Leontief ve Cobb-Douglas üretim fonksiyonunu CES fonksiyonundan nasıl elde edebilirim?

Mikroekonomi ders kitaplarının çoğunda, Değişimin Esnek Elastikiyetinin (CES) üretim işlevinin

Q = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{1}{ρ}}

$Q=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

(sübstitüsyon esnekliğinin $\sigma = \frac 1{1+\rho},\rho > -1$ ) hem Leontief üretim fonksiyonunu hem de Cobb-Douglas olanını sınırlar. özellikle,

lim_{ρ \to \infty} Q = γ min {K, L}

$\lim_{\rho\to \infty}Q= \gamma \min \left \{K , L\right\}$

lim_{ρ \to 0} Q = γ K^{a} L^{1 - a}

$\lim_{\rho\to 0}Q= \gamma K^aL^{1-a}$

Ancak bu sonuçlar için hiçbir zaman matematiksel kanıt sağlamazlar.

Birisi lütfen bu delilleri sağlayabilir mi?

Ayrıca, yukarıdaki CES işlevi, dış üssünün olması nedeniyle ölçeğe sabit dönüşler (bir derecenin homojenliği) içerir $-1/\rho$ . Eğer öyle olsaydı, demek $-k/\rho$ , daha sonra homojenlik derecesi olacağını $k$ .

Eğer ise sınırlayıcı sonuçlar nasıl etkilenir $k\neq 1$ ?

— Hüseyin
kaynak

Bu, daha önce çözme çabası olmayan bir ev ödevi sorusu gibi görünüyor, bakınız: meta.economics.stackexchange.com/questions/24/…

— FooBar

Bu kesinlikle konuyla ilgili bir konudur, ancak düşük kaliteli bir sorudur . Ev ödevi olmasa bile Hüseyin sizden a) Bekliyoruz: a) Yazıtlarına dikkat et (

ρ

$\rho$ ve

p

$p$ ) ve b) Sorunu çözmeye çalıştığın düşüncelere ve yöntemlere katkıda bulun . Kendilerine yardım eden insanlara yardım etmek için buradayız ve profesyonel hizmetler sunmak için değiliz.

— Alecos Papadopoulos

Matematik , stackexchange ağının geri kalan kısmının tamamına göre farklı şeyler yapar. Yalnızca matematikte başkalarının çaba göstermeden çözmesi için sorun gönderebilirsiniz. Lütfen bu tür bir soruyu burada değil, math.se için saklayın.

— EnergyNumbers

Bunu neden kanıtlamanız gerektiğine dair bir kanıt olmadan "kanıtlamam gerektiğini" söylediğinizde, insanlar bunun bir ev ödevi olduğunu kabul edeceklerdir.

— Steven Landsburg

@ Hüseyin Artık soru yeniden açıldı ve bir cevap verildi, Cobb-Douglas limitine cevabınızı göndermez misiniz?

— Alecos Papadopoulos,

Yanıtlar:

Sunacağım ispatlar, CES üretim fonksiyonunun genelleştirilmiş bir ortalama anlamına geldiği gerçeğiyle ilgili tekniklere dayanmaktadır .
Bu, CES fonksiyonunun tanıtıldığı orijinal makalede kullanılmıştır, Arrow, KJ, Chenery, HB, Minhas, BS ve Solow, RM (1961). Sermaye-emek ikame ve ekonomik verimlilik. Ekonomi ve İstatistiğin Gözden Geçirilmesi, 225-250.
Buradaki yazarlar okuyucularını Hardy, GH, Littlewood, JE ve Pólya, G. (1952) kitabına yönlendirmiştir. Eşitsizlikler , bölüm . $2$

Genel durumu

Q_{k} = γ [a K^{- ρ} + (1 - a) L^{- ρ}]^{- \frac{k}{ρ}}, k > 0

$Q_k=\gamma[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{k}{\rho}},\;\; k>0$

\Rightarrow γ^{- 1} Q_{k} = \frac{1}{[a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}}}

$\Rightarrow \gamma^{-1}Q_k = \frac 1{[a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}}}$

1) Sınır zaman $\rho \rightarrow \infty$
biz sınırı ilgilenen olduğundan zaman biz aralığı göz ardı edebilirsiniz hangi ve tedavi kesinlikle olumlu olarak. $\rho\rightarrow \infty$ $\rho \leq0$ $\rho$

