Beklenti terimi ile Euler denkleminin log-doğrusallaştırılması

10

Log-lineerizasyona yardımcı olacak birkaç çevrimiçi kaynak vardır (örneğin, burada veya burada ). Ancak, bir beklenti söz konusu olduğunda log-lineerleştirme biraz zordur çünkü günlük beklenti operatörünü basitçe "geçemez". Birisi bu örnekte cebire yardımcı olabilir mi?

Euler denklemim var (denklem 1) burada . Risksiz fiyat için bir ifade ve hisse senedi primi için bir ifade türetmeye çalışıyorum. Bunu nasıl yapmalıyım?

1 = E_{t} [{δ {(\frac{C_{t + 1}}{C_{t}})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{1 + R_{m, t + 1}}}^{1 - θ} 1 + R_{i, t + 1}]

$1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta \left \{ \frac{1}{1 + R_{m,t+1}} \right \}^{1 - \theta} 1 + R_{i, t+1} \right ]$

θ = (1 - γ) / (1 - 1 / ψ)

$\theta = ( 1 -\gamma)/(1 - 1/\psi)$

Yukarıdaki ikinci bağlantıdan ilgi değişkenlerini bu yüzden değiştirerek başlamalıyım gibi görünüyor . Sonra verilen adımları takip ederek, varmalıyım gibi görünüyor (denklem 2) $C_t = c e^{\tilde C_t}$

\begin{aligned} 1 = E_{t} [{δ {(\frac{{\tilde{C}}_{t + 1} + 1}{{\tilde{C}}_{t} + 1})}^{- 1 / ψ}}^{θ} {\frac{1}{(1 + R_{m}) [\tilde{(1 + R_{m, t + 1})} + 1]}}^{1 - θ} \cdot \cdot [(1 + R_{i}) [\tilde{(1 + R_{i, t + 1})} + 1]]] . \end{aligned}

$\begin{align} 1 = E_t \left [ \left \{ \delta \left (\frac{\tilde C_{t+1} + 1}{\tilde C_t + 1} \right )^{-1/\psi} \right \}^\theta {} \left \{ \frac{1}{(1 + R_m)[\widetilde{(1 + R_{m,t+1})} + 1]} \right \}^{1 - \theta} \cdot \\ \cdot [(1 + R_i)[\widetilde{(1 + R_{i, t+1})} + 1]] \right ]. \end{align}$

Ama buradan nereye gideceğim?

DÜZENLE:

Denklem 1'i doğrudan sahip olduğum notlardan kopyaladım. Muhtemelen sağdaki terim olan parantez içinde olmalıdır . Log-lineerleştirme konusundaki ilk denememde bu şekilde davrandım. $1 + R_{i,t+1}$ $(1 + R_{i,t+1})$
Denklem 2'de, başlangıçtaki ikinci linkte bulunabilen talimattaki adımları takip ettim. Yani, zaman aboneliği olmayan ve sabit durumdaki bu değerlerdir. $R_i$ $R_m$
$R_m$ piyasa portföyünün getirisi ve varlık getirisidir . $R_i$ $i$

DÜZENLEME 2:

Yararlı yorumlar için teşekkürler. Yani, şimdiye kadar topladığımdan, böyle bir şey almalıyım:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) \\ \cdot (1 + R_{i}) ((1 + {\tilde{R}}_{i, t} \frac{R_{i}}{1 + R_{i}})] \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) \right .\\ & \left . \, \cdot (1 + R_i) \left ( (1 + \tilde R_{i,t} \frac{ R_i}{1 + R_i} \right ) \right ] \end{align}$

Bu, risksiz oranın aşağıdaki gibi bulunduğu anlamına gelir:

\begin{aligned} 1 & = E_{t} [δ^{θ} (1 - \frac{θ}{ψ} ({\tilde{C}}_{t + 1} - {\tilde{C}}_{t}) (1 + R_{m})^{θ - 1} (θ - 1) (1 + {\tilde{R}}_{m, t} \frac{R_{m}}{1 + R_{m}}) (1 + R_{f})] \\ 1 & = E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{f})] \\ \frac{1}{E_{t} [m_{t + 1}]} & = 1 + R_{f} . \end{aligned}

