Beklenen minimum minimum 2 standartlı dışbükey gövde

Dışbükey gövde düşünün $K$ Kalkış ve simetrik merkezli (yani, eğer $x\in K$ sonra ). Farklı bir dışbükey cisim bulmak istiyorum, öyle ki ve aşağıdaki önlem en aza indirilmiş: $-x\in K$ $L$ $K\subseteq L$

$f(L)=\mathbb{E}(\sqrt{x^T \cdot x})$ , ki burada , L'den rasgele eşit olarak seçilen bir noktadır $x$

Ölçüme sabit faktör yaklaşımı ile iyiyim.

Bazı notlar - kendisinin cevabı olduğu ilk sezgisel tahmin . Örneğin, çok yüksek boyutta ince bir silindir olduğunu düşünün . Sonra alabilirsiniz böyle izin vererek orijinine fazla hacim yakın var. $K$ $K$ $L$ $f(L)<f(K)$ $L$

cg.comp-geom approximation convex-geometry

— Ashwinkumar BV
kaynak

Hiçbir şey onun için sorun değil, zor görünüyor. 3B'de bile nasıl çözüleceği belli değil.

— Sariel Har-Peled

2d içinde optimal olarak nasıl yapılacağı açık mı? Tabii ki 2d'de sabit bir faktör yaklaşımı ilgi çekici değildir.

— Ashwinkumar BV,

Bu bana açık değil. Sabit faktör yaklaşımı, herhangi bir boyutta, şekle elipsoid www.math.sc.edu/~howard/Notes/john.pdf ile yaklaştırılarak açıktır. Sabit, boyuta bağlı olacaktır.

— Sariel Har-Peled,

Sabitin boyuta bağlı olmadığı sabit faktör yaklaşımı ile daha çok ilgileniyorum.

— Ashwinkumar BV

Doğal olarak. Ama geri almama izin verin - elipsoid vakası bile belli değil. Bu soruna saldırmak istiyorsan, araştırılacak ilk sürüm bu olacak. Sezgisel olarak, hangi boyutların göz ardı edileceğine ve hangi boyutların genişletileceğine karar vermelisiniz. Doğal çözüm, elipsoidin başka bir elipsoid ile birleşmesinin dışbükey gövdesi gibi görünmektedir, burada yeni elipsoidin eksenleri bazı parametrelere r ya da diğer elipsoide eşittir.

— Sariel Har-Peled

Yanıtlar:

ve yi her iki elipsoid olarak kısıtlarsak , sorununuz bir SDP ile herhangi bir hassasiyetle çözülebilir. İlk başta sorduğun şeyin bu olmadığını biliyorum, ama bu sınırlı dava için bile bir çözümümüz yok gibi görünüyor ve genel olarak yardımcı olabilir. $K$ $L$

Diyelim ki giriş elipsoididir ve optimal bir kapalı elipsoidi bulmak istiyoruz . Doğrusal bir harita st ve bir harita st , burada birim top. Sonra $E$ $J$ $F$ $E = FB_2$ $G$ $J = GB_2$ $B_2$ . Ayrıca, buradaolanpolar kütleve. Uygun şekilde,ve $\mathbb{E}_{x \sim J}[\|x\|_2^2] = \frac{1}{n}\mathsf{Tr}(G^TG)$ $E \subseteq J \Leftrightarrow J^\circ \subseteq E^\circ$ $E^\circ$ $E$ $E^\circ = \{x: x^TF^TFx \leq 1\}$ $J^\circ = \{x: x^TG^TGx \leq 1\}$ . Bu izler (ve bu nedenle ) sadece ve sadece pozitif yarı kesin bir matristir. $J^\circ \subseteq E^\circ$ $E \subseteq J$ $G^TG - F^TF$

SDP ile tanımlanır: Yani, bir simetrik PSD matrisi verilen , simetrik bir PSD matrisi st PSD ve bir en aza indirilir. SDP'nin çözülmesiyle bulunabilir ve daha sonra bir SVD, eksenlerini ve eksenlerini verecektir . $M$ $N$ $N - M$ $\mathsf{Tr}(N)$ $N$ $J$

— Sasho Nikolov
kaynak

(Yorumlarda belirtildiği gibi, aşağıdaki yaklaşım işe yaramıyor. Elde edilen nesne dışbükey değil. Yine de en az beklenen mesafeli bir "yıldız şeklindeki" nesneyi karakterize ediyor.)

