Metrik TSP için yaklaşık algoritmalar

Metrik TSP'nin içinde yaklaştırabildiği ve polinom zamanında den daha iyi olamayacağı bilinmektedir . Üstel bir zamanda yaklaşık çözüm bulma konusunda bilinen herhangi bir şey var mı (örneğin, yalnızca polinom alanı olan adımdan az )? Örneğin, hangi zaman ve mekanda OPT'nin mesafesi daha fazla olan bir tur bulabiliriz ?$1.5$ 2, n1.1xOP$123\over 122$$2^n$$1.1\times OPT$

Sorunu çalıştım ve TSP'nin bilinen en iyi algoritmalarını buldum.

$n$ , köşe sayısıdır, , maksimum kenar ağırlığıdır. Tüm sınırlar, giriş boyutunun bir polinom faktörüne kadar verilmiştir ( ). Asimetrik TSP'yi ATSP ile gösteririz.$M$$poly(n, \log M)$

1. TSP için Kesin Algoritmalar

1.1. Genel ATSP

$M2^{n-\Omega(\sqrt{n/\log (Mn)})}$ zaman ve ile uzay ( Björklund ).$exp$

$2^n$ zaman ve boşluk ( Bellman ; Held, Karp ).$2^n$

$4^n n^{\log n}$ zaman ve uzay ( Gurevich , Shelah ; Björklund, Husfeldt ).$poly$

$2^{2n-t} n^{\log(n-t)}$ zaman ve için yer ( Koivisto, Parviainen ).$2^t$$t=n,n/2,n/4,\ldots$

$O^*(T^n)$ ( Koivisto, Parviainen ) ile herhangi bir için zamanı ve alanı .$O^*(S^n)$$\sqrt2<S<2$$TS<4$

$2^n\times M$ zamanı ve çoklu boşluk ( Lokshtanov, Nederlof ).

$2^n\times M$ zaman ve uzay ( Kohn, Gottlieb, Kohn ; Karp ; Bax, Franklin ).$M$

Metric TSP için bile, yukarıdaki algoritmalardan daha iyi hiçbir şey bilinmemektedir. Polinom alanı olan TSP için algoritması geliştirmek büyük bir zorluktur (bakınız Açık Sorun 2.2.b, Woeginger ).$2^n$

1.2. TSP'nin Özel Durumları

$1.657^n\times M$ zamanı ve Yönlendirilmemiş TSP için üssel olarak küçük hata olasılığı ( Björklund ).

$(2-\epsilon)^n$ ve sınırlanmış ortalama dereceli grafiklerde TSP için üstel alan, sadece grafik derecesine bağlıdır ( Cygan, Pilipczuk ; Björklund, Kaski, Koutis ).$\epsilon$

$(2-\epsilon)^n$ ve sınırlı maksimal derece ve sınırlı tamsayılı ağırlığa sahip grafiklerde TSP için boşluk, sadece grafiğin derecesine bağlıdır ( Björklund, Husfeldt, Kaski, Koivisto ).$poly$$\epsilon$

$1.251^n$ ve TSP için kübik grafiklerde uzay ( İwama, Nakashima ).$poly$

$1.890^n$ ve TSP için derece ( Eppstein ) grafiklerinde uzay .$poly$$4$

$1.733^n$ ve TSP için derece ( Gebauer ) grafiklerinde üstel alan .$4$

$1.657^n$ zamanı ve Yönlendirilmemiş Hamiltom Döngüsü ( Björklund ) için uzay .$poly$

$(2-\epsilon)^n$ ve en fazla Hamiltonian çevrimi olan grafiklerde TSP için üstel alan (herhangi bir sabit ) ( Björklund, Kaski, Koutis ).$d^n$$d$

2. TSP İçin Yaklaşım Algoritmaları

2.1. Genel TSP

P = NP ( Sahni, Gonzalez ) olmadığı sürece herhangi bir polinom zaman hesaplanabilir fonksiyon içinde yaklaştırılamaz .

2.2. Metrik TSP

$3 \over 2$ ün yaklaşım ( Christofides ).

P = NP ( Karpinski, Lampis, Schmied ) olmadıkça daha iyi bir oranla yaklaştırılamaz .$123\over 122$

2.3. Grafik TSP

$7\over5$ -oproximation ( Sebo, Vygen ).

2.4. (1,2) -TSP

MAX-SNP sert ( Papadimitriou, Yannakakis ).

$8 \over 7$ yaklaşım ( Berman, Karpinski ).

