Minimum genişlikte ağaç ayrışmasının polinom zamanında yalın hale getirilmesi

İyi bilindiği gibi, grafiğinin bir ağaç ayrışması , aşağıdaki koşulları sağlayan her köşesi için ilişkili bir torbasına sahip bir ağaç oluşur : $G$ $T$ $T_v \subseteq V(G)$ $v \in V(T)$

her köşesi bir miktar torbasında meydana gelir . $G$ $T$
her kenarı için, kenarın her iki uç noktasını da içeren bir torba vardır. $G$
Her köşe için içeren torba bağlantılı bir alt ağacını neden . $v \in V(G)$ $v$ $T$

Ayrışmadan yalınlık adı verilen şu durumu da talep edebiliriz :

Çantalar her çifti için , ait , eğer ve ile , o zaman ya a) vardır tepe-ayrık içinde yolları , ya da b) ağaç bir kenar içeren düğümünden yolunda düğümü öyle ki ve set , tüm yollarıyla kesişir . $T_a$ $T_b$ $T$ $A \subseteq T_a$ $B \subseteq T_b$ $|A| = |B| = k$ $k$ $A-B$ $G$ $T$ $pq$ $a$ $b$ $|V(T_p) \cap V(T_q)| \leq k$ $V(T_p) \cap V(T_q)$ $A-B$ $G$

Robin Thomas , her zaman yalın olan minimum genişlikte bir ağaç ayrışması olduğunu gösterdi ve bu gerçeğin daha basit kanıtları, örneğin Patrick Bellenbaum ve Reinhard Diestel tarafından birkaç yazar tarafından sağlandı .

Grafiği verilen: Ne ilgilenen am şudur ve minimum genişliği ağaç ayrışma , biz minimum genişlik bulabilirsiniz yalın ağacı ayrışmasını polinom zamanda? $G$ $G$ $G$

Sözü edilen iki kanıt böyle verimli bir yapıcılık sağlamaz. Bellenbaum ve Diestel'in makalesinde, "Thomas teoreminin başka (daha yapıcı) kısa bir kanıtının P. Bellenbaum, Schlanke Baumzerlegungen von Graphen, Diplomarbeit, Universitat Hamburg 2000'de verildiği" belirtilmiştir. Ne yazık ki, makaleyi çevrimiçi olarak bulamadım ve Almancam o kadar da iyi değil.

— Bart Jansen
kaynak

Güzel soru. Minimum genişlikte bir ağaç ayrıştırması bulmak NP-Hard'dır, bu nedenle sorununuz biraz kötü durumdadır (görünür). Tahminimce bu sınırlandırılmış treewidth durumu veya yaklaşık anlamda isteyebilir.

— Chandra Chekuri

Ama onun durumunda o oluyor verilen bir min-width ağaç ayrışması ve o yalın yapmak için bir algoritma istiyor.

— Suresh Venkat

@SureshVenkat: Min genişliğinde bir ağaç ayrışması verildiğini anlıyorum, ancak bunun doğru olduğunu nasıl doğrulayabilirsiniz? Ayrıca, yalın bir ağaç ayrışımı, lokal olarak grafiğin farklı bölümlerinin tere genişliğine adapte olur, böylece küresel grafiğin optimal olan bir ağaç ayrışmasına sahip olmak, zor olan yerel parçaların tere genişliğini bulma sorununu ortadan kaldırmaz.

— Chandra Chekuri

Pürüzsüz ağaç ayrışmaları (tüm torbaların aynı boyuta sahip olduğu ve iki bitişik torbanın tam olarak bir tepe noktasıyla farklı olduğu) genel ağaç ayrışmalarından daha kolay işlenir ve her zaman pürüzsüz olan minimum genişlikte bir ağaç ayrışması olduğunu görmek kolaydır . Belki de bilinen yapılardan birini bunlarla kısıtlayarak verimli bir yapı elde edebilirsiniz. Her zaman düzgün ve yalın minimum genişlikte bir ağaç ayrışması var mı?

— Diego de Estrada

@ChandraChekuri Bir söz sorunu olarak ifade ederseniz doğrulama sorununun ortadan kalktığını varsayıyorum, ancak bir ağaç ayrışmasının size uyum sağlamak için yeterli bilgi vermemesi gerektiğini düşünüyorum. Ancak aşağıdaki soru akla yatkın olabilir: verilen bir ağaç ayrışmasını ağaç genişliğini artırmadan "yalın" hale getirmek için "yerel olarak" değiştirmenin bir yolu var mı?

— Suresh Venkat

P = NP olmadığı sürece problemin çoklu zaman çözülememesinin resmi bir nedeni. Belirli bir grafiğin üçlü genişliğini bulmanın NP-Hard olduğunu biliyoruz. Bir grafik verilen biz boyutu bir ayrık klik ekleyebilir yeni bir grafik oluşturmak için . Bir dakika genişliği ağaç ayrışma , aşağıdaki gibi elde edilebilir: bu tüm düğümler içeren tüm clique düğümleri ve diğer ihtiva eden bir torba ile iki düğüme sahiptir . Şimdi bu ağaç ayrışımını yalın hale getirmek, orijinal grafiğinin bir yan ürün olarak üçgenliğini verecek bir yağsız ağaç ayrışması bulmayı gerektirecektir . $G$ $V(G)+1$ $G'$ $G'$ $G$ $G$ $G$

— Chandra Chekuri
kaynak

İyi bir nokta. Yalın ağaç ayrışmalarını bulmak için parametreli ve / veya orta derecede üstel zaman algoritmaları hakkında bir şey biliniyor mu biliyor musunuz?

— Bart Jansen