Bence en uygun nesne bir birleşimi ve orijin merkezli bir top olacak. İşte düşüncelerim. Tanımına göre , $K$ $f(L)$ yüzeyine kökenli olan mesafedirbelirli bir doğrultuda. KullandığımBazı sabitleri düştü çünkü yerine of =. Şimdi en aza indirmek istiyorumkısıtlamalar altında buherhangi bir yön boyunca. Uyarı eğerbir yönde daha küçük olan

f (L) \sim \int_{S^{d - 1}} \int_{0}^{r_{L}} x \frac{d (x^{d} / x_{L}^{d})}{d x} \frac{r_{L}}{v o l (L)} d x d S \sim \int_{S^{d - 1}} \frac{r_{L}^{2}}{v o l (L)} d S \sim \frac{\int_{S^{d - 1}} r_{L}^{2} d S}{\int_{S^{d - 1}} r_{L} d S} \overset{d e f}{=} g (L),

$f(L) \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \int_{0}^{r_L} x\frac{\mathrm{d}(x^d/x_L^d)}{\mathrm dx}\frac{r_L}{\mathrm{vol}(L)} \mathrm dx\mathrm dS \sim \int_{{\mathbb S}^{d-1}} \frac{r_L^2}{\mathrm{vol}(L)}dS \sim \frac{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L^2 dS}{\int_{{\mathbb S}^{d-1}} r_L dS} \stackrel{\mathrm{def}}{=} g(L),$

r_{L}

$r_L$

L

$L$

\sim

$\sim$

g (L)

$g(L)$

r_{L} \geq r_{K}

$r_L \ge r_K$

r_{K}

$r_K$

, sonra biraz daha büyükyapabiliriz,

daha küçükyapmak için

arttırın. Bunun nedeni, numaralandırıcıyı

faktöründen daha azarttırmamızdır.

g (K) / 2

$g(K)/2$

ϵ \leq g (K) / 2 - r_{K}

$\epsilon \le g(K)/2 -r_K$

g (K)

$g(K)$

(r_{L} + ϵ)^{2} - r_{L}^{2} = ϵ (2 r_{L} + ϵ)

$(r_L+\epsilon)^2 -r_L^2 = \epsilon(2r_L + \epsilon)$

g (K)

$g(K)$ paydadaki artış. Bu nedenle, yavaş yavaş "deforme" aklınıza gelebilecek

(tekrar tekrar hafifçe nesneyi büyüyerek, ve güncelleme

) onun yapmak

değeri daha küçük. Let

sonunda dışbükey nesne. Daha sonra, üzerindeki herhangi bir noktaya

mesafe olan

, yani kökenli,

birliği olduğu

ve yarıçap ile bir top

K

$K$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

g (\cdot)

$g(\cdot)$

K^{*}

$K^*$

\partial K^{*} ∖ \partial K

$\partial K^*\setminus \partial K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

K^{*}

$K^*$

K

$K$

g (K^{*}) / 2

$g(K^*)/2$

Gerçekten de, başka bir dışbükey nesnesi olduğunu düşünün ki . Sonra aksi takdirde biz bir kısmını büyüyebilir, çünkü içeride yapmaya daha küçük. Öte yandan, , aksi çünkü aynı fikri, biz bir kısmını küçülten ve dışında $K'$ $g(K') = g(K)$ $K^*\subseteq K'$ $K'$ $K^*$ $g(K')$ $K'\subseteq K^*$ $K'\setminus K$ $K^*$ yapmak için daha küçük. Yani eşsiz bir optimum çözüm var. $g(K')$

— user7852
kaynak

Belki bir şeyleri özlüyorum, ama neden bu şekilde dışa aktarılan nesne dışa aktarılıyor?

— mjqxxxx

@mjqxxxx Haklısın. Bunu nasıl özledim ...