$\begin{align} 1 &= E_t \left [ \delta^\theta (1 - \frac \theta \psi (\tilde C_{t+1} - \tilde C_t ) (1 + R_m)^{\theta - 1} (\theta - 1) \left ( 1 + \tilde R_{m,t} \frac{R_m}{1 + R_m} \right ) (1 + R_f) \right ] \\ 1 &= E_t[ m_{t+1} (1 + R_f)] \\ \frac{1}{E_t[m_{t+1}]} &= 1 + R_f. \end{align}$

Bu doğru mu? Ve şimdi, soruyu bitirmek için, hisse senedi primini nasıl bulabilirim?

macroeconomics asset-pricing

— ethan1410
kaynak

Koşuyorum, ama Gali'nin kitabına erişiminiz var mı? Bence kapsamlı bir şekilde yapıyor, iirc

— FooBar

Hayır. İçinde bulunduğu Para Politikası kitabı mı? "Para Politikası, Enflasyon ve İş Döngüsü?"

— ethan1410

Verdiğiniz son eşitlik (risksiz oran üzerinden 1, sdf'nin beklentisine eşittir) her zaman doğrudur, bu yüzden bu iyi bir işarettir. Özkaynak primini bulmak için, piyasaya bir hak talebinin değeri olan 'nin fiyatını , sonra risksiz getiri fiyatını çıkarın: 1.

E_{t} [m_{t + 1} (1 + R_{m})]

$E_t[m_{t+1}(1+R_m)]$

— jayk

4

Şimdilik beklenen değerin varlığını görmezden gelelim. Bu belirleyici bir kurulum olsaydı, günlükleri alarak doğrusallaştırma basit olurdu ve OP'nin sağladığı bağlantıların hileleri olmadan. İlk denklemin her iki tarafında doğal loglar alarak:

\begin{matrix} (1) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} \ln (\frac{C_{t + 1}}{C_{t}}) - (1 - θ) \ln (1 + R_{m, t + 1}) + \ln (1 + R_{i, t + 1}) \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\ln \left (\frac{C_{t+1}}{C_t} \right )-(1-\theta) \ln(1 + R_{m,t+1}) + \ln (1 + R_{i, t+1}) \tag{1}$

Ayarlamak

\begin{matrix} (2) & {\hat{c}}_{t + 1} = \frac{C_{t + 1} - C_{t}}{C_{t}} \Rightarrow \frac{C_{t + 1}}{C_{t}} = 1 + {\hat{c}}_{t + 1} \end{matrix}

$\hat c_{t+1} = \frac{C_{t+1}-C_t}{C_t} \Rightarrow \frac{C_{t+1}}{C_t} = 1+\hat c_{t+1} \tag{2}$

Ayrıca, en azından için yaklaşık olarak yazmanın standart bir yaklaşım olduğunu unutmayın . Genellikle büyüme oranları ve finansal oranlar için durum böyledir. $\ln (1+a) \approx a$ $|a|<0.1$

\begin{matrix} (3) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} {\hat{c}}_{t + 1} - (1 - θ) R_{m, t + 1} + R_{i, t + 1} \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}\hat c_{t+1} -(1-\theta) R_{m,t+1} + R_{i, t+1} \tag{3}$

bu, mevcut üç değişkeni birbirine bağlayan açık ve dinamik bir ilişkidir. Modelde, kararlı durum sabit tüketim ve sabit geri dönüşlerle karakterize edilirse, o zaman ve böylece kararlı durum ilişkisi olacak $\hat c_{t+1} =0$

