Seyrek girişlerde hesaplama fonksiyonlarının monoton devre karmaşıklığı

Ağırlık $|x|$ ikili dizgiden $x\in\{0,1\}^n$ dizedeki dizelerin sayısıdır. Az olan girdilerdeki monoton bir işlevi hesaplamakla ilgilenirsek ne olur?

Bir grafik sahip ise, karar biliyoruz -clique monoton devreler için zordur (diğerleri Alon Boppana, 1987 arasında), ancak bir grafiktir en örneğin sahipse kenarlar mümkün boyutta bir monoton sınırlanan derinlik devresi bulmak katkısına karar veren . $k$ $k^3$ $f(k)\cdot n^{O(1)}$ $k$

Benim sorum: daha düşük ağırlık girişlerinde bile bir monoton devre tarafından hesaplanması zor olan herhangi bir fonksiyon var mı? Burada sert devre boyutu anlamına gelir . $k$ $n^{{k}^{\Omega(1)}}$

Daha da iyisi: sadece ve ağırlık girişlerini önemsesek bile hesaplaması zor olan açık bir monoton fonksiyon var mı? $k_1$ $k_2$

Emil Jeřábek zaten bilinen alt sınırların iki giriş sınıfını ( -cliques vs maximal -colorable graph ayıran monoton devreler için geçerli olduğunu gözlemledi , bu nedenle olasılıklı argümanda bir miktar bağımsızlık pahasına bunu yapmak mümkün sabit ağırlık iki sınıf giriş için çalışmak. Bu neden olur bir fonksiyonu olarak ı kaçınmak istiyorum. $a$ $(a-1)$ $k_2$ $n$

Ne için açık bir sabit fonksiyondur gerçekten gibi olur ve çok daha küçük daha (parametreli karmaşıklık çerçevesi gibi). ise daha da iyidir . $k_1$ $k_2$ $n$ $k_1=k_2+1$

için pozitif bir cevabın , keyfi devreler için üstel bir alt sınır anlamına geleceğine dikkat edin . $k_1=k_2$

Güncelleme : Bu soru kısmen alakalı olabilir.

— MassimoLauria
kaynak

İlk (genel) sorunuza (Clique hakkında değil). Bence, en fazla

giriş olan girişler bile çok zor.

ile iki taraflı

grafik

alın . Her tepe noktasına

bir boole değişkeni

atayın . Let

olan mintermlerdir monoton bir Boole fonksiyonu

kenarları için

arasında

. Let

2

$2$

n \times m

$n\times m$

G

$G$

m = o (n)

$m=o(n)$

u

$u$

x_{u}

$x_u$

f_{G} (x)

$f_G(x)$

x_{u} \land x_{v}

$x_u\land x_v$

u v

$uv$

G

$G$

olan girişlerde

doğru şekilde hesaplayan monoton devrenin minimum boyutu olmalıdır. Daha sonrasabit bir

içinherhangi bir alt sınır

,monoton olmayandevreleriçinüstel biralt sınıranlamınagelir.

s (G)

$s(G)$

f_{G}

$f_G$

\leq 2

$\leq 2$

s (G) \geq (2 + c) n

$s(G)\geq (2+c)n$

c > 0

$c>0$

— Stasys

Monoton devreler için var olan argümanlar, çok sayıda (

) giriş içeren birçok girişin reddedilmesi gerektiğini gerektirir . Şimdiye kadar yapabileceği en iyi kanıtlamak

devre, her türlü kabul gerektiğinde bağlı düşük

-cliques ve tüm tam reddetme

-partite, grafikler (

). Btw önemli olan yoğun girdilerle değil, seyrek ile uğraşmanızdır . De ki,

≫ n / 2

$\gg n/2$

\exp (min {a, n / b}^{1 / 4})

$\exp(\min\{a,n/b\}^{1/4})$

b

$b$

a

$a$

a < b

$a<b$

k

$k$ -Clique her sabit

için

monoton devreleri gerektirir , ancak

-Clique her sabit

için

boyutunda monoton devreleri

n^{k}

$n^k$

k \geq 3

$k\geq 3$

(n - k)

$(n-k)$

O (n^{2} \log n)

$O(n^2\log n)$

k

$k$

— Stasys

Seyrek grafik anlamında seyrek girdileri önemsediğimi netleştirmeliyim. Çok seyrek bir grafikte (yani

kenarlı) bir

klik aramak FPT monoton devre boyutunda yapılabilir.

k

$k$

k^{10}

$k^{10}$

— MassimoLauria

k

$k$

k

$k$

(2 + c) n

$(2+c)n$

$k_1$ $k_2$

Boole işlevine f, iki 1'den daha az girişe sahip sıfıra ve iki 1'den daha fazla girişe sahip bire değerlendirirse 2 dilimli işlev olarak adlandırılır. Tam olarak iki 1 'li girişlerde f tanımsız bir şekilde tanımlanabilir. 2 dilimli fonksiyonlar ve grafikler arasında doğal bir yazışma vardır. Grafik karmaşıklığı çerçevesini kullanarak, çok özel 2 dilimli fonksiyon sınıfı için yeterince güçlü süper lineer monoton alt sınırlarının, bunlardan türetilen bazı fonksiyonlar için tam bir bazda süperpolinom alt sınırlar anlamına geleceğini gösteriyoruz.

Grafik Karmaşıklığı ve Dilim Fonksiyonları / Satyanarayana V. Lokam, Teori Comput. Systems 36, 71-88 (2003)

ayrıca yorumlarında olduğu gibi SJ, grafiklerin yıldız karmaşıklığını araştıran bölümdeki kitabında bu benzer durumu ele almaktadır.

Boole işlev karmaşıklığı: ilerlemeler ve sınırlar , Stasys Jukna

— vzn
kaynak