Genelliği kaybetmeden, varsayalım . Ayrıca $K\geq L \Rightarrow (1/K^{\rho})\leq (1/L^{\rho})$ . Sonra aşağıdaki eşitsizliğin geçerli olduğunu doğrularız: $K, L >0$

(1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq γ Q_{k}^{- 1} \leq (1 / L^{k})

$(1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq \gamma Q_k^{-1} \leq (1/L^{k})$

\begin{matrix} (1) & ⟹ (1 - a)^{k / ρ} (1 / L^{k}) \leq [a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ})]^{\frac{k}{ρ}} \leq (1 / L^{k}) \end{matrix}

$\implies (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k})\leq [a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) ]^{\frac{k}{\rho}} \leq (1/L^{k}) \tag{1}$

almak için gücünü yükselterek $\rho/k$

gerçekten de kabul edilen varsayımlar göz önüne alındığında. Sonrain ilk elemanına geri dönünve

\begin{matrix} (2) & (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq a (1 / K^{ρ}) + (1 - a) (1 / L^{ρ}) \leq (1 / L^{ρ}) \end{matrix}

$(1-a)(1/L^{\rho}) \leq a (1/K^{\rho}) +(1-a) (1/L^{\rho}) \leq (1/L^{\rho}) \tag {2}$

(1)

$(1)$

lim_{ρ \to \infty} (1 - bir)^{k / ρ} (1 / L^{k}) = (1 / L^{k})

$\lim_{\rho\rightarrow \infty} (1-a)^{k/\rho}(1/L^{k}) =(1/L^{k})$

hangi orta terimi ila de sandviçler , yani $(1)$ $(1/L^{k})$

\begin{matrix} (3) & lim_{ρ \to \infty} Q_{k} = \frac{γ}{1 / L^{k}} = γ L^{k} = γ [min {K, L}]^{k} \end{matrix}

$\lim_{\rho\rightarrow \infty}Q_k = \frac {\gamma }{1/L^k} = \gamma L^k = {\gamma }\big[\min\{K,L\}\big]^{k} \tag{3}$

Böylece için temel Leontief üretim fonksiyonunu elde ederiz. $k=1$

2) olduğunda $\rho \rightarrow 0$
Fonksiyonu üstel kullanarak üstel olarak kullanın.

\begin{matrix} (4) & γ^{- 1} Q_{k} = \exp {- \frac{k}{ρ} \cdot \ln [a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1}]} \end{matrix}

$\gamma^{-1}Q_k=\exp\left\{-\frac k{\rho}\cdot \ln\big[a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1}\big]\right\} \tag {4}$

İle ilgili olarak birinci dereceden Maclaurın genişleme logaritma içinde teriminin (sıfır merkezli Taylor genişleme), göz önünde : $\rho$

a (K^{ρ})^{- 1} + (1 - a) (L^{ρ})^{- 1} = a (K^{0})^{- 1} + (1 - a) (L^{0})^{- 1} - a (K^{0})^{- 2} K^{0} ρ \ln K - (1 - a) (L^{0})^{- 2} L^{0} ρ \ln L + O (ρ^{2})

$a (K^{\rho})^{-1} +(1-a) (L^{\rho})^{-1} \\= a (K^{0})^{-1} +(1-a) (L^{0})^{-1} -a (K^{0})^{-2}K^{0}\rho\ln K- (1-a) (L^{0})^{-2}L^{0}\rho\ln L + O(\rho^2) \\$

= 1 - ρ a \ln K - ρ (1 - a) \ln L + O (ρ^{2}) = 1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2})

$=1 - \rho a\ln K - \rho(1-a)\ln L+ O(\rho^2) = 1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^2)$

Bunu içine geri yerleştirin ve dış üstelden kurtulun, $(4)$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + ρ [\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}] + O (ρ^{2}))}^{- k / ρ}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\rho \big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]+ O(\rho^{2})\right)^{-k/\rho}$

Opak olması durumunda, tanımlayın ve yeniden yazın $r\equiv 1/\rho$

γ^{- 1} Q_{k} = {(1 + \frac{[\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}]}{r} + O (r^{- 2}))}^{- k r}

$\gamma^{-1}Q_k = \left(1 +\frac{\big[\ln K^{-a}L^{-(1-a)}\big]}{r}+ O(r^{-2})\right)^{-kr}$