2.5. Sınırlı Boyutlu Metriklerde TSP

Sabit boyutlu bir Öklid uzayında TSP için PTAS ( Arora ; Mitchell ).

TSP, boyutlu bir Öklid uzayında ( Trevisan ) APX'i zordur .$\log{n}$

Sınırlı iki katlama boyutuna sahip metriklerde TSP için PTAS ( Bartal, Gottlieb, Krauthgamer ).

2.6. Yönlendirilmiş Üçgen Eşitsizliği ile ATSP

$O(1)$ yaklaşımı ( Svensson, Tarnawski, Végh )

P = NP ( Karpinski, Lampis, Schmied ) olmadıkça daha iyi bir orana yaklaşılamaz .$75\over 74$

2.7. Yasaklı Küçüklerle Birlikte Grafiklerde TSP

Düzlemsel Grafiklerde TSP için doğrusal zaman PTAS ( Klein ).

Minörsüz grafikler için PTAS ( Demaine, Hajiaghayi, Kawarabayashi ).

$22\frac{1}{2}$ ATSP için düzlemsel grafiklerde yaklaşım ( Gharan, Saberi ).

$O(\frac{\log g}{\log\log g})$ cins ve de ATSP için -approximation grafikler ( Erickson, Sidiropoulos ).$g$

2.8. MAKS-TSP

$7\over9$ -over9-MAX-TSP için yaklaşım ( Paluch, Mucha, Madry ).

$7\over8$ -MAX-Metric-TSP için yaklaşım ( Kowalik, Mucha ).

$3\over4$MAX-ATSP ( Paluch ) için yaklaşımı .

$35\over44$ -MAX-Metrik-ATSP ( Kowalik, Mucha ) için yaklaşım.

2.9. Üstel-Zamanlı Yaklaşımlar

MIN-Metric-TSP için -oproximation değerini süresinde , herhangi bir için üstel alanla hesaplamak mümkündür. , veya zaman içinde herhangi bir polinom alanıyla ( Boria, Bourgeois, Escoffier, Paschos) ).$(1+\epsilon)$$2^{(1-\epsilon/2)n}$$\epsilon\le \frac{2}{5}$$4^{(1-\epsilon/2)n} n^{\log n}$$\epsilon \leq \frac{2}{3}$

Herhangi bir ekleme ve öneriniz için minnettar olurum.

Held ve Karp'ın kesin algoritmasının "kesik" bir versiyonunu uyarlayarak , zamana (ve uzaya) de 1.1 yaklaşımı elde edilebilir . Burada konumların sayısıdır. Daha genel olarak, tüm için zamanında bir -oproximation bulunabilir . Bu gelen:0 ∗ ( 2 n$O^*(1.932^n)$$O^*(2^n)$( 1 + ε ) O * ( 2 ( 1 - ε / 2 ) n ) ε ≤ 2 /$n$$(1+\epsilon)$$O^*(2^{(1-\epsilon/2)n})$$\epsilon \le 2/5$

Nicolas Boria, Nicolas Bougeois, Bruno Escoffier, Vangelis Th. Paschos: Bazı grafik problemleri için üstel yaklaşım şemaları. Online olarak erişilebilir .

$\alpha$$\beta$$\alpha < \beta$$\gamma$$\alpha, \beta]$$\gamma$$\theta$$\gamma$$2^{n^{O(\theta)}}$$\gamma$(en azından sabit faktör aralığında), alt üstel zaman verilmiş olsa bile, yaklaşım oranındaki iyileşmeleri görün. Bilinen en iyi sertlik sonucunun SAT'dan verimsiz bir düşüşle olduğu, yani sertlik sonucunun yarı-polinom süresinde bulunmayan NP gibi daha zayıf bir varsayım altında olduğu çeşitli problemler vardır. Bu gibi durumlarda, kişi üstel zaman içinde daha iyi bir yaklaşım elde edebilir. Tek bildiğim grup Steiner ağacı problemi. Son zamanlardaki ünlü bir sonuç, benzersiz oyunlar için bir üstel zaman algoritması üzerine Arora-Barak-Steurer’in sonucudur: Bu sonuçtan çıkardığımız sonuç, eğer UGC doğruysa, SAT’dan UGC’ye düşürmenin biraz olması gerektiğidir. verimsiz, yani, SAT formülünden elde edilen UGC örneğinin boyutunun, parametrelerle belirli bir şekilde büyümesi gerekir.

Ağırlıklı sınırlı cins cinsi grafikler için en iyi çay kaşığı http://erikdemaine.org/papers/ContractionTSP_Combinatorica/ .