Yalnızca noktalar arasındaki mesafeler verilen bir yapının minimum boyutunu belirlemenin en iyi yolu

Bu soruna bilgisayar bilimlerinden oldukça uzak bir fizik alanında rastladım, ancak CS'de incelenen soru türü gibi görünüyor, bu yüzden burada sormayı şansımı denedim.

Size nokta kümesi verildiğini ve noktaları arasındaki bazı mesafelerin bir listesini düşünün . Bu noktaları yerleştirmeniz gereken alanın minimum boyutsallığını belirlemenin en etkili yolu nedir? Başka bir deyişle, uzaklık kısıtlamalarını karşılayan bir dizi nokta olacak şekilde en küçük nedir ? için bir cevaptan eşit derecede memnun olurum , ancak bu daha zor görünüyor. d ı j k R k d ı j Cı$\{v_i\}_{i=1}^n$$d_{ij}$$k$$\mathbb{R}^k$$d_{ij}$$\mathbb{C}^k$

Mesafelerin sadece bazı sabit doğruluk ile eşleştirmesi ve gerçeklerle hesaplama sorunlarından kaçınmak için puanların sabit aralıklı bazı kafeslerdeki noktalarla sınırlı olması gerektiğini söylemekten mutluluk duyuyorum .$d_{ij}$$\epsilon$

Aslında, ve verildiğinde, böyle bir köşe kümesi kümesi olup olmadığı sorulursa , bu sorunun karar versiyonu için bir çözümden oldukça memnun . Önemsiz olarak problem NP'dedir, çünkü içinde bir dizi nokta verildiğinden , mesafe gereksinimlerini karşılayıp karşılamadıklarını kontrol etmek kolaydır, ancak bu sorun için alt-üstel zaman algoritmaları olması gerektiği düşünülmektedir. k { v i } R$d_{ij}$$k$$\{v_i\}$$\mathbb{R}^k$

En belirgin yaklaşım , her seferinde bir tane ek nokta ekleyerek ve her bir yinelemeye yeni bir uzamsal boyutun eklenip eklenmeyeceğini belirleyerek, -boyutlu yapıları yinelemeli olarak inşa etmeye çalışmak gibi görünmektedir . Buradaki sorun, mevcut yapıya bir nokta eklemenin birden fazla yolunun olduğu belirsizlikler ile karşılaşabileceğiniz gibi görünüyor ve daha fazla nokta eklemeye devam ederken hangisinin daha az boyuta yol açacağı belli değil.$k$

Son olarak, herhangi bir boyutta (yani üçgen eşitsizliğini ihlal eden) tatmin edilemeyecek mesafelerin listesini oluşturmanın kolay olduğunu bildiğimi söyleyeyim. Bununla birlikte, umursadığım örnekler için, her zaman tatmin edici bir nokta kümesinin bulunabileceği minimum sınırlı sayıda boyut olacaktır.

Bu soruna bazen düşük boyutlu Öklid uzaklık matrisi tamamlanması veya ağırlıklı bir grafiğin düşük boyutlu Öklid gömülmesi denir.

Saxe [Sax79] ve Yemini [Yem79], Bölme probleminden basit bir düşüşle bağımsız olarak, bu sorunun bir boyutta bile NP-tamamlanmış olduğunu gösterdi; yani, k = 1 için aşağıdaki problem NP-complete'tur :

k -boyutlu Öklid uzaklık matrisi tamamlama / k -dönük ağırlıklı bir grafiğin Öklid gömülmesi
Örnek :Girişleri ikili veya “bilinmeyen” olarak pozitif tamsayılar olansimetrik bir matris M.
Soru : M'deki bilinmeyen girdilergerçek sayılarla doldurulabilir, böylece M , k -boyutlu Öklid uzayındaki ℝ ^k noktalarının mesafe matrisi olurmu?
Eşdeğer olarak,
Örnek :Her kenarın ikili olarak yazılan pozitif bir tamsayı ağırlığına sahip olduğu bir G grafiği.
Soru : köşeler Can G yerleştirilirk -boyutlu Öklid uzay ℝ ^k böylece G'nin her kenarı için , iki uç nokta arasındaki mesafe kenarın ağırlığına eşittir?

Dahası, Saxe [Sax79] (3SAT'den daha fazla dahil edilen bir azalma ile) k -boyutlu Öklid uzaklık matrisi tamamlanmasının, M'deki bilinen tüm girişlerin her pozitif tamsayı sabiti için kısıtlama altında bile NP-sert kaldığını gösterdi. k . Özellikle, M'deki bilinen girişler tekli verildiğinde bile problem NP-tamamlanmış durumdadır. [Sax79] ayrıca yaklaşık gömme ile ilgili bazı sertlik sonuçları da içerir.

Bu arada, sorunun NP'de olması önemsiz olduğunu düşünmüyorum; k > 1 olduğunda bazı durumlarda irrasyonel koordinatlara ihtiyacınız olduğunu unutmayın . NP olarak biliniyor mu bilmiyorum.

Referanslar

[Sax79] James B. Saxe. K -uzayındaki ağırlıklı grafiklerin gömülebilirliği kuvvetle NP-zordur. In Communications, Kontrol ve Bilgisayar üzerinde 17 Allerton Konferansı Tutanakları . James B. Saxe'de da, s 480-489, 1979. Grafik Gömme sorunların iki makale , Bilgisayar Bilimleri Bölümü, Carnegie-Mellon Üniversitesinde, 1980.

[Yem79] Yechiam Yemini. Konum-konum problemlerinin bazı teorik yönleri. In Bilgisayar Bilimleri Vakıflar 20 Yıllık Sempozyumu (Focs) .:, S 1-8, Ekim 1979. DOI 10,1109 / SFCS.1979.39

$d$$n$$d$$n$