Optimal Kontrol başarısız olduğunda (?)

"Sorumu sormak" için önce bir modeli çözmem gerekiyor. Bazı adımları atlayacağım ama yine de, bu kaçınılmaz olarak bu yazıyı çok uzun yapacak - bu da bu topluluğun bu tür soruları beğenip beğenmediğini görmek için bir test.

Başlamadan önce, bunun sürekli bir zamanda tamamen standart bir neoklasik büyüme modeli gibi görünebileceğini açıklığa kavuştum, ancak değil : Bu, etrafındaki ekonomide kimseyi "temsil etmeyen" tek bir bireyle, modellenmemiş. Buradaki çerçeve "Tek Bir Kişinin Maksimizasyon Problemine Optimal Kontrol Uygulaması" dır . Bu Optimal Kontrol çözümü çerçevesi ve yönteminin kendisiyle ilgilidir.

Şirketinde sermayeye sahip olan küçük bir işadamı için zamanlararası fayda maksimizasyonu problemini çözerken, mükemmel rekabetçi bir işgücü piyasasında işgücü hizmetleri alırken, ürününü (taze çörek) mükemmel rekabetçi bir mal pazarında satar. Modeli belirsizlik olmadan sürekli bir zamanda (sosyoekonomik koşullar istikrarlı) ve sonsuz ufka (işadamı üst üste gelecekteki birçok kopyasını öngörüyor) yerleştirdik:

max_{c, ℓ, k} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} \ln c d t s.t. \dot{k} = f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c lim_{t \to \infty} e^{- ρ t} λ (t) k (t) = 0

$\max_{c,\ell,k}\int_0^{\infty}e^{-\rho t}\ln c\,\text{d}t\\ \text{s.t.}\;\; \dot k = f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c\\ \lim_{t\rightarrow \infty}e^{-\rho t}\lambda(t) k(t) = 0$

nerede işadamı'nın tüketimi ise tüketimden anlık aracıdır, saf zaman tercihi oranıdır, firmanın başkentidir, sermaye amortisman oranı ve bir $c$ $\ln c$ $\rho>0$ $k$ $\delta$ $f(k,\ell)$ işletmenin üretim işlevidir. Başlangıç sermayesi seviyesi verilmiştir, . İşadamının işletme ile ilgili mesleği sermayeye dahil edilir. Üretim fonksiyonu standart neoklasiktir (ölçeğe sabit getiriler, pozitif marjinal ürünler, negatif ikinci kısmi, Inada koşulları). Kısıtlamalar, sermayenin hareket yasası ve mevcut değer çarpanını kullanan Transversite şartıdır. $k_0$

Mevcut değeri ayarlama

\hat{H} = \ln c + λ [f (k, ℓ) - w ℓ - δ k - c]

$\hat H = \ln c +\lambda[f(k,\ell) - w\ell - \delta k - c]$

birinci dereceden koşulları hesaplıyoruz

\frac{\partial \hat{H}}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac{1}{c} = λ \Rightarrow \frac{\dot{c}}{c} = - \frac{\dot{λ}}{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial c} = 0 \Rightarrow \frac 1c =\lambda \Rightarrow \frac {\dot c}{c} = -\frac {\dot \lambda}{\lambda}$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial ℓ} = 0 \Rightarrow λ [f_{ℓ} - w] = 0 \Rightarrow f_{ℓ} = w

$\frac {\partial \hat H}{\partial \ell} = 0 \Rightarrow \lambda [f_{\ell} -w]=0 \Rightarrow f_{\ell} =w$

\frac{\partial \hat{H}}{\partial k} = ρ λ - \dot{λ} \Rightarrow λ [f_{k} - δ] = ρ λ - \dot{λ}

$\frac {\partial \hat H}{\partial k} = \rho\lambda - \dot \lambda \Rightarrow \lambda [f_{k} -\delta]=\rho\lambda - \dot \lambda$

ve onları birleştirerek iş adamımızın tüketiminin evrim yasasını elde ederiz,

\begin{matrix} (1) & \dot{c} = (f_{k} - δ - ρ) c \end{matrix}

$\dot c = \big(f_k-\delta -\rho \big)c \tag{1}$

İşgücü talebi için optimum kuraldan (statik) ve ölçek sürekli geri dönüş ( ) elde . Bunu elde ettiğimiz sermayenin hareket yasasına sokmak $\ell: f_{\ell} =w$ $f = f_kk + f_{\ell}\ell$ $f-w\ell = f_kk$

\begin{matrix} (2) & \dot{k} = f_{k} k - δ k - c \end{matrix}

$\dot k = f_kk - \delta k - c \tag {2}$

Denklemler ve bir diferansiyel denklemler sistemi oluşturur. Tüketimin istikrarlı hal değerleri ve işadamı sermayesi $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (3) & c^{*} = f_{k}^{*} k^{*} - δ k^{*}, k^{*} : f_{k}^{*} = δ + ρ \end{matrix}

$c^* = f_k^*k^* - \delta k^*,\;\;\; k^*: f^*_k = \delta +\rho \tag{3}$

\begin{matrix} (3a) & \Rightarrow c^{*} = ρ k^{*} \end{matrix}

$\Rightarrow c^* = \rho k^* \tag{3a}$

... oldukça tanıdık bir ifade.

