Sürekli zamanda stokastik büyüme

Literatür: Teorik bölüm için Chang (1988) ve Achdou ve ark. (2015) için sırasıyla sayısal kısım.

model

Kişi başına gösterimde aşağıdaki stokastik optimal büyüme problemini düşünün.

\begin{aligned} max_{c} \int_{0}^{\infty} e^{- ρ t} u (c) d t \\ s.t. & d k = [f (k) - (n - σ^{2}) k - c] d t - σ k d z \\ c \in [0, f (k)] \\ k (0) = k_{0} \end{aligned}

$\begin{align} &\max_{c}\int^\infty_0 e^{-\rho t}u(c)dt\\ \text{s.t.}~~~& dk = [f(k) - (n-\sigma^2) k - c]dt - \sigma kdz\\ &c\in[0,f(k)]\\ &k(0) = k_0 \end{align}$ everthingstandart bir Wiener işleminin artışı olan

dışında

d z

$dz$ standarttır, yani

z (t) \sim N (0, t)

$z(t)\sim\mathcal{N}(0,t)$ . Nüfus artış hızı ortalama

n

$n$ ve varyans

σ^{2}

$\sigma^2$ .

Analitik çözüm

Cobb-Douglas teknolojisinin

\begin{aligned} f (k) = k^{α}, α \in (0, 1) \end{aligned}

$\begin{align} f(k) = k^\alpha,\quad \alpha\in(0,1) \end{align}$

ve CRRA yardımcı programı

\begin{aligned} u (c) = \frac{c^{1 - γ}}{1 - γ}, γ > 1. \end{aligned}

$\begin{align} u(c) = \frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma},\quad \gamma > 1. \end{align}$

\begin{aligned} ρ v (k) = max_{c} {\frac{c^{1 - γ}}{1 - γ} + v^{'} (k) (k^{α} - (n - σ^{2}) k - c) + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2}} \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \max_c\left\{\frac{c^{1-\gamma}}{1-\gamma} + v'(k)(k^\alpha - (n - \sigma^2)k - c) + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}\right\} \end{align}$

İlk sipariş koşulu (FOC) nerede ilke işlevini belirtir.

\begin{aligned} c = v^{'} (k)^{- \frac{1}{γ}} =: π (k) \end{aligned}

$\begin{align} c = v'(k)^{-\frac{1}{\gamma}}=:\pi(k) \end{align}$

π (\cdot)

$\pi(\cdot)$

FOC'yi HJB-e'ye yeniden yerleştirin

\begin{aligned} ρ v (k) = \frac{v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}}}{1 - γ} + v^{'} (k) k^{α} - v^{'} (k) (n - σ^{2}) k - v^{'} (k)^{\frac{γ - 1}{γ}} + v^{″} (k) \frac{k^{2} σ^{2}}{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \rho v(k) = \frac{v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}}{1-\gamma} + v'(k)k^\alpha - v'(k)(n - \sigma^2)k - v'(k)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} + v''(k)\frac{k^2\sigma^2}{2}. \end{align}$

( Posch (2009, eq. 41) ) ile fonksiyonel bir formu tahmin ediyoruz . $v(k)$

\begin{aligned} v (k) = Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \Psi \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} \end{align}$

burada bir sabittir. Birinci ve ikinci seviyede bir türevdir ile verilir $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v^{'} (k) & = Ψ k^{- α γ} \\ v^{″} (k) & = - α γ Ψ k^{- 1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v'(k) &= \Psi k^{-\alpha\gamma}\\ v''(k) &= -\alpha\gamma\Psi k^{-1-\alpha\gamma}. \end{align}$

HJB-e daha sonra

\begin{aligned} ρ Ψ \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} = \frac{Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)}}{1 - γ} + Ψ k^{α (1 - γ)} - (n - σ^{2}) Ψ k^{1 - α γ} - Ψ^{\frac{γ - 1}{γ}} k^{α (1 - γ)} - α γ Ψ k^{1 - α γ} \frac{σ^{2}}{2} \\ ⟺ & k^{1 - α γ} (\frac{ρ}{1 - α γ} + n - σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) = k^{α (1 - γ)} [1 + Ψ^{- \frac{1}{γ}} \frac{γ}{1 - γ}] \end{aligned}

