Aynı anda n giriş bitinin AND ve VEYA hesaplanması için gerekli ikili kapı sayısı

Aynı anda giriş bitinin AND ve OR değerlerini hesaplamak için gereken minimum ikili kapı sayısı nedir ? Önemsiz üst sınır . Bunun en uygun olduğuna inanıyorum, ama bunu nasıl kanıtlayabilirim? Standart geçit eleme tekniği burada çalışmaz, çünkü giriş değişkenlerinden herhangi birine bir sabit atanarak biri çıkışlardan birini önemsiz hale getirir. $n$ $2n-2$

Sorun ayrıca, Ingo Wegener tarafından "Boolean Fonksiyonlarının Karmaşıklığı" kitabında biraz farklı bir biçimde 5.12 alıştırması olarak verilmiştir: "Let . eleme yöntemi boyutunun sadece alt sınırını kanıtlayabilir. Daha büyük alt sınırları kanıtlamaya çalışın. " $f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$ $n+\Omega(1)$

cc.complexity-theory lower-bounds circuit-complexity

— Alexander S. Kulikov
kaynak

@Ryan: Soru VE ibaret değildir ait YA hakkında VE ama ve VEYA. Yine de Sasha'nın sorusunun cevabını bilmiyorum.

— Tsuyoshi Ito

@TsuyoshiIto Teşekkürler, bir şekilde yanlış ayrıştırmayı başardım. Bu kesinlikle önemsiz bir sorundur - biri

fazla avantaj elde etmek için diğer kapı türlerini kullanmayı hayal edebilir .

2 n - 2

$2n-2$

— Ryan Williams

@Sasha, önceki makalelerinizde olduğu gibi küçük örneklere (

gibi ) SAT çözümleyicileri uygulamayı denediniz mi?

n = 4

$n=4$

— Ryan Williams

@Ryan Evet, tabi. Bildiğimiz yani

. Bu kitaptaki işlev içindir ( tüm

giriş bitleri eşitse

). Bu

gibi büyür . Ve

büyüklüğünde bir devre oluşturmak kolaydır: ilk

için

hesaplaması

C_{3} = 3

$C_3=3$

C_{4} = 5

$C_4=5$

C_{5} \leq 7

$C_5 \le 7$

1

$1$

n

$n$

2 n - 3

$2n-3$

2 n - 3

$2n-3$

x_{i} \equiv x_{i + 1}

$x_i \equiv x_{i+1}$

(

kapı) ve daha sonra bunların (

kapı)birleşimini hesaplayın.

i = 1, \dots, n - 1

$i=1,\dots,n-1$

(n - 1)

$(n-1)$

(n - 2)

$(n-2)$

— Alexander S.Kulikov

@Tsuyoshi: Ben düşünüyorum

sorunun ikinci fonksiyon kapıları Sasha işlev olan (

) ile inşa edilebileceğini

XNOR kapısı (

) ve

AND kapıları XNOR'lara uygulanır.

2 n - 3

$2n-3$

f_{n} (x) = x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$f_n(x) = x_1\dots x_n \lor \bar{x}_1 \dots \bar{x}_n$

n - 1

$n-1$

x_{i}, x_{i + 1}

$x_i,x_{i+1}$

n - 2

$n-2$

— Marzio De Biasi

Yanıtlar:

Bu Blum ve Seysen makalesi yararlı olabilir:

N.Blum, M. Seysen. AND ve NOR Eşzamanlı Hesaplaması için tüm Optimal Ağların Karakterizasyonu . Açta Inf. 21: 171-181 (1984)

Ben düşündüm bunun için Blum & Seysen yöntemleri kullanılarak elde edilebilir bağlı düşürmek, ancak bu durum böyle değil gibi görünüyor. $x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots\bar{x}_n$ $2n-c$

— Vladimir Lysikov
kaynak

Blum ve Seysen gazetesinin herkese açık bir pdf versiyonu var mı?

— Marzio De Biasi

@ Vladimir, referans için teşekkürler! Makaleyi bulduğunda bu durumda yöntemlerinin uygulanabilir olup olmadığını kontrol etmeye çalışacağım.

— Alexander S.Kulikov

@ Vladimir, tekrar thans! Aslında, bu makale tam olarak sorumun cevabını daha da içeriyor: VE ve OR'yi aynı anda hesaplamak için

ihtiyaç duyulduğunu ve bu boyuttaki herhangi bir devrenin bağımsız olarak VE ve VEYA hesapladığını söylüyor (bu ilginç!). Ayrıca

olduğunu göstermek zor değildir .

2 n - 2

$2n-2$

C (f_{n}) \geq C (A N D, O R) - c \geq 2 n - c^{'}

$C(f_n) \ge C(AND,OR)-c \ge 2n-c'$

— Alexander S.Kulikov

@Sasha, evet, bu basit yapıyı kaçırdım. Bir şeyleri açıklığa kavuşturmak için, kağıtta AND ve NOR işlevleri göz önünde bulundurulur, bu nedenle AND ve OR için bir kapıyı değiştirerek ve

---

için

alt sınır elde

2 n - 2

$2n-2$

x_{1} \dots x_{n} \lor {\bar{x}}_{1} \dots {\bar{x}}_{n}

$x_1\dots x_n\vee \bar{x}_1\dots \bar{x}_n$

2 n - 5

$2n-5$

— Vladimir Lysikov

Sadece bir hatırlatma @SashaK. Cevabı beğenirseniz, lütfen oy sayısının altındaki onay işaretine tıklayarak "kabul edin".

— Suresh Venkat

Sorunuz, minimum karşılaştırma sayısını kullanarak bir listenin minimum ve maksimum değerlerini aynı anda hesaplama ile ilgili iyi bilinen soru ile ilgilidir. Bu durumda cevap . $3\lfloor n/2 \rfloor$

Üst sınırı kanıtlayan akıllı algoritma, karşılaştırmalardan biri hem minimum hem de maksimum hesapladığı için aldığınız aynı sınırla bir AND / OR devresine dönüşür.

Bununla birlikte, en azından monoton devrelerde (bir AND / OR devresi bir maks / dak algoritmasına dönüştüğü için) alt sınır (bir ters argüman tarafından verilir) çevrilmiş gibi görünmektedir. Bu, daha düşük bir bağlanmış ima . Belki de olumsuz argüman analiz edilerek sıkı bir alt sınır elde edilebilir. $3\lfloor n/2 \rfloor$

Üst sınır, "Algoritmalara Giriş" te görünür; burada, maks / min karşılaştırıcı devrelerinin boole girişleri için çalıştıklarında geçerli olduğunu gösteren kolay argümanı da bulabilirsiniz (uygun bir eşik kullanın). Alt sınır örneğin burada bulunabilir .

— Yuval Filmus
kaynak

Sasha'nın sorusuna dikkat edin, tüm 2-bit Boole fonksiyonları devreyi inşa etmek için kullanılabilir.

— Ryan Williams

Evet, alt sınırın tüm ikili fonksiyonlar durumuna nasıl çevrilebileceği açık değildir.

— Alexander S. Kulikov