— user7852

Nasıl aşağıdaki fikri hakkında: yani, bir elipsoid iyi bir dışbükey nesne bazı elipsoidinde yaklaşık olarak hesaplanabilir bilinmektedir vardır

öyle

E_{K}

$E_K$

. Sonra

E_{K} \subseteq K \subseteq \sqrt{d} E_{K}

$E_K\subseteq K\subseteq \sqrt{d}E_K$

yaklaşık olarak

ileyaklaşır.

içerenherhangi bir

f (\sqrt{d} E_{K})

$f(\sqrt{d} E_K)$

f (K)

$f(K)$

d

$d$

L

$L$

K

$K$

. Bu yüzden bulabilirse optimum elips

içeren

\sqrt{d} E_{K} \subseteq d E_{L}

$\sqrt{d}E_K \subseteq d E_L$

E

$E$

, ardından

nasıl hesaplandığını bilmiyorum. Fakat onun eksenlerinin

eksenleriyle aynı hizada olacağını tahmin ediyorum.

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

f (E) \leq d^{2} f (L)

$f(E) \le d^2 f(L)$

E

$E$

ve tüm özdeğerleri

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

Bazı eşiğin altındaki

eşik değerine yükseltilir.

\sqrt{d} E_{K}

$\sqrt{d} E_K$

— user7852

Eğer L, dışbükey bir bedenle sınırlı değilse, K ve bir topun birliği olduğunu kabul ediyorum.

— Ashwinkumar BV

Elipsoid kullanma fikri size sabit bir faktör vermez. Bu en iyimser anlamda verebilir

yaklaşım. Benim düşünceme göre,

dışbükey gövdesiuygun yarıçaplı bir top ile sabit bir faktör yaklaşımıdır. Varsayımı nasıl ispatlayacağımı ya da ispatlayacağından emin değilim.

\sqrt{d}

$\sqrt{d}$

L

$L$

— Ashwinkumar BV,

Aşağıdaki çözüm [kanıtlanması gereken] bu varsayım / varsayıma dayanmaktadır:

Varsayım : dışbükey işlevinin beklentisi üzerine beklentisi arasındaki daha büyük daha küçük olan ve ilgili beklenti . $\textrm{conv}(K\bigcup K')$ $K$ $K'$

[Yukarıdakilere yalnızca dışbükey için ihtiyacımız olacak , ancak genel olarak doğru olabilir] $K,K'$

Şimdi herhangi bir setini alın ve elde ederek, başlangıç noktasına merkezlenmiş bir dönüşü uygulayın . Eğer sahip olacak , dönme yaprak nedeniyle elemanların uzunluğu değişmez. hakkında haklıysam, . Herhangi bir en uygun $K$ $R$ $R(K)$ $f(K)=f(R(K))$ $K$ $f(\textrm{conv}(K\bigcup R(K)))\leq f(K)$ $L$ düşünebilirsiniz , burada tüm dönmelerdeki birliği gösterir ve En uygun içeren en küçük küre olarak seçilebileceği görülüyor . $L'=\bigcup_R R(L)=\textrm{conv}(\bigcup_R R(L))$ $\bigcup_R$ $f(L)\geq f(L') \geq f(L)$ $L$ $K$

— Marco
kaynak

It would be sufficient to prove that

E_{conv (A)} \leq E_{A}

$\mathbb{E}_{\textrm{conv}(A)}\leq \mathbb{E}_{A}$ for the expectation of a convex function. That

E_{K ⋃ K^{'}} \leq max {E_{K}, E_{K}^{'}}

$\mathbb{E}_{K\bigcup K'}\leq \max\{\mathbb{E}_K,\mathbb{E}_K'\}$ seems easy.

— Marco

I am not entirely sure I get your answer. But it is definitely not true that L can be chosen to be the smallest sphere containing K. Consider a long thin cylinder in

d

$d$ dimensions of length

t

$t$ . Then any sphere

S

$S$ containing

K

$K$ should have

f (S) \geq t

$f(S)\geq t$ . But if you construct

L = c o n v (K \cup U)

$L=conv(K\cup U)$ where U is a sphere or radius roughly

c_{1} t / d

$c_1 t/d$ you get

f (L)

$f(L)$ roughly

c_{2} t / d

$c_2 t/d$ . (where

c_{1}, c_{2}

$c_1,c_2$ are constants)

— Ashwinkumar B V