AR (1) modelinde katsayının yorumlanması

2

Bir AR (1) süreci şöyle verilir:

x_{t} = ρ_{0} + ρ_{t - 1} x_{t - 1} + ϵ_{t}

$x_t=\rho_0+\rho_{t-1}x_{t-1}+\epsilon_t$

Bu regresyon bize zamanındaki değerinin bir fonksiyonu olduğunu söyler . $x_{t}$ $t-1$

Sorum şu: katsayısını nasıl yorumluyorsunuz ? Ücret eğitimi konusunda gerileme yaptığınız bir vaka için işgücü ekonomisi örneğinde (yalnızca kesitsel verilerin kullanıldığı yerlerde) karşılaştırılarak. ı ile ilgili olarak, bu regresyonun partials almak olsaydı ı yorumlayabilir eğitimden ücret marjinal olarak geri döner. $\rho_{t-1}$

y_{w a g e} = β_{0} + β_{1} x_{e d u c} + u

$y_{wage}=\beta_0+\beta_{1} x_{educ}+u$

x_{e d u c}

$x_{educ}$

β_{1}

$\beta_1$

AR (1) sürecinde, önceki adımların aynısını izleyerek katsayısının nasıl yorumlanacağından emin değilim . $\rho_{t-1}$

Anlamı nedir?

econometrics time-series

— EconJohn
kaynak

3

İkinci mertebeden bir sabit seri için, bağımlı değer ile gecikme arasındaki korelasyon katsayısıdır. belirtin

y_{t + 1} = a + β y_{t} + u_{t + 1} u_{t + 1} = white noise

$y_{t+1} = a+ \beta y_t + u_{t+1}\qquad u_{t+1}= \text{white noise}$

$y_{t+1}$ $y_{t}$

ρ_{(1)} = \frac{Cov (y_{t + 1}, y_{t})}{σ (y_{t + 1}) σ (y_{t})}

$\rho_{(1)} = \frac{\text{Cov}(y_{t+1},y_{t})}{\sigma(y_{t+1})\sigma(y_t)}$

Cov (y_{t + 1}, y_{t}) = E (y_{t + 1} y_{t}) - E (y_{t + 1}) E (y_{t})

$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = E(y_{t+1}y_{t}) - E(y_{t+1})E(y_{t})$

= E ((a + β y_{t} + u_{t + 1}) y_{t}) - E (y_{t + 1}) E (y_{t}) = a E (y_{t}) + β E (y_{t}^{2} + u_{t + 1} y_{t}) - E (y_{t + 1}) E (y_{t})

$= E\Big((a+\beta y_t+u_{t+1})y_{t}\Big) - E(y_{t+1})E(y_{t}) = aE(y_t)+\beta E\Big(y_t^2+u_{t+1}y_{t}\Big) - E(y_{t+1})E(y_{t})$

$E(u_{t+1}y_{t}) =0$ $E(y_t)=E(y_{t+1}) = \frac{a}{1-\beta}$

Bunları kullanarak elde ederiz

Cov (y_{t + 1}, y_{t}) = \frac{a^{2}}{1 - β} + β E (y_{t}^{2}) - \frac{a^{2}}{(1 - β)^{2}}

$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = \frac{a^2}{1-\beta}+\beta E(y_t^2) - \frac{a^2}{(1-\beta)^2}$

Tanım olarak varyans

Var (y_{t}) = E (y_{t}^{2}) - [E (y_{t})]^{2} = E (y_{t}^{2}) - \frac{a^{2}}{(1 - β)^{2}}

$\text{Var}(y_t) = E(y_t^2) - [E(y_t)]^2 = E(y_t^2) -\frac{a^2}{(1-\beta)^2}$

⟹ E (y_{t}^{2}) = Var (y_{t}) + \frac{a^{2}}{(1 - β)^{2}}

$\implies E(y_t^2) = \text{Var}(y_t) + \frac{a^2}{(1-\beta)^2}$

ikame edilerek,

Cov (y_{t + 1}, y_{t}) = \frac{a^{2}}{1 - β} + β Var (y_{t}) + β \frac{a^{2}}{(1 - β)^{2}} - \frac{a^{2}}{(1 - β)^{2}}

$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = \frac{a^2}{1-\beta}+\beta \text{Var}(y_t) + \beta \frac{a^2}{(1-\beta)^2} - \frac{a^2}{(1-\beta)^2}$

İşler iptal edildi ve biz kaldı

Cov (y_{t + 1}, y_{t}) = β Var (y_{t})

$\text{Cov}(y_{t+1},y_{t}) = \beta\text{Var}(y_t)$

$\text{Var}(y_t) = \text{Var}(y_{t+1}) = \text{Var}(y)$

Bunların hepsini korelasyon katsayısına ekleme

ρ_{(1)} = \frac{β Var (y)}{σ (y) σ (y)} = \frac{β Var (y)}{Var (y)} = β .

$\rho_{(1)} = \frac{\beta\text{Var}(y)}{\sigma(y)\sigma(y)} = \frac{\beta\text{Var}(y)}{\text{Var}(y)} = \beta.$

$a$ $a=0$

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Yani. Bu tam olarak matematik olmadan söylediğim şeydi. Doğru yolda olduğumu bilmek sevindim. Her zamanki gibi ... iyi cevap.

— 123

@ 123 Teşekkürler. Gerçekten de kelimelerin arkasındaki matematiktir.

— Alecos Papadopoulos,

2

İkinci dereceden durağanlığı varsayarsak, buradaki yorumlamanın bir korelasyon olduğunu düşünüyorum. Yani, örneğinizdeki katsayı basitçe bağımlı değişkeninizin eş değer bir değeri ile bir dönem gecikmesi arasındaki korelasyondur.

— 123
kaynak

ρ = \frac{c o v (x_{t}, x_{t - 1})}{σ_{x_{t}} σ_{x_{t - 1}}}

$\rho=\frac{cov(x_t,x_{t-1})}{\sigma_{x_t} \sigma_{x_{t-1}}}$

β_{1} = \frac{c o v (x_{t}, x_{t - 1})}{σ_{x_{t}}}

$\beta_1=\frac{cov(x_t,x_{t-1})}{\sigma_{x_t}}$

1

Örnekte,

β_{1} = C O V (x_{t}, x_{t - 1}) / V A R (x_{t - 1})

$\beta_1 = COV(x_t,x_{t-1})/VAR(x_{t-1})$

x

$x$

V A R (x_{t - 1}) = S D (x_{t - 1}) S D (x_{t})

$VAR(x_{t-1}) = SD(x_{t-1})SD(x_{t})$

@ Tobias Bunu bilmiyordum, bana bunu tartışan bir öğretici / pdf bağlayabilir misiniz?

— EconJohn

@EconJohn Bu sadece durağanlığın tanımıdır, yukarıdaki cevaba bakınız.

— Tobias,

1

AR (1) modelindeki katsayıyı, size sürecin dinamikleri hakkında bir şeyler söylemek olarak düşünebilirsiniz. Örneğin, model ücret artışındaysa,> 0 katsayısı dün daha yüksek ücretlerin bugün daha yüksek ücretlerle ilişkili olduğunu göstermektedir. Eğer katsayı <1 ise, o zaman dünkü ücret artışından (yani durağan bir süreç) tam bir geçiş yoktur,>> ise, o zaman ücret artışlarının hızlandığı durağan olmayan bir sürece sahipsiniz. Ücret artışında veya enflasyon durumunda bu, hiperinflasyonun bir göstergesi olabilir.

— Andrew M
kaynak