$k^*$ bazen "değiştirilmiş altın kural" sermaye seviyesi olarak adlandırılır. Kararlı durum değerlerinde değerlendirilen sistemin Jacobianı , model parametrelerinin herhangi bir değeri için negatif bir belirleyiciye sahiptir , bu da sistemin eyer yolu kararlılığı göstermesi için gerekli ve yeterli bir koşuldur.

lokusunun maksimum noktası (bazen "altın kural" sermaye seviyesi olarak adlandırılır) noktasındadır. $\dot k =0$ $\tilde k$

\begin{matrix} (4) & \tilde{k} : f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} + f_{k} (\tilde{k}) - δ = 0 \Rightarrow f_{k} (\tilde{k}) = δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\tilde k : f_{kk}(\tilde k)\tilde k + f_k(\tilde k) - \delta = 0\Rightarrow f_k(\tilde k) = \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag{4}$

değeri kriter olarak önemlidir: bu sermayenin düzeyi olduğu ve bir olan maksimum (değil optimum veya kararlı durum $\tilde k$ $\dot k =0$ $c$ ).

lokus kararlı durum sermaye düzeyi faz diyagramının yatay eksen (ölçen sermaye) kesişmesi . $\dot c=0$ $k^*$

Eğer , gerektiren negatif ikinci partials nedeniyle, biz "sermayenin aşırı birikimi" sahip olacaktır (çok fazla çörek): işadamı zevk verebilir daha durağan daha düşük sermaye seviyesine sahip devlet tüketimi. Kullanılması ve Elimizdeki $k^* > \tilde k$ $f_k^* < f_k(\tilde k)$ $(3)$ $(4)$

f_{k}^{*} < f_{k} (\tilde{k}) \Rightarrow δ + ρ < δ - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k}

$f_k^* < f_k(\tilde k) \Rightarrow \delta + \rho < \delta - f_{kk}(\tilde k)\tilde k$

\begin{matrix} (5) & \Rightarrow ρ < - f_{k k} (\tilde{k}) \tilde{k} \end{matrix}

$\Rightarrow \rho < - f_{kk}(\tilde k)\tilde k \tag {5}$

Eşitsizlik , sermayenin optimal olmayan istikrarlı-devlet seviyesinin koşuludur. Ve şey şu ki, bunu dışlayamayız . Sadece işadamı "yeterince sabırlı", yeterince küçük bir saf zaman tercih oranı, ancak yine de olumlu gerektirir. $(5)$

Sorun burada başlıyor: Sermayenin aşırı birikmesi temsili temsilci modelinde etkili bir şekilde dışlanıyor. Örtüşen nesil modellerinde mümkündür, ancak makroekonomik düzeyde istenmeyen bir sonuç olarak, makro ekonominin mikro temelli olabileceği ve hala mikro dünyadan farklı davranabileceğinin en eski örneklerinden biri.

Ancak modelimiz her iki kategoride de değildir: örtük heterojen bir ortamda tek bir ajanın kısmi denge modelidir - ve genel denge sonuçları değiştirmez: bu kişi sadece kendini temsil eder. Sorun şu ki, tutarsa, Optimal Kontrol çözümü açık bir şekilde alt-optimal olacaktır. $(5)$ , çünkü burada tek bir kişi, tek bir irade, tek bir zihin var: iş adamımızın söyleyeceği çözüme bakarak, " hey, bu yöntem değersiz, eğer onun tavsiyesine uyursam, alt-optimal düzeyde yüksek bir sermaye elde edeceğim ".