\begin{matrix} (4) & R_{i} = - θ \ln δ + (1 - θ) R_{m} \end{matrix}

$R_{i} = - \theta \ln \delta + (1-\theta) R_{m} \tag{4}$

Ama bütün bunları beklenen değeri göz ardı ederek yaptık. Bizim ifade , sadece değil . Birinci dereceden Taylor genişlemesini . Bir genişleme merkezine ihtiyacımız var. Sadece dört değişken temsil (bu değişken bir zarar gelmez -index mevcuttur ). İşlevi etrafında genişletmeyi seçiyoruz . Yani $E_t\left[f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)\right]$ $f\left(C_t, C_{t+1},R_{m,t+1},R_{i,t+1} \right)$ $f()$ $\mathbf z_{t+1}$ $t$ $\mathbf z_{t+1}$ $E_t(\mathbf z_{t+1})$

\begin{matrix} (5) & f (z_{t + 1}) \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) + \nabla f (E_{t} [z_{t + 1}]) \cdot (z_{t + 1} - E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$f\left(\mathbf z_{t+1}\right) \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) + \nabla f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right)\cdot \big(\mathbf z_{t+1}-E_t[\mathbf z_{t+1}]\big) \tag{5}$

Sonra

\begin{matrix} (6) & E_{t} [f (z_{t + 1})] \approx f (E_{t} [z_{t + 1}]) \end{matrix}

$E_t\left[f\left(\mathbf z_{t+1}\right)\right] \approx f\left(E_t[\mathbf z_{t+1}]\right) \tag{6}$

Açıkçası bu bir yaklaşımdır, yani sadece Jensen eşitsizliğinden dolayı bile hatalıdır. Ancak standart bir uygulamadır. Daha sonra, deterministik versiyonda yaptığımız tüm önceki çalışmaların, değişkenlerin yerine koşullu beklenen değerler ekleyerek stokastik versiyonda uygulanabileceğini görüyoruz. Yani eq. yazılmıştır $(3)$

\begin{matrix} (7) & 0 = θ \ln δ - \frac{θ}{ψ} E_{t} [{\hat{c}}_{t + 1}] - (1 - θ) E_{t} [R_{m, t + 1}] + E_{t} [R_{i, t + 1}] \end{matrix}

$0 = \theta \ln \delta-\frac {\theta}{\psi}E_t[\hat c_{t+1}] -(1-\theta) E_t[R_{m,t+1}] + E_t[R_{i, t+1}] \tag{7}$

Fakat kararlı durum değerleri nerede ? Peki, stokastik bir bağlamdaki kararlı durum değerleri biraz zor - değişkenlerimizin (şu anda rasgele değişken olarak değerlendirilen) sabit olduğunu iddia ediyoruz ? Yoksa stokastik bir bağlamda kararlı bir durumu tanımlamanın başka bir yolu var mı?

Birden fazla yol var. Bunlardan biri, mükemmel bir şekilde mutlaka sabit olmayan bir değer tahmin ettiğimiz "mükemmel öngörü kararlı durumu" dur (bu, "yerine getirilmiş beklentiler olarak denge" kavramıdır). Bu, örneğin bir yorumda bahsedilen Jordi Gali'nin kitabında kullanılır . "Mükemmel öngörü kararlı durumu"

\begin{matrix} (8) & E_{t} (x_{t + 1}) = x_{t + 1} \end{matrix}

$E_t(x_{t+1}) = x_{t+1} \tag{8}$

Bu kavram altında, eq. eq. şimdi ekonominin "mükemmel öngörü stokastik kararlı durum" denklemidir. $(7)$ $(3)$

Değişkenlerin kararlı durumda sabit olduğunu söyleyerek daha güçlü bir durum istiyorsak, yine, tahminlerinin sonunda mükemmel olacağını iddia etmek de mantıklıdır. Bu durumda, stokastik ekonominin istikrarlı hali deterministik ekonomininkiyle aynıdır, yani denklem. . $(4)$

— Alecos Papadopoulos
kaynak

@jmbejara Bu kesinlikle doğru . Bir fonksiyonun kesilmiş birinci dereceden Taylor yaklaşımının beklenen değeridir. Buna katılmıyor musunuz? Bunun yetersiz bir yaklaşım olduğunu düşünmek , başka bir konudur ve yaklaşıklığın kalitesini ve yeterliliğini değerlendirmek için hangi kriterleri kullandığınızla ilgilidir.