$\begin{align} &\rho \Psi\frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma} = \frac{\Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}k^{\alpha(1-\gamma)}}{1-\gamma} + \Psi k^{\alpha(1-\gamma)} - (n-\sigma^2) \Psi k^{1-\alpha\gamma} - \Psi^{\frac{\gamma-1}{\gamma}} k^{\alpha(1-\gamma)} - \alpha\gamma\Psi k^{1-\alpha\gamma}\frac{\sigma^2}{2}\\[2mm] \Longleftrightarrow \quad & k^{1-\alpha\gamma}\left(\frac{\rho}{1-\alpha\gamma} + n - \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right) = k^{\alpha(1-\gamma)}\left[1+\Psi^{-\frac{1}{\gamma}}\frac{\gamma}{1-\gamma}\right] \end{align}$

Aşağıdaki koşullar en yüksek hale getirilmiş HJB-e doğrudur hold

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) \land Ψ = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma)\quad \wedge \quad \Psi = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \end{align}$

Resubstitute içine sonunda gerçek değer fonksiyonunu verir $\Psi$ $v$

\begin{aligned} v (k) = {(\frac{γ - 1}{γ})}^{- γ} \frac{k^{1 - α γ}}{1 - α γ} . \end{aligned}

$\begin{align} v(k) = \left(\frac{\gamma-1}{\gamma}\right)^{-\gamma} \frac{k^{1-\alpha\gamma}}{1-\alpha\gamma}. \end{align}$

Neden bağlı değil ? $v$ $\sigma$

Dolayısıyla deterministik ve stokastik değer fonksiyonu aynı olmalıdır. Politika fonksiyonu bundan sonra kolayca verilir (FOC kullanın ve değer fonksiyonunun türevi kullanın)

\begin{aligned} π (k) = (1 - \frac{1}{γ}) k^{α} . \end{aligned}

$\begin{align} \pi(k) = \left(1-\frac{1}{\gamma}\right)k^\alpha. \end{align}$

Bu işlevin da bağlı olmadığını unutmayın . $\sigma$

Sayısal Yaklaşım

HJB-e'yi rüzgâr siperi ile çözdüm. Hata toleransı . Aşağıdaki şekilde, değişken için ilke işlevini . İçin ı gerçek çözelti (mor) varıyoruz. Ancak için yaklaşık politika işlevi gerçek olandan sapar. bağlı olmadığından hangisi böyle olmamalı , değil mi? $\epsilon=1e-10$ $\sigma$ $\sigma\to 0$ $\sigma>0$ $\pi(k)$ $\sigma$

Herhangi biri için yaklaşık politika işlevlerinin aynı olması gerektiğini doğrulayabilir mi , çünkü gerçek olan bağımsızdır ? $\sigma$ $\sigma$

— clueless
kaynak

Bu çok özeldir: Eğer "aşağıdaki koşullar tutun IFF maksimize HJB-e doğru" yazma sonra ne burada beni rahatsız durum "IFF" ilk eşitlik arasındaki tutmalı ilişki modeli tüm parametrelerin -preference parametreleri, nüfus artışı, sermaye verimliliği ve oynaklık. Merak ediyorum: geçerliliği parametrelerde çok dar bir duruma bağlı olan tahmin edilen işlevlerle gerçekten çalışabilir miyiz?

