Monte Carlo Algoritmalarında Yao'nun Minimax Prensibi

Ünlü Yao'nun Minimax Prensibi , dağıtım karmaşıklığı ile randomize karmaşıklık arasındaki ilişkiyi belirtir. Let sonlu grubu ile ilgili bir sorun girişlerin ve sonlu bir dizi çözmek için deterministik algoritma . Ayrıca nin giriş dağılımını ve üzerindeki olasılık dağılımını göstermesine izin verin . Daha sonra ilke $P$ $\mathcal{X}$ $\mathcal{A}$ $P$ $\mathcal{D}$ $\mathcal{R}$ $\mathcal{A}$

min_{A \in A} E c o s t (A, D) \leq max_{x \in X} E c o s t (R, x) for all D and R .

$\min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost(\mathcal{R},x) \quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$ and $\mathcal{R}$}.$ Bu kanıt, doğrudan sıfır toplamlı oyunlar için von Neumann'ın minimax teoremini takip eder.

Çoğunlukla Yao'nun prensibi sadece Las Vegas algoritmalarıyla ilgilenir , ancak Monte Carlo algoritmaları ile genelleştirilebilir .

\frac{1}{2} min_{A \in A} E c o s t_{2 ϵ} (A, D) \leq max_{x \in X} E c o s t_{ϵ} (R, x) for all D, R and ϵ \in [0, 1 / 2]

$\frac12 \min_{A\in\mathcal{A}}\quad\mathbb{E} cost_{2\epsilon}(A,\mathcal{D}) \leq \max_{x\in\mathcal{X}}\quad\mathbb{E} cost_{\epsilon}(\mathcal{R},x)\quad\quad\text{for all $\mathcal{D}$, $\mathcal{R}$ and $\epsilon\in [0,1/2]$}$ burada

c o s t_{ϵ} (\cdot, \cdot)

$cost_\epsilon(\cdot,\cdot)$ , olasılıkla en fazla

olan, Monte Carlo algoritmalarının maliyetini gösterir

ϵ

$\epsilon$ .

In Yao'nun orijinal kağıt , Monte Carlo algoritmaları için ilişki kanıt olmadan Teorem 3'te verilmiştir. Bunu kanıtlamak için bir ipucu var mı?

randomized-algorithms

— Federico Magallanez
kaynak

Bu sadece Marco’nun cevabı üzerine yazdığı açıklama üzerine geniş bir yorum. Argümanının ayrıntılarını tam olarak takip edemiyorum ve aşağıdakilerden çok kısa ve kolay.

Ortalamaya göre,

\sum_{A} q (A) \sum_{x} d (x) ϵ (A, x) = \sum_{x} d (x) \sum_{A} q (A) ϵ (A, x) \leq λ .

$\sum_A{q(A)\sum_x{d(x)\epsilon(A, x)}} = \sum_x{d(x)\sum_A{q(A)\epsilon(A, x)}} \leq \lambda.$

Yukarıdaki gerçek ve Markov'un eşitsizliği, $\sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)} \geq 1/2$ .

Yani biz alırız:

\begin{aligned} max_{x} \sum_{A} q (A) r (A, x) & \geq \sum_{x} d (x) \sum_{A} q (A) r (A, x) \\ = \sum_{A} q (A) \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq \sum_{A \in β (2 λ)} q (A) \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq (\sum_{A \in β (2 λ)} q (A)) min_{A \in β (2 λ)} \sum_{x} d (x) r (A, x) \\ \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} \sum_{x} d (x) r (A, x) \end{aligned}

$\begin{align*} \max_x \sum_A{q(A)r(A,x)} &\geq \sum_x{d(x)\sum_A{q(A)r(A, x)}}\\ &= \sum_A{q(A)\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \left(\sum_{A \in \beta(2\lambda)}{q(A)}\right) \min_{A \in \beta(2\lambda)}{\sum_x{d(x)r(A, x)}}\\ &\geq \frac{1}{2}\min_{A \in \beta(2\lambda)}{\sum_x{d(x)r(A, x)}} \end{align*}$

— Sasho Nikolov
kaynak

Bunu deneyeceğim. Yao'nun orijinal gösterimini kullanacağım. Bu şekilde, makalesi ve tanımlarıyla çelişmek daha kolay olacaktır.

Let girdilerin sonlu kümesi olabilir ve izin bazı girişler için bir doğru cevap vermek için başarısız olabilir deterministik algoritmalar sonlu bir takımı olmak. Ayrıca olsun ise doğru boyunca cevap verir ve , aksi. Ayrıca, ifadesiyle, girişinde yaptığı sorguların sayısını veya eşdeğerde karar ağacının derinliğini gösterir . $\mathcal{I}$ $\mathcal{A}_0$ $\epsilon(A,x)=0$ $A$ $x$ $\epsilon(A,x)=1$ $r(A,x)$ $A$ $x$ $A$

Ortalama Maliyet: Bir olasılık dağılımı göz önüne alındığında, üzerine , ortalama maliyet arasında bir algoritma olan . $d$ $\mathcal{I}$ $A\in \mathcal{A}_0$ $C(A,d)=\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot r(A,x)$

Dağılım Karmaşıklık: Let . Girişlerdeki herhangi bir dağıtım için, , tarafından verilen alt kümesi olsun. . Hata ile dağılım karmaşıklık hesaplama sorun için olarak tanımlanır . $\lambda\in[0,1]$ $d$ $\beta(\lambda)$ $\mathcal{A}_0$ $\beta(\lambda)=\{A : A\in \mathcal{A}_0, \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda\}$ $\lambda$ $P$ $F_{1,\lambda}(P)=\max_{d} \min_{A\in \beta(\lambda)} C(A,d)$

