Ito'nun Lemma türevi


3

Varlık fiyatlandırmasına giriyorum ve Ito'nun Lemma'sına bakıyordum, ancak verilen birkaç adımı anlayamıyorum.

İto'nun Lemması verilenleri belirtiyor

$$ dx_t = \ mu dt + \ sigma dz_t \\ y_t = f (t, x_t) $$

sonra

$$ (1) \ quad dy_t = \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi t} dt + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} dx_t + \ frac {1} {2} \ frac {\ ^ 2 f} {\ kısmi x ^ 2} dx ^ 2_t \\ $$

Bu kuralı, ikinci denklemin zincir kuralını ve ikinci dereceden Taylor genişlemesini kullanarak anlıyorum. Aşağıdakilerin neden geçerli olduğunu anlamıyorum:

$$ (*) \ quad dy_t = \ left [\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi t} + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ mu + \ frac {1} {2} \ frac {\ kısmi ^ 2 f} {\ kısmi x ^ 2} \ sigma ^ 2 \ sağ] dt + \ left [\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ sigma \ sağ] dz_t \\ $$

$ Dx_t $ yerine $ (1) $ yazıp $ dz ^ 2_t = dt $ yerine kullandığımda, $ (*) $ 'a gelmek yeterli değildir. Bence $ dx ^ 2_t $ kelimenin tam anlamıyla $ (dx_t) ^ 2 $ olarak yorumlanabilir, ancak bu terimi kullanmanın daha iyi bir yolu varsa, herhangi bir rehberlikten memnuniyet duyulur.


2
Hto'nun "Seçenekler ve Türevleri" nde, İto'nun lemasını ispatlamak için ilginç bir ek bulabileceğiniz güçlü bir okuma öneririm.
Alexis L.

Kimsenin bunu sonsuza dek cevaplaması garip. Math.stackexchange'te, çabucak yardım alabileceğinden eminim! Bu ekonomiye özgü değildir.
Matthew Gunn

Yanıtlar:


2

$$ dx_t = \ mu dt + \ sigma dz_t \\ y_t = f (t, x_t) $$

Burada önemli bir fikir $ \ left (dx_t \ right) ^ 2 = \ left (\ ldots \ right) dt ^ 2 + \ left (\ ldots \ right) dzdt + \ sigma ^ 2 dz_t ^ 2 = \ sigma ^ 2 dt. Kaybeden sebep, $ \ left (dz_t \ right) ^ 2 = dt $ ve diğer tüm terimlerin (yani $ dt ^ 2 $ ve $ dz \, dt $) olmasıdır. son derece $ dt $ 'dan küçük.

$ Dz_t ^ 2 = dt $ için korkunç gevşek sezgi, $ dz_t $ 'ın normalde $ dt $ varyansı ile dağıtıldığı ve bu nedenle $ dz_t $ karesinin beklentisi $ dt $' dır.

Her durumda, biz var:

\ Başlamak {*} hizaya \ quad dy_t & amp; = \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi t} dt + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} dx_t + \ frac {1} {2} \ frac {\ kısmi ^ 2 f } {\ kısmi x ^ 2} dx ^ 2_t \\ & amp; = \ frak {\ kısmi f} {\ kısmi t} dt + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ left (\ mu dt + \ sigma dz_t \ right) + \ frac {1} {2 } \ frac {\ kısmi ^ 2 f} {\ kısmi x ^ 2} \ sigma ^ 2 dt \\ & amp; = \ left (\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi t} + \ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ mu + \ frac {1} {2} \ frac {\ kısmi ^ 2 f } {\ kısmi x ^ 2} \ sigma ^ 2 \ sağ) dt + \ left (\ frac {\ kısmi f} {\ kısmi x} \ sağ) \ sigma dz_t \ Ucu {align *}

Hangisi lemma.


Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.