Ve basitçe "iyi, Optimal Kontrol bu sorun için uygun değil, başka bir yöntem deneyin" demekten memnun değilim, çünkü neden uygun olmadığını düşünmemiz gerektiğini anlayamıyorum . Ama uygun olup olmadığını, daha sonra yöntem bir şeylerin yanlış olduğunu işaret etmelidir, bu noktada gerektiğini gerektiren bu gelmez değil o kadar olur ise bir çözüm (teklif edebilmek amacıyla, tutun gelmez tutun, her şey şişmiş görünüyor). $(5)$ $(5)$

" geçerliyse belki de Şeffaflık koşulu ihlal edilir mi?" Diye merak edilebilir. -but bunun için, yapar görünmüyor ise, pozitif bir sabit gider gider sıfır, sadece bu gerektirir . $(5)$ $\lambda(t)k(t) = k(t)/c(t)$ $e^{-\rho t}$ $\rho>0$

Sorularım:

1) Birisi burada bir fikir verebilir mi?

2) Birisi Dinamik Programlama kullanarak bunu çözerse ve sonuçları bildirirse minnettar olurum.

EK
Matematiksel bir bakış açısından, bu modelin en önemli farkı , sermayenin optimize edilmiş hareket yasası, eşd. içerir değil bütün çıkış standart modelde olduğu gibi, ancak sermaye sadece döner . Bunun nedeni, "bireysel iş maksimizasyonu problemi" çerçevesinde beklenen mülkiyet haklarını çıktı üzerinde ayırmamızdır. $(2)$ $f(k)$ $f_kk$

economic-growth optimal-control dynamic-programming

— Alecos Papadopoulos
kaynak

"Maksimum kdot = 0 lokus" derken ne demek istediğinizden emin değilim. Neye göre maksimum? Ayrıca, (4) 'ü hesaplarken, tamamen farklılaştırmamalısınız (2) - yani k'yi değiştirdikten sonra kdot = 0'ın hala tatmin olmasını sağlamak için gerekli olan c'deki değişikliği de hesaplamamalısınız?

— Ubiquitous

@Ubiquitious Sermaye açısından maksimum. Faz diyagramları bu şekilde çizilir, ancak bu hesaplamaları buraya da ekleyemedim. İkinci soru için: ayarı geliyor içinde ve sermaye, bir fonksiyonu olarak tüketimini ifade eden ( değil kararlı durum değerine üzerinden hesaplanmıştır). Bu odağın şeklini elde etmek için, sermayeye göre farklılaştırıyoruz.

(4)

$(4)$

\dot{k} = 0

$\dot k =0$

(2)

$(2)$

c = f_{k} k - δ k

$c = f_kk-\delta k$

— Alecos Papadopoulos

Her şeyi kontrol etmedim, ancak gördüğüm bir sorun, işgücü optimallik koşulunun (KRS altında) sermaye / emek oranını belirleyeceğidir, bu da sermayenin marjinal ürününü belirler ve bu da optimal yol boyunca sabit olacaktır. Model daha sonra ekzojen faiz oranındaki standart tüketim tasarrufu sorununa eşdeğerdir, bu nedenle MPK - delta> rho ise, ajanın tüketimi sabit bir oranda büyüyecektir (yani sabit bir durum yoktur).

— ivansml

@ivansml. Katkınız için teşekkürler. Ancak çözüm . Kararlı durum olduğu noktada , eşi. . Sorun, bu istikrarlı durumun hangi sermaye seviyesine karşılık geldiği ve bunun “altın kural” seviyesinin üstünde mi altında mı .

f_{k} - δ > ρ

$f_k -\delta >\rho$

f_{k} - δ = ρ

$f_k -\delta = \rho$

(3)

$(3)$

\tilde{k}

$\tilde k$

— Alecos Papadopoulos

Ancak şimdi bu sorunun oldukça eski olduğunu fark ettim ... umarım bu önemli değil. Konuya geri dön - , işgücü FOC tarafından belirlenmelidir. Kararlı durum, ancak bu değeri eşitse , yani tesadüfle (veya bazı genel denge değerlendirmesiyle) mevcut olacaktır. Daha yüksekse, ajan süresiz olarak sermaye biriktirecek ve tüketimi daha düşükse, sermayeyi ilan edecek ve tüketimi düşecektir. Gerçekten kusura CRS varsayımı içelim - "gelir" fonksiyonu is doğrusal içinde , bu yüzden istikrarlı büyüme mümkündür emek üzerindeki firma optimize kez.

f_{k}

$f_k$

f_{k}

$f_k$

ρ + δ

$\rho+\delta$

f (k, ℓ) - w ℓ

$f(k,\ell) - w \ell$

k

$k$

— ivansml

Yanıtlar:

Sorun, kararlı durumun mevcut olmayabileceğine ve bunun yerine sistemin (parametrelere bağlı olarak) sabit büyüme gösterdiğine inanıyorum.

