Küre üzerindeki Delaunay üçgenlemeleri minimum açıyı maksimuma çıkarıyor mu?

Düzlemdeki Delaunay üçgenlemeleri, bir üçgen içindeki minimum açıyı en üst düzeye çıkarır. Aynısı, küre üzerindeki noktaların Delaunay üçgenlemesi için de geçerli midir? (burada "açı", tepedeki tepe noktasının çevresindeki bir mahalledeki yerel açıdır).

Math.SE'de bu sorudan esinlenilmiş ancak bu soru ile ilgisi yoktur.

cg.comp-geom delaunay-triangulation

— Suresh Venkat
kaynak

Kesinlikle, mülk, bir manifold olduğu için kürenin küçük, yassı bir bölgesine yerelleştirilmiş bir set için tutacaktır. Asıl soru, noktalar küre boyunca yayılırken mülkün feda edilip edilmeyeceği olacaktır. Tahminimce, bir Delaunay üçgenlemesi için ilk etapta, Öklid durumundan bile daha fazla yağ üçgenleri gerekir, bu yüzden mülkiyet tutacaktır.

— Josephine Moeller

Bu, o zaman, küredeki jenerik bir noktadan stereografik izdüşümün, daireleri dairelere eşleştirmesi ve uygunluk nedeniyle kesişen eğriler (~ kenarlar) arasındaki açıları korumasından kaynaklanmaz mı? Yoksa bir şey mi kaçırıyorum?

— birisi

@someone Evet, bunu yapmalı. En azından çoğu. Bir ya da iki aksaklık olabilir, ama ana fikir bu olurdu. Bunu merak ediyordum. Stereografik haritalamanın uyumlu olduğunu fark etmedim.

— Josephine Moeller

@SureshVenkat Şimdi hiperbolik boşluktan bahsettiğinize göre, belki de sezgilerim geri döndü. Hiperbolik alanda "yasadışı" çemberler (hiper döngü ve horosikl) olduğu gerçeğini hesaba katmanız gerekir. Küresel alanda değilsiniz; her zaman üç noktadan geçen daireler bulabilirsiniz.

— Josephine Moeller

Bunun işe yaradığını sanmıyorum. Yansıtmanın çizgilere büyük daireler aldığından emin olmak istiyorsunuz (çünkü üçgenlerin kenarları arasındaki büyük daireler / düz olan açıları ölçtüğünüz için). Bunu stereografik bir projeksiyonla yapamayacağınızı sanmıyorum. Bunu sadece kürenin ortasındaki noktadan, bazı daireleri elipslere götüren bir projeksiyon ile yapabilirsiniz.

— Peter Shor

BİRİNCİ ARGÜMAN: Bu benim ilk cevabımdı. Bu argümanın yanlış olduğunu unutmayın. Aşağıdaki ikinci tartışmamı inceleyin.

Bunun doğru olduğunu düşünmüyorum. Düzlemde çalışmasının nedeni, bir daire içinde, bir akor tarafından bastırılan yazılı açının karşılık gelen merkezi açının yarısı olmasıdır. Bu nedenle, küçük bir açıyla bir üçgenimiz varsa, karşı kenarla daha büyük bir açı yapacak herhangi bir nokta boş Delaunay dairesinin içindedir ve bu nedenle yapılandırmada bir üçgenleme bulduğumuz noktalardan biri değildir.

Şimdi diyelim ki kürenin üzerinde bir Delaunay üçgenlemesi var. Kürenin ortasına bir nokta yerleştirin ve tüm pionları bir düzleme yansıtın. Üçgenlerin kenarları (küredeki büyük daireler) çizgi parçalarına alınır. Ancak boş top özelliğini veren daireler elipslere alınır ve bu nedenle yansıtılan elipsin dışında ancak üçgenin çember içinde bir nokta varsa, bu nokta kenarla daha büyük bir açı yapar.

DÜZENLE:

Bir dakika bekle. Bu cevap tamamen yanlıştır, çünkü merkezi projeksiyon açıları korumaz. Hala varsayımın yanlış olduğunu düşünüyorum, çünkü yazılı açılarla ilgili teoremin kürede yer almadığı çok daha karmaşık bir argümanım var. İşte argüman:

İKİNCİL ARGÜMAN:

Bunun düzlemde tutmasının nedeni, bir akor tarafından bastırılan yazılı açının karşılık gelen merkezi açının yarısı olmasıdır. Bu geçerlidir, çünkü aşağıdaki şemada,

C Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y)

$CYX_2 = \frac{1}{2} (\pi - X_2 C Y)$ ve

C Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y) .

$C Y X_1 = \frac{1}{2} (\pi - X_1 C Y).$ Çıkarma, elde ediyoruz

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} X_{1} C X_{2} .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} X_1 C X_2.$

geometri resim

Şimdi, küresel geometride,

C Y X_{2} = \frac{1}{2} (π - X_{2} C Y + bir (X_{2} C Y))

$CYX_2 = \frac{1}{2} ( \pi - X_2CY + A(X_2CY) \,)$ ve

C Y X_{1} = \frac{1}{2} (π - X_{1} C Y + bir (X_{1} C Y)),

$CYX_1 = \frac{1}{2} ( \pi - X_1CY + A(X_1CY) \,),$ nerede

A (X Y Z)

$A(XYZ)$ XYZ üçgen alanı anlamına gelir. Çıkarma, elde ediyoruz

X_{1} Y X_{2} = \frac{1}{2} (X_{1} C X_{2} + bir (X_{2} C Y) - bir (X_{1} C Y)) .

$X_1 Y X_2 = \frac{1}{2} (X_1 C X_2 + A(X_2CY) - A(X_1CY)\,).$

Noktaların yeri için $Y$ sabit bir açı yapma $X_1YX_2$ bir daire olmak için, alan farkına ihtiyacımız var. $A(X_2CY) - A(X_1CY)$ sadece yay uzunluğuna bağlıdır $X_1X_2$ . Ancak bu, $A(XCY)$ dır-dir $0$ için $X$ taban tabana zıt $Y$ ve için $X=Y$ , ancak aralarında maksimum boyutta büyür.

Böylece, noktaların odağı $Y$ sabit açılı $X_1YX_2$ bir daire değil. Bu, bazı üçgenler için $X_1YX_2$ bir nokta bulabiliriz $Y'$ çevresinin dışında $X_1YX_2$ yani açı $X_1YX_2 < X_1 Y' X_2$ . Daha sonra bunu, küre üzerindeki Delaunay üçgenlemelerinin minimum açıyı maksimize ettiği varsayımına karşı bir örnek oluşturmak için kullanabiliriz.

— Peter Shor
kaynak

Bu sorunun bu kadar zor olmasını beklemiyordum :). hevesle resimleri bekliyor.

— Suresh Venkat