Ito'nun Lemma türevi

Varlık fiyatlandırmasına giriyorum ve Ito'nun Lemma'sına bakıyordum, ancak verilen birkaç adımı anlayamıyorum.

İto'nun Lemması verilenleri belirtiyor

$$ dx_t = \ mu dt + \ sigma dz_t \\ y_t = f (t, x_t) $$

sonra

$$ (1) \ quad dy_t = \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi t} dt + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} dx_t + \ frac {1} {2} \ frac {\ ^ 2 f} {\ kısmi x ^ 2} dx ^ 2_t \\ $$

Bu kuralı, ikinci denklemin zincir kuralını ve ikinci dereceden Taylor genişlemesini kullanarak anlıyorum. Aşağıdakilerin neden geçerli olduğunu anlamıyorum:

$$ (*) \ quad dy_t = \ left [\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi t} + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ mu + \ frac {1} {2} \ frac {\ kısmi ^ 2 f} {\ kısmi x ^ 2} \ sigma ^ 2 \ sağ] dt + \ left [\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ sigma \ sağ] dz_t \\ $$

$ Dx_t $ yerine $ (1) $ yazıp $ dz ^ 2_t = dt $ yerine kullandığımda, $ (*) $ 'a gelmek yeterli değildir. Bence $ dx ^ 2_t $ kelimenin tam anlamıyla $ (dx_t) ^ 2 $ olarak yorumlanabilir, ancak bu terimi kullanmanın daha iyi bir yolu varsa, herhangi bir rehberlikten memnuniyet duyulur.

$$ dx_t = \ mu dt + \ sigma dz_t \\ y_t = f (t, x_t) $$

Burada önemli bir fikir $ \ left (dx_t \ right) ^ 2 = \ left (\ ldots \ right) dt ^ 2 + \ left (\ ldots \ right) dzdt + \ sigma ^ 2 dz_t ^ 2 = \ sigma ^ 2 dt. Kaybeden sebep, $ \ left (dz_t \ right) ^ 2 = dt $ ve diğer tüm terimlerin (yani $ dt ^ 2 $ ve $ dz \, dt $) olmasıdır. son derece $ dt $ 'dan küçük.

$ Dz_t ^ 2 = dt $ için korkunç gevşek sezgi, $ dz_t $ 'ın normalde $ dt $ varyansı ile dağıtıldığı ve bu nedenle $ dz_t $ karesinin beklentisi $ dt $' dır.

Her durumda, biz var:

\ Başlamak {*} hizaya \ quad dy_t & amp; = \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi t} dt + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} dx_t + \ frac {1} {2} \ frac {\ kısmi ^ 2 f } {\ kısmi x ^ 2} dx ^ 2_t \\ & amp; = \ frak {\ kısmi f} {\ kısmi t} dt + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ left (\ mu dt + \ sigma dz_t \ right) + \ frac {1} {2 } \ frac {\ kısmi ^ 2 f} {\ kısmi x ^ 2} \ sigma ^ 2 dt \\ & amp; = \ left (\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi t} + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ mu + \ frac {1} {2} \ frac {\ kısmi ^ 2 f } {\ kısmi x ^ 2} \ sigma ^ 2 \ sağ) dt + \ left (\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ sağ) \ sigma dz_t \ Ucu {align *}

Hangisi lemma.

Belki de Itô formülün yanlıştır. Bakmak:

http://www.columbia.edu/~mh2078/stochastic_calculus.pdf

Sayfa 6'da Itôs Lemma bulacaksınız. $ Dx_t ^ 2 $ 'ı $ (dx_t) ^ 2 $ olarak yorumlamanız gerekmez. Formülünüzdeki $ dx_t ^ 2 $ kısmı aslında $ (dx_t) ^ 2 $ 'dır.