Bunun nedeni, modelin eksojen ve sabit faiz oranlı standart tüketim tasarrufu sorununa eşdeğer olmasıdır. Bunu görmek için, önce emek seçimi için birinci dereceden koşulu göz önünde bulundurun (burada, wrt. argümanının kısmi türevidir ). Sabit getirilerin tanımını kullanarak emeğin marjinal ürünü bu yalnızca sermaye-emek oranının bir fonksiyonudur. Ücret sabitse, işgücü FOC'si optimal benzersiz bir şekilde belirler. $f_2(k,\ell) = w$ $f_i$ $f$ $i$

\frac{\partial}{\partial ℓ} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial ℓ} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1) \frac{- k}{ℓ} + f (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial \ell} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial \ell} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \frac{-k}{\ell} + f \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$ ücret ve diğer parametrelerin bir fonksiyonu olarak oran . Sermayenin marjinal ürünü de bağlıdır, en uygun yol boyunca sabit olacaktır. Bu marjinal ürün değerini ve amortismanının net değerini belirtiniz . Sermaye ve tüketim dinamiği için denklemler (1) - (2) ve koşulunu sağlayan özel çözüm

w

$w$

\frac{\partial}{\partial k} f (k, ℓ) = \frac{\partial}{\partial k} [f (\frac{k}{ℓ}, 1) ℓ] = f_{1} (\frac{k}{ℓ}, 1)

$\frac{\partial }{\partial k} f(k,\ell) = \frac{\partial }{\partial k} \left[ f \left( \frac{k}{\ell},1 \right) \ell \right] = f_1 \left( \frac{k}{\ell},1 \right)$

k / ℓ

$k/\ell$

r^{*}

$r^*$

r = r^{*} - δ

$r = r^* - \delta$

\begin{aligned} {\dot{c}}_{t} & = (r - ρ) c_{t} \\ {\dot{k}}_{t} & = r k_{t} - c_{t} \end{aligned}

$\begin{split} \dot c_t &= (r - \rho) c_t \\ \dot k_t &= r k_t - c_t \end{split}$

c_{t} = ρ k_{t}

$c_t = \rho k_t$ ile verilen zenginlik yani sabit bir parçası her an tüketilmektedir. Hem sermaye hem de tüketim oranında büyür , bu nedenle sermaye getirisi (burada eksojen ücret oranına bağlıdır ) zaman tercih oranına eşit olmadığı sürece sabit bir durum yoktur .

k_{0}

$k_0$

(r - ρ)

$(r-\rho)$

w

$w$

— ivansml
kaynak

(+1) Teşekkürler. Bunu şimdi benim bir cevabım olarak alıyorum.

— Alecos Papadopoulos

mükemmel cevap. temel olarak, emek en iyi şekilde seçildikten sonra, kâr fonksiyonu sermayede doğrusal hale gelir - böylece bu model, özellikleri (kararlı durum büyümesi dahil) iyi anlaşılan bir AK modeline kadar kaynar.

— nominal olarak katı

@nominallyrigid Ama sadece ücretin sabit kaldığını varsayarsak . Bunun genel denge olmadığını, sadece ekonominin okyanusunda yüzen küçük bir birey olduğunu unutmayın.

— Alecos Papadopoulos

Bunu bir cevap olarak gönderiyorum, çünkü kullanıcı @ivansml cevabı üzerinde devam ediyor ... ki burada yakalamayı belirleyen, safça gözden kaçırdığım bir yakalama (ilginç bir durum olsa da, ilginç bir par sonra geliyor. Bununla birlikte, ele alınması gerekirdi).

Gerçekten de, dışsal ücret oranı ve emek talebinde mükemmel rekabetçi optimizasyon ile, sermayenin marjinal ürünü sadece modelin parametreleri ve ücret oranı ile belirlenir. Ücret oranının sabit olduğunu varsaydığımız basit vaka için, @ivansml ambarlarının analizi: model endojen büyümeden biri haline gelir : sermayenin marjinal ürünü sabittir, bu da sabit olmayan endojen büyüme için gereklidir. düzeylerde devlet .

İfade eden ve , denklemler ve OP'nin yazılabilir $\hat c = \dot c/c$ $\hat k = \dot k /k$ $(1)$ $(2)$

\begin{matrix} (1b) & \hat{c} = f_{k} - δ - ρ \end{matrix}

$\hat c = f_k-\delta -\rho \tag{1b}$

\begin{matrix} (2b) & \hat{k} = f_{k} - δ - c / k \end{matrix}

$\hat k = f_k - \delta - c/k \tag{2b}$

Yana sabittir, tüketim artış hızı sabittir - sıfır, pozitif veya negatif, parametreler ve ücret bağlı. Diğer taraftan aldığımız zamana göre farklılaşma $f_k$ $(2b)$