— Alecos Papadopoulos

Tamam. Haklısın. Ama dediğin gibi, durumdaki en iyi şeyin ne olduğundan emin değilim. Ama kesinlikle bunun için farklı yollar var gibi görünüyor. Önyargı hakkında kesinlikle söylenecek bir şey var, ama iyi bir noktaya değindin. Bana izin verir vermez oylamayı geri alacağım.

— jmbejara

3

Doğru yaklaşım . Bu tarafsızdır, ancak değildir. Bunu görmek için , üzerinde burada "bar" beklenti işlecini temsil eder). Ardından, yaklaşık Bu yaklaşım normal olarak dağıtıldığında kesindir (Stein'ın lemması ile). $f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$ $f(x) \approx E[f(x)] + f'(E[x]) (x - E[x])$ $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$

\frac{Cov (f (x), x)}{Var(x)} \approx E [f^{'} (x)] .

$\frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}} \approx E[f'(x)].$

x

$x$

DÜZENLE:

Açıklamak için, üzerindeki projeksiyonunun bize verdiğini görün. ; burada ve . Stein'ın lemmasını yukarıda açıklandığı gibi beta'ya yaklaştırırsak , bu tarafsız, Öte yandan, $f(x) - \overline{f(x)}$ $x - \bar x$ $f(x) - \overline{f(x)} = \beta (x - \bar x) + \epsilon$ $E[\epsilon] = E[\epsilon x] = 0$ $\beta = \frac{\text{Cov}(f(x), x)}{\text{Var(x)}}$ $\beta$

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - \bar{x}) + ϵ,

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - \bar x) + \epsilon,$

E [ϵ] = 0.

$E[\epsilon] = 0.$

E [f (E [x]) + f^{'} (E [X]) (x - E [x])] = f (E [x]) \neq E [f (x)] .

$E[f(E[x]) + f'(E[X]) (x - E[x])] = f(E[x]) \neq E[f(x)].$

— jmbejara
kaynak

Cevabınıza yaklaşımının ayrıntılı türevini dahil edebilmeniz yararlı olacaktır .

f (x) \approx E [f (x)] + E [f^{'} (x)] (x - E [x])

$f(x) \approx E[f(x)] + E[f'(x)] (x - E[x])$

— Alecos Papadopoulos

Cevabınızı geliştirdiğiniz için teşekkürler. Soruna yakın kalmak için OP'nin işlevi vardır ve beklenen değerini değiştirmek ister. Bu yüzden için yazdığınız ifadeyi ve

f (x)

$f(x)$

E [f (x)]

$E[f(x)]$

E [f (x)] \approx f (x) - \frac{Cov (f (x), x)}{Var (x)} \cdot [x - E (x)] ?

$E[f(x)] \approx f(x) - \frac {\text{Cov}(f(x),x)}{\text{Var}(x)}\cdot [x-E(x)]?$

— Alecos Papadopoulos

3

Sorununuz, özyinelemeli (Epstein-Zin) tercihlere sahip varlık fiyatlandırma denklemine benziyor. Varlık fiyatları ile ilgilendiğinde, olağan "makroekonomik" doğrusallaştırmaya dikkat etmek gerekir. Böyle bir yaklaşım kesin olarak eşdeğerdir, yani doğrusallaştırılmış çözeltinin katsayıları şokların büyüklüğüne bağlı değildir. Ayrıca, doğrusallaştırılmış çözümdeki tüm değişkenler, deterministik kararlı durumları etrafında dalgalanacaktır. Sonuç olarak, risk premi sıfırdır, bu da noktayı ortadan kaldırır.

