NP için iyi PCP'ler bize tüm polinom hiyerarşisi için iyi PCP'ler sağlıyor mu?

PCP Teoremi, NP'deki her karar sorununun olasılıkla kontrol edilebilir kanıtlara sahip olduğunu (veya eşdeğer olarak, NP'de sabit sorgu karmaşıklığı ve logaritmik olarak birçok rastgele bit kullanarak teoremler için tam ve yarı-ses geçirmez bir sistem olduğunu belirtmektedir).

PCP Teoremini çevreleyen “halk bilgeliği” (bir an için PCP'nin yaklaşım teorisine önemini göz ardı ederek), bunun, sıkı matematiksel dilde yazılmış kanıtların, tümünün okunması gerekmeksizin istenen herhangi bir doğruluk derecesinde verimli bir şekilde kontrol edilebileceği anlamına gelir. kanıt (ya da kanıtın çoğu).

Bunu tam olarak göremiyorum. Sınırlayıcı olmayan niceleyiciler kullanımı ile önermenin mantığına göre ikinci dereceden uzantıyı düşünün (ki bu zaten ZFC'den daha zayıf, ancak mantıkçı değilim). NP tarafından erişilemeyen teoremleri alternatif niceleyicilerle ifade etmeye başlayabiliriz.

Benim sorum, NP'deki teoremler için PCP'lerin herhangi bir PH seviyesine eşit derecede iyi uygulanabilmesi için, yüksek mertebeli önermelerde nicelleştiricilerin basit, bilinen bir yolunun bulunup bulunmadığıdır. Bu yapılamaz - bir nicelik belirleyicinin açılması en kötü durumda kanıt sistemimizin sağlamlığının veya doğruluğunun sabit bir kısmının maliyetidir.

lo.logic pcp polynomial-hierarchy

— Ross Snider
kaynak

Bana öyle geliyor ki, bir problem için bir PCP neredeyse tanım gereği BPP'ye koyuyor, ki bu da

Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$ Sipser – Gács – Lautemann tarafından. Ama belki de bu ilgili soruyu görün .

— Peter Shor

Kulağa makul geliyor, ama kafam karıştı. Bu doğruysa, NP'yi BPP'ye koymaz mı?

— Ross Snider

Hata. İçinde de bulunan MA demeliydim

Σ_{2} \cap Π_{2}

$\Sigma_2 \cap \Pi_2$ .

— Peter Shor

bu işe yaramaz. PH dahil olan lemmalara dayanıklıdır. EXP ^ 2 gibi bir şey düşünün. Şaka olarak RP, RNP, vb. Bu hiyerarşiyi kolayca gezmiyorsunuz.

— Steve Uurtamo

Yanıtlar:

Bir ifadenin gerçeği, bir ispat sisteminde (kısa) bir delile sahip olmaktan farklıdır. Dil anlamlıdır, ancak dilde geçerli olan tüm ifadelerin sistemde kısa kanıtları olduğu anlamına gelmez.

Teorem , bir ifadenin gerçekliğini, hatta keyfi uzun bir kanıtın veya keyfi teoremlerin doğruluğunu kontrol edebileceğinizi söylemez. Bir üyelik kanıtları içindir. $\mathsf{NP}$ tanımı gereği üyeliğin polinom boyutu kanıtlarına (sertifikalarına) sahip olan set. Teorem sadece bir üyelik belgesinin tamamını (polinom boyutu) okumanıza gerek olmadığını söylüyor. $\mathsf{NP}$ doğruluğuna karar vermek.

Teoremin bir sonucu, etkili bir kanıt sisteminde kısa (yani keyfi bir polinom) provaya sahip (yani belirli bir dize belirli bir dizenin kanıtı ise polinom zamanında karar verilebilir) keyfi bir dilde teorem setine uygulamaktır. Beyan). Örneğin, boyut kanıtı olan ZFC teoremleri $n^{100}$ nerede $n$ formülün boyutudur. Prova sistemi sağlamsa, provalarının küçük bir kısmını okuyarak kısa provaları olan teoremlerin doğruluğunu olasılıkla doğrulayabilirsiniz. Bence bu gayri resmi ifadenin " katı matematiksel dilde yazılmış kanıtlar, tüm kanıtı okuma şartı olmadan istenen herhangi bir doğruluk derecesinde verimli bir şekilde kontrol edilebilir " anlamına gelir.

— Kaveh
kaynak

Açıklığa kavuşturmaya çalışayım.

Aşağıdaki hesaplama problemini göz önünde bulundurun: (en sevdiğiniz aksiyom sisteminizde) bir matematik ifadesi ve tekli gösterimde verilen bir sayı n verildiğinde, ifadenin n boyutunun bir kanıtına sahip olup olmadığına karar verin.

Bu bir NP problemidir: bir kanıt verildiğinde, bunun n boyutunda olduğunu ve teoremin geçerli bir kanıtı olduğunu etkili bir şekilde doğrulayabilir. Not: ifade FOR ALL gibi nicelik belirticileri içeriyor olsa bile, doğrulayıcının tüm olasılıkları kontrol etmesi gerektiği anlamına gelmez, sadece doğrulayıcının FOR ALL nicelik belirtecini içeren çıkarım kurallarını kullandığı anlamına gelir.

Bu nedenle PCP Teoremi bu sorun için geçerlidir ve bu nedenle olasılıklı doğrulamaya izin veren (farklı) bir kanıt biçimi vardır.

Başka bir not (Peter'ın sözleriyle ilgili olarak): PCP doğrulayıcısı yalnızca logaritmik rastgele kullanır. Bu, kanıtın tamamına bakan standart, deterministik, doğrulayıcı ile değiştirilebileceği anlamına gelir. Bu, bir dil için PCP doğrulayıcısının NP'ye yerleştirilmesini sağlar.

— Dana Moshkovitz
kaynak