Şimdi sonsuzluktaki limiti bize üstel bir şey verecek bir ifadeye benziyor:

lim_{ρ \to 0} γ^{- 1} Q_{k} = lim_{r \to \infty} γ^{- 1} Q_{k} = {(\exp {\ln K^{- a} L^{- (1 - a)}})}^{- k}

$\lim_{\rho\rightarrow 0}\gamma^{-1}Q_k = \lim_{r\rightarrow \infty}\gamma^{-1}Q_k = \left(\exp\left\{ \ln K^{-a}L^{-(1-a)}\right\} \right)^{-k}$

\Rightarrow lim_{ρ \to 0} Q_{k} = γ {(K^{a} L^{1 - a})}^{k}

$\Rightarrow \lim_{\rho\rightarrow 0}Q_k =\gamma\left(K^{a}L^{1-a}\right)^k$

Fonksiyonun homojenliği korunur ve eğer ise Cobb-Douglas fonksiyonunu elde ederiz. $k$ $k=1$

Bu son sonucuydu, Arrow ve Co , CES işlevinin "dağıtım" parametresini çağırdı . $a$

— Alecos Papadopoulos
kaynak

Elde etme düzenli yöntem Cobb-Douglas ve Leotief olan L'Hôpital kuralı .

Başka bir yöntem de kullanılmalıdır. Ayar döndürülecek $\gamma=1$ ve Diferansiyeller yoluyla toplam türev elde edeceğimiz $Q=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]^{-\frac{1}{\rho}}$

S^{- ρ} = [bir K^{- ρ} + (1 - bir) L^{- ρ}]

$Q^{-\rho}=[a K^{-\rho} +(1-a) L^{-\rho} ]$

- ρ S^{- ρ - 1} d S = - bir ρ K^{- ρ - 1} d K - (1 - bir) ρ L^{- ρ - 1} d L

$-\rho Q^{-\rho-1}dQ=- a\rho K^{-\rho-1}dK -(1-a)\rho L^{-\rho-1}dL$ Bazı manipülasyonlarda ana denklemimiz elde edilecektir.

d S = bir {(\frac{S}{K})}^{1 + ρ} d K + (1 - bir) {(\frac{S}{L})}^{1 + ρ} d L

$dQ= a {(\frac{Q}{ K})}^{1+\rho}dK +(1-a){(\frac{Q}{ L})}^{1+\rho}dL$

$\lim_{\rho\to -1}{dQ}\Rightarrow Q=aK+(1-a)L$

Cobb-Douglas İşlevi :

lim_{ρ \to 0} d S \Rightarrow \frac{1}{S} d S = bir (\frac{1}{K}) d K + (1 - bir) (\frac{1}{L}) d L

$\lim_{\rho\to 0}{dQ}\Rightarrow \frac{1}{Q}dQ= a {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a){(\frac{1}{ L})} dL$ İntegral'i her iki taraftan almak üretebilir

\int \frac{1}{S} d S = bir \int (\frac{1}{K}) d K + (1 - bir) \int (\frac{1}{L}) d L

$\int\frac{1}{Q}dQ= a \int {(\frac{1}{ K})} dK +(1-a)\int{(\frac{1}{ L})} dL$

S = K^{bir} L^{(1 - bir)} e^{C} = bir K^{bir} L^{(1 - bir)}

$Q=K^a L^{(1-a)}e^{C}=AK^a L^{(1-a)}$

Leontief İşlevi : $\lim_{\rho\to \infty}{dQ}\Rightarrow min(aK,(1-a)L)$

— Hüseyin
kaynak

(+1) Cobb-Douglas fonksiyonunun elde edilmesini özellikle seviyorum.

— Alecos Papadopoulos,

@AlecosPapadopoulos'a teşekkürler. Fakat neden birileri bu yazıyı beğenmedi? Bence bu tür sorular en azından bana beyin fırtınası sağlayabilir.

— Hüseyin

Kesin Hüseyin konuşma, doğru gibidir: Eğer cevabınız en azından bir kısmı dahil olması gereken soru : "Burada işler yöntemim, başka bir yolu var mı?"

— Alecos Papadopoulos

Bir diferansiyel almak ve bir limit almak için "eşdeğer" bir bütünleştirme mi? Genel olarak, bir limit bulmak için diferansiyel ve entegrasyon alabilir miyiz? Yoksa bu özel bir uygulama mı?

— PGupta