\dot{\hat{k}} = (\hat{k} - \hat{c}) \cdot (c / k)

$\dot {\hat k} = (\hat k - \hat c)\cdot (c/k)$

ve kararlı durum büyümesi için , den sadece ise elde edilen istiyoruz . olduğundan, enine uyumluluk koşulunun geçerli olmasının tek yolunun tüketim ve sermayenin aynı oranda büyüyüp küçüldüğünü (veya sabit kaldığını) doğrulamak kolaydır . $\hat k = \hat c$ $(2b)$ $c = \rho k$ $\lambda(t) = c(t)$

Tüm ekonomiyi incelediğimiz uygun endojen büyüme modellerinde, sadece model parametrelerinin pozitif bir büyüme oranı olacak şekilde olduğunu varsayıyoruz , çünkü gerçek dünyada gözlemlediğimiz budur. Ama burada, sadece bir kişimiz var. Peki, iş adamımıza ne söylüyor olabiliriz?

Eğer , büyüme hızı pozitif olan ve onun tüketim ve sermaye hem sabit oranı korunarak, "sonsuza kadar" büyümeli. Eğer , büyüme hızı sıfırdır ve her iki değişken kalmak sonsuza sabiti. Eğer , büyüme hızı negatif ve biz (her zaman ilişki sürdürmek tüketimi ve sermaye azalan bir aşağıya sarmal girmelidir ). $f_k-\delta -\rho >0$
$f_k-\delta -\rho =0$
$f_k-\delta -\rho <0$ $c= \rho k$

Bu, Optimal Kontrol uygulamasının uygunluğunu doğrulayarak, bazı sezgi vardır: diğer parametreler ve ücret oranı, büyük "sabırsızlık" verilir (daha büyük daha olası bireysel beri, tüketim seviyelerini azalan yaşayacağı olur ise) gelecek ve dolayısıyla yatırım, beğenisine göre fazla değildir. Tabii ki, monoton bir aşağı doğru spiral bir çözüm olarak çok gerçekçi görünmeyebilir - ama bu çok stilize bir modeldir ve zorunlu olarak oldukça resmi bir matematik dilinde temel olarak genel eğilimler sağlar. $\rho$

Gerçekten ilginç kısmı ise başlayacak bir değişken ücret dikkate . Bu, küçük iş adamımız ve tüketim yatırım kararları için her türlü ilginç ve karmaşık dinamikleri yaratabilir.

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Bence kilit soru bu firmanın ekonomideki tek firma olup olmadığıdır. Bu durumda her bunun olması için artık doğru olarak verildiği gibi kendi sermaye birikimi kararıyla etkilenecektir. Bu durumda, Hamiltonyanı kurarken denkleminizden (2) önce yaptığınız ikameleri yapmalısınız. Öte yandan, bu birçok firmadan biriyse, ücret oranının eksojen olması durumunda, denklemden önceki ikameler. (2) geçerli değil. Dikkatle lüx birbirinden ayırt etmek gerek , ekonomide toplam sermaye ve küçük- bu karar verici tarafından seçilen sermaye. $w$ $w$ $k$ $k$

— Jyotirmoy Bhattacharya
kaynak

Kesinlikle toplamı etkilemeyecek kadar küçük kalan tek bir firmaya bakıyorum. Dolayısıyla, ikinci yorumunuz konuyla ilgilidir, burada "denklemler (2) öncesi ikameler geçerli değildir" diyorsunuz. Nedenini anlamıyorum. Lütfen (tercihen resmi olarak) bu konuyu biraz açıklayabilir misiniz? Teşekkür ederim.

— Alecos Papadopoulos

@AlecosPapadopoulos Bence problem matematiksel değil, bir yorumdur. Benim firması ekonomiyi etkilemeye çok küçükse, neden dava olması gerektiğini veya benim firması için bakılmaksızın daha önce yapmak ornatımlarında örtük varsayım gibi görünüyor seçtiğim, (2 ) ve daha sonra ÜSÖ ayırt bakımından denklem .

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

k

$k$

\dot{k}

$\dot k$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya

@JyotirmoyBhattacharya bu, rekabetçi pazarlar varsaymanın standart bir sonucudur.

— FooBar

@FooBar Rekabetçi bir pazarda ve yapmak için ve yi . Koşullar keyfi olarak ve .

k

$k$

l

$l$

w = f_{l}

$w=f_l$

r = f_{k}

$r=f_k$

l

$l$

k

$k$

— Jyotirmoy Bhattacharya

Tamam, Hamiltonian'ı yazmam ve daha da uzun yapmam gerekecek.

— Alecos Papadopoulos