— Alecos Papadopoulos

Aslında, burada kalan dört parametrenin bir fonksiyonu olarak . Yani, ek olarak tutarsa denklem her zaman doğrudur . Acaba: Bir fonksiyon tahmin edilmesine izin verilirken bazı kurallar var mı? Yani, gerçek çözümü bulmak istiyoruz ve bazı özel koşullar altında doğru çözümü elde ediyoruz. Teorik açıdan sizi neyin rahatsız ettiğinden emin değilim? Elbette, ampirik çalışmayı sınırlayabilir, ama buradaki nokta bu değil. HJBe'yi çözmekle oldukça ilgileniyoruz ve bu yapılabilir. Bir ampirist (1/2)

ρ = ρ (α, γ, n, σ)

$\rho = \rho(\alpha, \gamma, n, \sigma)$

ρ > 0

$\rho > 0$

— clueless

tahminler ve koşul bulmak ihlal edilmektedir, o zaman modeli reddedebilir. Bununla birlikte, çözüm prensip olarak doğru kalır. (2/2)

{α, γ, n, ρ, σ}

$\{\alpha, \gamma,n,\rho,\sigma\}$

ρ = . . . .

$\rho = ....$

— clueless

Endişem ampirik geçerlilikle ilgili değil. Merak ettiğim şey, değer fonksiyonunun fonksiyonel formu hakkındaki spesifik tahminin parametreler arasındaki bu ilişkiye ne ölçüde bağlı olduğudur. Herhangi bir ampirik veriye başvurmadan, ilişkinin geçerli olmadığını varsayarsak, ne olacak? Biz bir değer fonksiyonunu tahmin Should bile üslü içinde , ya da üstel yapısını korumak ama içinde parametreleri dahil farklı yollarını denemek yeterli olacaktır? (bu arada, bu tartışmanın büyük olasılıkla çevresel olması nedeniyle ana sorunuza da bakıyorum)

k

$k$

— Alecos Papadopoulos

Optimizasyon sorununun doğru bir şekilde belirtildiğinden emin misiniz? Örneğin, meselesinde işlenen bir beklenti yok mu? Şimdi belirtildiği gibi, ve dolayısıyla muhtemelen Wiener süreci herhangi bir değer alır .

f (k)

$f(k)$

k

$k$

f (k)

$f(k)$

z

$z$

— Hans

Daha fazla yorum:

Sorunun açıklamasında bir beklenti operatörü olmalı, aksi takdirde sorun mantıklı değildir.

"... deterministik ve stokastik değer fonksiyonunun aynı olması gerekir ..." pek doğru değil. Değeri sınırlama çok önemlidir $\sigma^2$

\begin{aligned} ρ = (- n + σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2})) (1 - α γ) . \end{aligned}

$\begin{align} \rho = \left(-n + \sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right)\right)(1-\alpha\gamma). \end{align}$

Eğer , sonra muhtemelen için ekonomik açıdan makul ve , deterministik sorun kötü teşkil edilebilir, bu durumda. Doğru olan, stokastik değer fonksiyonunun sadece parametre kısıtlaması geçerli olduğunda verilen formu almasıdır. $\sigma^2 = 0$ $\rho < 0$ $\alpha$ $\gamma$

Ito terimini sağ taraftan $\frac{1}{2} \sigma^2$

σ^{2} (1 - \frac{α γ}{2}) (1 - α γ),

$\sigma^2\left(1 - \frac{\alpha\gamma}{2}\right) (1-\alpha\gamma),$

kısıtlama şu şekilde yazılabilir:

ρ + n (1 - α γ) = \frac{1}{2} σ^{2} [(1 - α γ) - (- {(1 - α γ)}^{2})] .

$\rho + n (1-\alpha\gamma) = \frac{1}{2} \sigma^2 [ (1-\alpha\gamma) - (-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2)].$

Sağ tarafta, zamanlararası ikame terimi ve riskten kaçınma terimi esnekliğine sahibiz . Kısıtlamanın söylediği, belirli bir seçimi ile , zaman tercihine göre ve n sürüklenmesini birbirlerinden mahsup etmeleridir . Bu nedenle value işlevi bağımsızdır . $(1-\alpha\gamma)$ $-\left(1 - \alpha\gamma\right)^2$ $\sigma$ $\rho$ $n(1 - \alpha\gamma)$ $\sigma$

Değer işlevinin bağımsız olması, kısıtlamanın ve CRRA seçiminin bir eseridir . Genel olarak doğru değil. $\sigma$ $u$

— Michael
kaynak