Planar Hamiltonian Döngüsü NP-Complete'i kanıtlamak için kolay bir Gadget istiyorum (Hamiltonian Döngüsünden)

Hamiltonian (Kısaca Ham) Döngüsünün NP tamamlandı ve Düzlemsel Ham Döngüsünün NP Tamamlandı olduğu bilinmektedir. Düzlemsel Ham Döngüsü'nün kanıtı Ham Döngüsünden değildir.

G grafiği verildiğinde, tüm geçişleri bazı düzlemsel gadget'larla değiştirecek, böylece G 'gibi düzlemsel bir grafiğiniz olacak güzel bir gadget var mı?

G'nin bir Ham döngüsü var, i 'G' bir Ham döngüsü var.

(Ham yolu veya yönlendirilmiş Ham Döngüsü veya Yönlendirilmiş Ham Yolu gibi değişkenler ile mutlu olacağım.)

— Bill GASARCH
kaynak

Biraz önemsiz bir gözlem.

ve kenarlarını

çapraz,

geçiş noktası etrafında saat yönünde görünecek şekilde gömdüğünüzü varsayalım . Bir alet ile değiştirin

dört giriş noktası olduğu

karşılık gelen

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

x, v, y, u

$x,v,y,u$

P_{x v y u}

$P_{xvyu}$

x^{'}, v^{'}, y^{'}, u^{'}

$x',v',y',u'$

. Bir Hamilton saykıl

her iki kenarını kullanır

daha sonra

karşılık gelen çevrim kendine çapraz gerekir. Bu tabii ki bir `` gadget" dır ve aynı zamanda hamiltonian döngüsü o şeylerin çoğu naif yorumunu varsayar

ihtiyaçlarına karşılık gelen döngüsü ile aynı kenarlarını takip etmeye

x, v, y, u

$x,v,y,u$

G

$G$

(x, y)

$(x,y)$

(u, v)

$(u,v)$

G^{'}

$G'$

G^{'}

$G'$

G

$G$

— Marek Chrobak

Jambon Döngüsü Nedir? Lütfen herkesin kısaltmalarınızı anladığını varsaymayın.

— Tsuyoshi Ito

@MarekChrobak: Sizin sözünüze katılıyorum. Tartışmasından kaçmak için iki yol verdin. Bence en doğal olanı ikinci olanıdır:

içinde bir Hamiltonian Döngüsü

bir Hamiltonian Döngüsü

varsa

x \to y \to \dots \to u \to v \to \dots \to x

$x\to y\to\dotsb\to u\to v\to\dotsb\to x$

G

$G$

x \to x^{'} \to \dots \to u^{'} \to u \to \dots \to y \to y^{'} \to \dots \to v^{'} \to v \to \dots \to x

$x\to x'\to\dotsb \to u'\to u\to\dotsb\to y\to y'\to\dotsb\to v'\to v\to\dotsb\to x$

— Bruno

@ Tsuyoshi: Bu Hamilton döngüsü anlamına gelir. Herkesin çözebileceğini varsaymanın makul olacağını düşünüyorum.

— domotorp

@Bill: Neden böyle bir gadget'ın olması gerektiğini düşündüğünüzü merak ediyorum. Düzlemine rasgele bir grafik gömme çok büyük olabilir geçişlerin sayısı (

tam bir grafik için - geçiş lemma bakınız). Öyleyse,

kenarları ve birçok kenarı (kuadratik olarak söyleyin) içeren bir grafikle başlarsanız, o zaman köşeler olarak eklenmiş geçişleri olan gömülü grafik tamamen farklı bir yapıya sahiptir ...

Θ (n^{4})

$\Theta(n^4)$

n

$n$

— Sariel Har-Peled

Hayır. En azından bir crossover için "güzel" gadget yok.

Let ve biz değiştirmek isteyen bir enine olmak. $(a, b)$ $(x,y)$ görüntü tanımını buraya girin

Grafiğimiz için birçok durum var, , ancak en azından aşağıdaki dördü yerine getirmeliyiz. Durum 1: En az bir hamilton döngüsü var, ancak hiçbiri kenarlarından birini kullanmıyor. Durum 2: en az bir döngü var ve tüm döngüler tam olarak iki kenardan birini kullanıyor. Durum 3: en az bir döngü var ve tüm döngüler her iki kenarı da kullanıyor. 4. Durum: Hamilton döngüsü yoktur. $G$

Bizim aygıtı (veya daha fazla) her biri için köşe iki varsa aynı komşu komşu (böylece ve muhafaza 've s komşuları) henüz fazla düzlemsel değildir. Yukarıdaki davaların ilki yerine getirmek için, gadget’ta herhangi bir yeni köşe alamayız. $a, b, x, y$ $a_0$ $a_1$ $a$ $G'$

Yukarıdaki 3. durumu yerine getirmek için, cihazda en az iki kenara sahip olmamız gerekir. Düzlemsel ve örtü çifti veya durum 2'yi karşılamaz, bu nedenle üçüncü bir kenara ihtiyacımız vardır. Genellik kaybı olmadan, bu üçünün olmasına izin verin . $(a, x), (y, b)$ $(a, y), (x, b)$ $(a, y), (y, b), (x,b)$

$G'$ $G$ $G = (V, E)$ $V = \{a, b, x, y, p, q, r, s, t\},$ $E = \{(a, b), (x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (b, x), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G$ görüntü tanımını buraya girin

$G' = (V, E')$ $E' = \{(a, y), (y, b), (x, b)\} \cup$ $\{(x, y), (a, r), (a, p), (a, q), (b, s), (p, s), (p, t), (p, y), (q, x), (r, y), (t, x)\}$ $G'$ $a, q, x, t, p, s, b, y, r, a$

$(b, y)$ $(a, x)$ $G'$

$(a, b), (a, y), (x, b)$

Üç kenar eklemek, durum 4'ü bozduğundan, daha fazla eklemek yardımcı olmaz.

$a, b, x$ $y$

(Not: lütfen yukarıda herhangi bir hata yaptıysam bana bildirin!)

( ~~Not 2: Bazı güzel rakamlar aldım, ancak gönderemem.~~ Yayınlanan.)

— Kyle
kaynak

Bence şimdi rakam yazabilmelisin.

— Jukka Suomela