Yarımuzay Aralığı Aralığı Sayımı için Sınır Sınırları

10

Bir zaman / uzay dengesizliği şeklinde ifade edilen bir dizi -boyutlu nokta üzerinde yarım boşluk aralığı sayma sorguları gerçekleştirmek için mevcut en iyi sınır nedir ? Matousek'in 1993 tarihli seminal belgesine (Teorem 6.2, Verimli Hiyerarşik Kesimlerle Aralık Arama) göre, için yarım alanlarının kesiştiği sorgular için boyut veri yapısı kullanarak aralık sayımı yapabiliriz , , zaman. İçin bu zamanlı. Bununla birlikte, Agarwal'ın menzil arama üzerine yaptığı anket (Tablo 36.3.2), sınırın $d$ $p$ $1 \le p \le d+1$ $O(m)$ $n \le m \le n^d$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log^{p-(d-p+1)/d} \left(\frac{m}{n}\right)\right)$ $p=1$ $O(n/m^{1/d})$ $O\left(\frac{n}{m^{1/d}}\log(\frac{m}{n})\right)$ . Sınırın doğru ifadesi nedir? Alternatif olarak, ne yanlış anlıyorum? Son olarak, olduğunda gizli bir günlük terimi var $m=n^d$ mı?

reference-request ds.data-structures cg.comp-geom

— PKN
kaynak

6

Matoušek'in daha güçlü zaman sınırı doğrudur.

Teorem 6.1'in kanıtı ( dergi sürümünde ) logaritmik sorgu süresi için gerekli alanı sınırlamayı den düşüren bir dolaylı hile kullanır . Sezgisel olarak, hile noktaları polilogaritmik boyutun alt kümelerine kümelemek, her alt küme için bir doğrusal uzay veri yapısı oluşturmak ve daha sonra alt kümeler üzerinde standart bir logaritmik-sorgu-zaman yapısı oluşturmaktır. Geliştirilmiş alanın Matoušek'in Agarwal'un araştırmasının daha uzun versiyonunda kanlı genel olarak açıklanan çok seviyeli / tradeoff makinelerine bağlanması Matoušek'in zaman uzaması takas formunu verir. (Aslında, dolaylı numara sadece standart takas makinelerinin çok dikkatli bir uygulamasıdır.) $O(n^d)$ $O(n^d/\operatorname{polylog} n)$

— Jeffε
kaynak

Açık olmak gerekirse: Matousek'in makalesinde yer alan Teorem 6.2, yarım boşluk sayımının uzayda zamanda yapılabileceğini iddia etmektedir . Zaman , bu zaman ... olduğu bir almayan katkı günlük faktörü? Sadece soruyorum çünkü ankette Teorem 7 ve Sonuç 8 , Matousek'in teorem ifadesinde bulunmayan bir katkı maddesi içerir.

O (m)

$O(m)$

O (n / m^{1 / d})

$O(n/m^{1/d})$

m = n^{d}

$m = n^d$

O (1)

$O(1)$

O (l o g (m / n))

$O(log (m/n))$

— pkn

Ah, anlıyorum. Evet, bir hata var; teorem ifadesindeki üst sınır çok gevşek. İspat ; aksi halde, tamsayı parametresi daha az olacaktır . Logairthmic terimini sorgu zamanına eklemek de sorunu çözer.

m \leq n^{d}

$m \le n^d$

m = O (n^{d} / \log^{d - p + 1} n)

$m = O(n^d / \log^{d-p+1} n)$

r

$r$

1

$1$

— Jeffε

2

Agarwal's Survey'de Tablo 36.3.2'nin hemen üzerinde ve bu anketin 4.3 . Birincisi, "doğrusal-boyut araması ve logaritmik sorgu-zaman veri yapılarını birleştirerek simpleks aralık arama için bir boşluk / sorgu-zaman değiş tokuşu elde edilebilir" ötesinde pek çok ayrıntı vermiyor gibi görünüyor, ancak ikincisi biraz boşluk / sorgu-zaman geliri hakkında daha fazla bilgi Bölüm 4.3, Teorem 7, Sonuç 8 ve kanıtlarına bakmanızı öneririm. Sorunuzu tam olarak cevaplayıp yanıtlamadığını öğrenmek için yeterince ayrıntılı okumadım, ancak en azından başlamak için iyi bir yer.

— Joe
kaynak