Yarış tehlikesi teoremi neden çalışıyor?

Bu yüzden bilmeyenler için, yarış tehlikesi teoremi (RHT) şunları belirtir:

A x B + A 'x C = A x B + A' x C + B x C

RHT'nin diğer bölümünü, zaman gecikmeleri ve benzerlerini anlıyorum, ancak yukarıdaki mantık ifadesinin neden doğru olması gerektiğini anlamıyorum, biri bunu anlamama yardımcı olabilir mi?

Diğerlerinin de belirttiği gibi, matematiksel olarak ifadeler tamamen aynıdır ve ek terim "gereksizdir". Matematiksel kanıtlarını buraya kopyalamak benim için de "gereksiz" olurdu.

Üç giriş kombinasyonu için 8 satırlık doğruluk tablosu yaparak ifadelerin eşdeğer olduğunu kolayca doğrulayabilirsiniz.

    A B C           A*B + A'*C                       A*B + A'*C + B*C
    0 0 0               0                                    0
    0 0 1               1                                    1
    0 1 0               0                                    0
    0 1 1               1  ** hazard b/w states              1
    1 0 0               0                                    0
    1 0 1               0                                    0
    1 1 0               1                                    1
    1 1 1               1  ** hazard b/w states              1

Ek terimin amacı, hem B hem de C yüksek olduğunda A'nın herhangi bir geçişe neden olmasını önlemektir.

Örnek olarak, A ve A 'arasında sınırlı bir zaman gecikmesi olduğunu varsayalım (makul). Şimdi hem B hem de C'nin '1' olduğunu düşünün. Aşağıdaki dalga formlarında görebileceğiniz gibi, çıktıda bir aksaklık var.

Mantığın statik CMOS olduğu varsayıldığında, aksaklık kurtarılabilir. Ancak, dinamik mantığın bazı biçimleri olsaydı, hatayı yayabilir.

Gereksiz terimin eklenmesi, aksaklığı kapsayan bir çözümdür.

Boole cebirinin kanıtı:

A x B + A 'x C [Sol taraf]
= A x B x 1 + A' x C x 1 [Basitleştirin ve doğru ile]
= A x B x (1 + C) + A 'x C x ( 1 + B) [Gerçek VEYA herhangi bir şey]
= A x B x 1 + A x B x C + A 'x 1 x C + A' x B x C [Dağıt]
= A x B + A x B x C + A 'x C + A' x B x C [Basitleştir ve doğru ile]
= A x B + A 'x C + A x B x C + A' x B x C [Terimleri yeniden düzenle]
= A x B + A 'x C + (A + A ') x B x C [Faktorize Et
= = A x B + A' x C + 1 x B x C [VEYA olumsuzlama doğrudur]
= A x B + A 'x C + B x C [ Sağ taraf]

Davalarla kanıt:

• B x C'nin doğru olduğunu varsayalım.
  O zaman B doğrudur ve C aynı anda doğrudur.
  Böylece sağ taraf A x B + A 'x C + 1 x 1 = 1 olur
  . Sol taraf A x 1 + A' x 1 olur, bu da A ne olursa olsun 1'dir.
  Dolayısıyla LHS RHS'ye eşittir.
• B x C'nin yanlış olduğunu varsayalım.
  Ardından sağ taraf A x B + A 'x C + 0 = A x B + A' x C olur ve LHS ile aynı olur.
  Dolayısıyla LHS, RHS'ye eşittir.

Her durumda, LHS RHS'ye eşittir. Bu nedenle, iki formülün her zaman aynı değere sahip olduğu sonucuna varıyoruz.

Referanslar:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Consensus_theorem
• https://www.nayuki.io/page/boolean-algebra-laws

LHS'yi tek başına düşünün:
A x B + A 'x C

Bu ifadede hem B hem de C doğruysa, A'nın durumu sonuçta bir fark yaratır mı?
Hayır - çünkü (A x B) veya (A 'x C) doğru olur ve doğru sonucu üretir.

Şimdi RHS'ye baktığımızda, ilk 2 AND terimi basitçe LHS'nin bir kopyasıdır ve 3. AND terimi B & C hakkında az önce öğrendiklerimizi temsil eder.

$AB + A'C + BC = AB + A'C + (A+A')BC \textrm{ -- Multiply BC term by 1}\\ = AB + A'C + ABC + A'BC \textrm{ -- Distribute the term}\\ = (AB + ABC) + (A'C + A'BC) \textrm{ -- regroup} \\ = AB(1+C) + A'C (1 + B) \textrm{ -- factor} \\ = AB + A'C \textrm{ -- Simplify}$

Şimdi karnaugh haritasına bakalım :

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$