Stokastik süreçlerin inşasını anlama

11

Aşağıdaki şekilde modellenen / inşa edilen stokastik süreçler gördüm.

Olasılık alanı düşünün ve let (ölçülebilir) dönüşümü olacak biz örnek noktasının evrimini modellemek için kullandıkları üzerinde zaman . Ayrıca rastgele vektör . Daha sonra, stokastik süreç , formülü veya $(\Omega, \mathcal F, Pr)$ $\mathbb S$ $\mathbb S: \Omega \rightarrow \Omega$ $\omega$ $X$ $X: \Omega \rightarrow \mathbb R^n$ $\{ X_t: t=0,1,...\}$ $X_t(\omega) = X[\mathbb S^t(\omega)]$ $X_t = X \circ \mathbb S^t.$

Bu yapıdaki örnek noktaları ve bu yapıdaki dönüşümünü nasıl anlamalıyım ? (Could bazı durumlarda şoklar bir dizi gibi bir şey olabilir mi?) $\omega \in \Omega$ $\mathbb S$ $\omega$

Daha somut olmak için, bu iki süreci bu gösterimde nasıl yazarım?

İşlem 1: burada .

\begin{matrix} (1) & X_{t + 1} = ρ X_{t} + ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \rho X_t + \varepsilon_{t+1} \tag{1}$

X_{0} = 0

$X_0 = 0$

İşlem 2:

\begin{matrix} (2) & X_{t + 1} = ε_{t + 1} \end{matrix}

$X_{t+1} = \varepsilon_{t+1} \tag{2}$

— jmbejara
kaynak

4

Açıkladığınız bu yapı tamamen genel değil. Aslında kesinlikle sabit zaman serilerini karakterize eder. Vardiya değişmez olduğunu görüyorsunuz. Bu operatör esasen bir vardiya operatörüdür. $S$

Karşılaştırma için, diyelim ki ayrık zamanlı süreçlerin olağan tanımı:

Tanım Stokastik bir süreç, bir olasılık uzayında Borel ölçülebilir haritalarının bir dizisidir . $\{ X_t \}$ $( \Omega, \mathcal{F}, \mu )$

Şimdi tanımladığınız şey için sabit bir Borel ölçülebilir haritanız var . göre gelişen temel önlemdir . haritası , sadece ön görüntüleri alarak yeni bir "ileriye doğru ölçüm" (ölçüm teorik olarak) oluşturur : bir ölçü tanımlayın by $X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}^n$ $S$ $S$ $\Omega$ $\mu_S$

A \in F \overset{μ_{S}}{\mapsto} P r (S^{- 1} (A)) .

$A \in \mathcal{F} \stackrel{\mu_S}{\mapsto} Pr(S^{-1}(A)).$

Rastgele vektörü , yapı itibariyle . için aynı ileriye doğru önlemi . Bunu her için ile yapın ve zaman serisine sahipsiniz. $X: ( \Omega, \mathcal{F}, \mu_S) \rightarrow \mathbb{R}^n$ $X \circ S$ $\mathbb{R}^n$ $S^t$ $t$

ilgili sorunuza gelince , diğer yönün kanıtını incelemek bunu açıklığa kavuşturmalıdır --- yani kesinlikle durağan zaman serileri mutlaka bu formu almalıdır , ve . $\omega$ $( \Omega, \mathcal{F}, Pr)$ $X$ $S$

Temel nokta, genel bir bakış açısıyla, stokastik bir sürecin olası gerçekleşmeleri kümesi üzerinde bir olasılık ölçüsü olmasıdır. Bu, örneğin Wiener'ın Brownian hareketinin inşasında görülür; üzerinde bir olasılık ölçüsü oluşturdu . Yani genel olarak, bir bir örnek yoldur ve tüm olası örnek oluşur. $C[0, \infty)$ $\omega$ $\Omega$

Örneğin, yukarıda adlandırdığınız iki işlemi ele alalım. Diyelim ki yenilikler Gauss'lu. (Gauss yenilikler ile tahrik herhangi bir kovaryans durağan zaman serisi kesinlikle sabit olmasıdır.) Yapı daha sonra alarak başlayacak tüm sekanslar grubu olmak cebiri haritalar koordinat ve üretilen uygun önlem. Beyaz gürültü işlemi (2) için , sonsuz bir üründe sadece bir ürün ölçüsüdür. $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\sigma$ $Pr$ $Pr$

Referans Kesin olarak durağan zaman serilerinin kaydırılmasıyla bu karakterizasyon / yapım, White'ın Ekonometrisyenler için Asimptotik Teorisinde belirtilmiştir .