$\lambda$ -tolerance: ailesindeki bir dağıtım , max_ . $q$ $\mathcal{A}_0$ $\lambda$ $\max_{x\in \mathcal{I}} \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x)\leq \lambda$

Beklenen Maliyet: rasgele bir algoritma için , , üzerinde tolerant olan bir olasılık dağılımı olsun . Beklenen maliyet ve , belirli bir girdi için olan . $R$ $q$ $\lambda$ $\mathcal{A}_0$ $R$ $x$ $E(R,x)=\sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(A)\cdot r(A,x)$

Randomize Karmaşıklık: 'de yapalım . hatasıyla rastgele karmaşıklık , . $\lambda\in[0,1]$ $\lambda$ $F_{2,\lambda}=\min_R \max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)$

Şimdi işe girmeye hazırız. Kanıtlamak istediğimiz , girdilerde bir dağılım ve rastgele bir algoritma (yani, üzerindeki bir dağıtımını ) verilir. $d$ $R$ $q$ $\mathcal{A}_0$

Yao'nun Montecarlo Algoritmaları için Minimax Prensibi için için .
$max_{x \in I} E (R, x) \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} C (A, d)$ $\begin{equation}\max_{x\in\mathcal{I}} E(R,x)\geq \frac{1}{2}\min_{A\in \beta(2\lambda)} C(A,d) \end{equation}$ $\lambda\in[0,1/2]$

Fich, Meyer auf der Heide, Ragde ve Wigderson tarafından verilen bir yaklaşımı izleyeceğim (bakınız Lemma 4). Yaklaşımları Las Vegas algoritmaları için bir karakterizasyon üretmiyor (sadece alt sınır), ancak bu bizim amaçlarımız için yeterli. göre, herhangi bir ve $\mathcal{A}_0$ $\mathcal{I}$

İstem 1 'i. . $\max_{x\in \mathcal{I}} E(R,x)\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0} C(A,d)$

Doğru numaraları bulmak için benzer bir şey yapacağız. Olasılık dağılımı göz önüne alındığında randomize algoritması tarafından verilen olduğu -tolerant üzerinde o var biz değiştirin aile ile $q$ $R$ $\lambda$ $\mathcal{A}_0$

\begin{aligned} λ & \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq \sum_{x \in I} d (x) \sum_{A \in A_{0}} q (a) \cdot ϵ (A, x) \\ = \sum_{A \in A_{0}} q (a) \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x) \\ \geq min_{A \in A_{0}} {\sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)} . \end{aligned}

$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \mathcal{A}_0} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \mathcal{A}_0}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{align*}$

A_{0}

$\mathcal{A}_0$

β (2 λ)

$\beta(2\lambda)$ bunu görüyoruz

\begin{aligned} λ & \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq max_{x \in I} {\sum_{A \in β (2 λ)} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \\ \geq \sum_{x \in I} d (x) \sum_{A \in β (2 λ)} q (a) \cdot ϵ (A, x) \\ = \sum_{A \in β (2 λ)} q (a) \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x) \\ \geq min_{A \in β (2 λ)} {\frac{1}{2} \sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)}, \end{aligned}

$\begin{align*} \lambda &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\beta(2\lambda)} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\\ &\geq \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\cdot \epsilon(A,x)\\ &= \sum_{A\in \beta(2\lambda)} q(a)\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x)\\ &\geq \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \frac{1}{2}\sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}, \end{align*}$

burada ikinci eşitsizlik şöyle olur çünkü ve son eşitsizlik toplamın 2'den büyük olamayacağı tanımına göre verilir. . Bu nedenle, $\beta(2\lambda) \subseteq \mathcal{A}_0$ $\beta(2\lambda)$ $\lambda$

max_{x \in I} {\sum_{A \in A_{0}} q (A) \cdot ϵ (A, x)} \geq \frac{1}{2} min_{A \in β (2 λ)} {\sum_{x \in I} d (x) \cdot ϵ (A, x)} .

$\begin{equation}\max_{x\in \mathcal{I}}\left\{ \sum_{A\in\mathcal{A}_0} q(A)\cdot \epsilon(A,x) \right\}\geq\frac{1}{2} \min_{A\in \beta(2\lambda)}\left\{ \sum_{x\in\mathcal{I}} d(x) \cdot \epsilon(A,x) \right\}. \end{equation}$

Bu not etmek sureti ile eşleyen ve eşleyen ve yukarıdaki İstem 1, hemen güvenli bir şekilde işlev yerine yukarıda eşitsizlik elde etmek üzere istenen eşitsizlik. $\epsilon$ $\{0,1\}$ $r$ $\mathbb{N}$ $\epsilon$ $r(A,x)$

— Marcos Villagra
kaynak

2 faktörünün nereden geldiğine dair kısa bir açıklama var mı?

— Robin Kothari 11:12

Kısacası, tanımından gelir . Tanımdaki 2'ye bölünen toplam en fazla .

β (2 λ)

$\beta(2\lambda)$

λ

$\lambda$

— Marcos Villagra

bana bir şey garip geliyor. tanımı gereği, öyleyse neden min?

max_{A \in β (2 λ))} {\frac{1}{2} \sum_{x \in I} d (x), ϵ (A, x)} \leq λ

$\max_{A \in \beta(2\lambda))} \left\{\frac{1}{2} \sum_{x \in \mathcal{I}}{d(x), \epsilon(A,x)}\right\} \leq \lambda$

— Sasho Nikolov 11:12

ve son cümleyi anlamıyorum. hakkında tüm tartışmayı nasıl yaptınız ve sonra ile değiştirdiniz ?

ϵ

$\epsilon$

r

$r$

— Sasho Nikolov 11:12

İlk sorunuzla ilgili daha fazla ayrıntı ekledim.

— Marcos Villagra