Bilinen karmaşıklık ayrımlarını göstermek için Mulmuley-Sohoni GCT yaklaşımını kullanmak ne kadar zor?

Josh Grochow'un karmaşıklık web günlüğündeki bu konukevinde , Temmuz ayında Princeton'da düzenlenen GCT'ye yönelik yeni bir atölye çalışmasını bildirdi. Katılımcıların birçoğu sezgiyi oluşturmak ve yöntemin potansiyeli olup olmadığını görmek için ile daha kolay sorunlara saldırmak için GCT'yi kullanmamız gerektiğini savundu . $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

Beni rahatsız eden soru:

veya gibi bilinen ayrımları göstermek için GCT kullanmak mümkün mü ? $\mathsf{P} \neq \mathsf{EXP}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

gibi bir şey yapar $\mathsf{L} \neq \mathsf{PSPACE}$

GCT bağlamında bile mantıklı değil, veya
GCT çerçevesinde tamamen önemsiz ve ilgi çekici değil mi, veya
- kadar sert varsayımlara neden olur mu? $\mathsf{P}$ $\mathsf{NP}$

cc.complexity-theory gct

— Mugizi Rwebangira
kaynak

Josh'un bu gönderiyle ilgili yorumları, "GCT dilinde" böyle bir ayrımı formüle etmenin mümkün olduğunu, ancak önemsiz olduğunu ve henüz kimsenin yapamayacağı bir şey olmadığını ima ediyor gibi görünüyor. Ancak yine de bir uzmandan gelen içgörüleri takdir eder.

— Mugizi Rwebangira

AFAIR, Mulmuley, sunumuna ( video.ias.edu/stream&ref=226 ) #P vs NC ile GCT için daha doğal bir soru olarak başlar. Bu, sorunuzu yanıtlamak için ilk sezginiz olabilir.

— Michaël Cadilhac

Bu bağlantı için teşekkürler Michaël. Bazı nedenlerden dolayı ses ofisimdeki masaüstünde dinleyemem için çok düşük, ancak eve döndüğümde deneyeceğim. Her halükarda, Josh zaten iyi bir cevap verdi.

— Mugizi Rwebangira

Yanıtlar:

Kısa cevap: Muhtemelen hayır (1), kesinlikle hayır (2) ve muhtemelen (3).

$L$ $P$ $PSPACE$ $EXP$

$FP \neq FEXP$

Sorunuza ulaşmak için: Bu soruların GCT bağlamında formüle edilebileceğine inanıyorum, ancak bunun nasıl olduğu hemen belli değil. Aşağı yukarı, sınıf için tamamlanmış ve simetrileriyle nitelenmiş bir işleve ihtiyacınız var; işleve ilişkin temsil teorisinin anlaşılması kolay ise ekstra bonus, ancak bu ikincisi genellikle oldukça zordur.

$FP \neq FEXP$ $P$ $NP$ $FEXP$ $FEXP$

$2 \times 2$ $\frac{3}{2}n^2 - 2$

$2 \times 2$ $3 \times 3$ $3 \times 3$ $FP \neq FEXP$ $P \neq NP$

— Joshua Grochow
kaynak

F P \neq F E X P

$FP \neq FEXP$

Teşekkür ederim! Bu çok yardımcı oldu. Genel fikrim (ve diğerlerinin de öyle olduğunu düşünüyorum) bu GCT programında "kolay bir ilk adım" ne olacağını düşünmekti. Ancak görünen o ki gerçekten bir tane yok (en azından şu ana kadar). Grobner Bases yaklaşımının ikiye katlanan bir çalışma süresine sahip olduğunu söylediniz, Burgisser ve Ikenmeyer'in aramasının (asimptotik) çalışma süresinin ne olduğunu biliyor musunuz?

— Mugizi Rwebangira

Hala üstel olduğuna inanıyorum (bu, kısmen Landsberg'in sonucunu neden yeniden üretemediklerini açıklıyor), ancak yalnızca tek bir üstel :).

— Joshua Grocho,

@JoshuaGrochow: Yanıtın başına ya da sonuna bir güncelleme başlığı koyarsanız yararlı olur. Eski yaşımda gözlerim eskisi gibi değildi ve ilk önce cevabı gözden geçirerek değişimi kaçırdım.

— Vijay D

Bir var Joshua Grochow tarafından arXiv yeni kağıt biraz sorunuza yanıt gibi gösterileri nasıl GCT çerçevesi içine birkaç bilinen alt sınır teknikleri koymak ve görünüyor etmek.

(Bu çoğunlukla sadece bir yorumdur, ancak hiç kimse bir yorumu görmez, bu yüzden cevap olarak gönderiyorum.)

Bilinen alt sınırları geometrik karmaşıklık teorisi ile birleştirmek ve genelleştirmek

Joshua A. Grochow

$AC^0[p]$ bu nedenle, bilinen sonuçların doğal bir birleşme ve geniş bir genellemesidir. Ayrıca, GCT çerçevesinin en az bilinen yöntemlerin kadar güçlü olduğunu ve GCT'nin gerçekten de önemli asimptotik alt sınırlar sağlayabileceğine dair birçok yeni kanıt kavramı sunar. Bu yeni bakış açısı önceki sonuçlar ile yeni GCT yöntemleri arasında verimli iki yönlü etkileşimler olasılığını da ortaya koymaktadır; bu etkileşimlerin somut önerilerini sunuyoruz. Örneğin, GCT'nin temsili-teorik bakış açısı doğal olarak yeni alt sınırların aranmasında göz önünde bulundurulacak yeni özellikler sağlar. Bu yeni bakış açısı önceki sonuçlar ile yeni GCT yöntemleri arasında verimli iki yönlü etkileşimler olasılığını da ortaya koymaktadır; bu etkileşimlerin somut önerilerini sunuyoruz. Örneğin, GCT'nin temsili-teorik bakış açısı doğal olarak yeni alt sınırların aranmasında göz önünde bulundurulacak yeni özellikler sağlar. Bu yeni bakış açısı önceki sonuçlar ile yeni GCT yöntemleri arasında verimli iki yönlü etkileşimler olasılığını da ortaya koymaktadır; bu etkileşimlerin somut önerilerini sunuyoruz. Örneğin, GCT'nin temsili-teorik bakış açısı doğal olarak yeni alt sınırların aranmasında göz önünde bulundurulacak yeni özellikler sağlar.

— Robin Kothari
kaynak