— Michael
kaynak

Cevabınız ve referansınız için teşekkürler. Ayrıca, buradaki yavaş cevap için özür dilerim. Bu mantıklı. Ayrıca, sadece bahsetmek gerekirse, referansa göre (White'ın kitabı) bana göre bu konstrüksiyon sabit olmayan süreçlere izin veriyor. Def. 3.27, tüm için ise, ölçmeyi koruyacak bir dönüşümü tanımlar . Sonra, Prop 3.29, ölçü koruyucuysa, sürecin durağan olduğunu söyler .

S

$\mathbb S$

P r (A) = P (S^{- 1} (A))

$Pr(A) = P(\mathbb S^{-1}(A))$

A \in F

$A \in \mathcal F$

S

$\mathbb S$

— jmbejara

1

@jmbejara Evet, iyi bir nokta. Aslında tamamen geneldir - sonsuz bir ürün olan kanonik yol alanı ( ) olarak seçerek ve kayma olarak tanımlayarak , herhangi bir zaman dizisi yasası gerçekleştirilebilir böyle bir form.

Ω

$\Omega$

Π R

$\Pi \mathbb{R}$

S

$S$

— Michael

1

vakalarının , örneğin şok dizisi gibi sonsuz boyutlu uzayda bir nokta olduğunu düşünmek mümkündür , ancak bu tür bir yorum verimsiz olacaktır, çünkü o zaman sürecin filtrelenmiş olasılık alanı üzerindeki doğrudan spesifikasyonu ile karşılaştırıldığında basitleştirmeler almayacaksınız ve sadece meseleleri karmaşıklaştırmak için istenmeyen ek varlıklar üretti. $\omega$

Bu yaklaşım, sonlu boyutlu uzaydaki noktalara uygulamalar için çok daha uygundur. Daha sonra bu yaklaşımla zaman homojen Markov süreci inşa edeceksiniz ve durum uzayında bir nokta, örneğin sürecin mevcut konumu veya son birkaç pozisyon olarak yorumlanacaktır. S'nin yorumlanmasına ilişkin düşünceler örnekler tartışılana kadar ertelenecektir. $\omega$

Bu nedenle, , soruda tanımlanan olasılık uzayındaki rastgele değişkenlerin bir iid dizisi olduğunu varsayıyorum. Daha sonra ikinci işlem aşağıdaki gibi tanımlanabilir: $\epsilon_t$

$\omega \in R,$ $S(\omega) = \omega,$ $X(S^t(\omega)) = S^t(\omega).$ Buradaki üst indeks burada operatörün çoklu uygulamasını belirtir.

İlk örnek, birincisine ilişkin bir ayrıntıdır:

$\omega \in R^2,$ $S((\omega_1,\omega_2)) = (\rho \cdot \omega_1 + \omega_2,\omega_2),$ $X(S^t(\omega)) = (S^t(\omega))_1.$ Buradaki alt indeks burada karşılık gelen vektörün ilgili bileşenini belirtir.

Gördüğümüz gibi, S operasyonunun kendisi oldukça belirsizdir ve makul olarak yorumlanması zordur. Bununla birlikte, dikkat edilmesi gereken nokta, ölçüyü koruyan dönüşümü tanımlaması ve altında bir görüntü almanın seti aynı ölçüyle üretmesidir. Yani bu fonksiyon zaman içindeki durum uzayımız üzerinde ölçüm dinamikleri.

— Nikita Toropov
kaynak

1

Sadece deterministik ve gözlemlenemez olarak görüyor. Sonra yı hakkında eksik bilgi biçimi olarak gözlemliyoruz . ve , üzerinden ortak olasılık dağılımını çıkarmamıza yardımcı olur . $\mathbb{S}$ $\omega$ $X(\omega)$ $\omega$ $\mathbb{S}$ $X$ $\{X_t\}_{t=0}^\infty$

— Pat W.
kaynak