Bir çözüm daha yüksek mertebeden pertürbasyon yöntemlerini kullanmaktır (sabit risk premi elde etmek için 2. mertebe, zamanla değişen premi için 3. mertebe). Modeli sayısal olarak yine de çözmek istiyorsanız, mevcut yazılımla (örn. Dynare) bunu yapmak kolaydır (bu durumda manuel olarak doğrusallaştırmaya da gerek yoktur). Bunun yerine analitik (yaklaşık) bir çözüm tercih edilirse, olağan yol, miktar dinamiklerini doğrusallaştırmaktır (örneğin, tüketim artışı), daha sonra Bansal ve Yaron'da (2004) olduğu gibi lognormallik varsayımını kullanarak beklentileri hesaplayarak doğrudan Euler denkleminden varlık fiyatları elde etmektir .

Örneğin, küçük harf değişkenleri günlükse, normal Euler denklemi şu şekilde yeniden yazılabilir:

1 = E_{t} [\exp (m_{t + 1} + r_{t + 1})]

$1 = E_t [\exp(m_{t+1} + r_{t+1})]$

Eğer olan (şartlı) birlikte, normal, yukarıda ima $m_{t+1},r_{t+1}$

\begin{matrix} (1) & 0 = E_{t} [m_{t + 1}] + E_{t} [r_{t + 1}] + \frac{1}{2} {V a r_{t} [m_{t + 1}] + V a r_{t} [r_{t + 1}] + 2 C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]} \end{matrix}

$0 = E_t[m_{t+1}] + E_t[r_{t+1}] + \frac{1}{2} \left\{ Var_t[m_{t+1}] + Var_t[r_{t+1}] + 2 Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}] \right\} \tag{1}$

Risksiz oran veya $\exp(-r^f_t) = E_t[\exp(m_{t+1})]$

r_{t}^{f} = - E_{t} [m_{t + 1}] - \frac{1}{2} V a r_{t} [m_{t + 1}]

$r^f_t = -E_t[m_{t+1}] - \frac{1}{2} Var_t[m_{t+1}]$

ve böylece sahip olmalıyız

E_{t} [r_{t + 1}] - r_{t}^{f} + \frac{1}{2} V a r_{t} [r_{t + 1}] = C o v_{t} [m_{t + 1}, r_{t + 1}]

$E_t[r_{t+1}] - r^f_t + \frac{1}{2}Var_t[r_{t+1}] = Cov_t[m_{t+1},r_{t+1}]$

Varlık fiyatlarını gerçekten hesaplamak için,

log-SDF'yi bazı durum değişkenleri ve şoklarının doğrusal bir fonksiyonu olarak ifade eder (örn. CRRA durumunda log tüketimi artışı)
getiriyi log temettü-fiyat oranı (Campbell-Shiller yaklaşımı) açısından doğrusallaştırmak, (1) 'e koyun.
Durum değişkenlerinde log D / P oranını lineer olarak ifade eder, ardından tatmin edici bir çözüm elde etmek için belirsiz katsayılar yöntemini kullanır (1).

Uygulamada biraz daha karmaşıktır (özellikle EZ tercihleri ile, ilk önce SDF'ye giren piyasa getirisini elde etmek için yaklaşımı kullanmak zorundayken, daha sonra diğer geri dönüşler için ikinci kez), ancak daha fazla ayrıntı örneğin bağlantılı Bansal & Yaron'da bulunabilir kağıt.

— ivansml
kaynak

1

Kesinlikle. Bu konudaki karışıklık, varlık fiyatlandırması için bir Euler denkleminin birinci dereceden bir yaklaşımında risk primi olmadığı gerçeğinden kaynaklanmaktadır. (SDF ve geri dönüş arasındaki kovaryans doğal olarak ikinci sıradadır.) Bunu temizlediğiniz için teşekkürler.

— nominal olarak katı