etmek olacak çünkü bu örnekler hakkında daha fazla bilgi ve referans var, hatta Wikipedia

Ayrıca, yorumlarda belirtildiği gibi, olduğunda sıkı sınır , kutu paketleme, makine çizelgeleme gibi birçok problem için gösterilmiştir (bkz. İris.gmu.edu/~khoffman/papers/set_covering.html). $\alpha=O(1)$

— Gopi
kaynak

Suresh'in sorunun altındaki yorumu hala herhangi bir oranın mümkün olduğunu göstermek için yeterli olduğunu düşünüyorum. Buna ikna olmadıysanız, örneğin Boolean Kısıt Memnuniyeti Sorunlarına (CSP'ler) bakabilirsiniz.

Arkaplan: Bırakın artitesinin bir belirleyicisi . Max-CSP (P) örneği üzerindedir Boole değişkenleri . Değişmez herhangi bir değişken veya olumsuzlamasıdır. Örneğin oluşur şekilde her kısıtlamaları, burada $P: \{0,1\}^k \to \{0,1\}$ $k$ $n \gg k$ $x_1, \ldots, x_n$ $m$ $P(\lambda_1, \ldots, \lambda_k)$ $\lambda_i$ bazı gerçekler ve amaç, tatmin edici kısıtlamaların oranını en üst düzeye çıkaran değişkenlerin bir atamasını bulmaktır. Örneğin, Elimizdeki . Tanımlama fraksiyonu olarak tatmin mümkün girişler (için o eşittir $3SAT$ $P(x_1, x_2, x_3) = x_1 \lor x_2 \lor x_3$ $\rho(P)$ $2^k$ $P$ $3SAT$ $7/8$ ). Değişkenlere rasgele değerler atayarak herhangi bir Max-CSP'yi (P) yaklaşık bir faktör ile tahmin etmek (ve daha sonra koşullu beklentiler yöntemini kullanarak derandimize etmek) önemsizdir. Burada, yaklaşık oranların 1'den fazla olmayan pozitif gerçekler olduğu konvansiyonuna sahibiz. Max-CSP (P) 'yi bir faktör den daha iyi çözmek için NP zor ise, bir yüklemi Yaklaşmaya Dayanıklıdır (AR (yani, herhangi bir sabit, ). $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $\rho(P)+\epsilon$ $\epsilon > 0$

Herhangi bir AR yükleminin sıkı bir eşik değeri . Orada yüklemler olduğu bilinmektedir keyfi küçük olan yaklaşımı dirençlidir ve kabul, girişlerine eklenmiş olsa bile böyle devam . Örneğin, aşağıdaki makale böyle bir sonucu göstermektedir: $\rho(P)$ $P$ $\rho(P)$ $P$

Austrin ve Johan Håstad Per, Rastgele Desteklenen Bağımsızlık ve Direniş, SIAM Computing on Computing, cilt. 40, hayır. 1, sayfa 1-27, 2011.

Bu, paydası iki kişilik bir güç olan tüm rasyonel eşikleri halleder. Diğer eşikler için, her , ile bir AR yükleminin bulunduğu bir olduğunu gözlemleyin (çünkü kukla değişkenler ve kısıtlamalar eklemek her zaman mümkündür yaklaşık eşiği artırmak için önemsiz bir şekilde tatmin edici olanlar). $\alpha$ $\alpha' \leq \alpha$ $\rho(P) = \alpha'$

— Mehdi Cheraghchi
kaynak