(Basitleştirilmiş) yükleme köprüsünün diferansiyel denklemleri

10

Basitleştirilmiş bir yükleme köprüsünün diferansiyel denklemlerini hesaplamakta sorun yaşıyorum.

Sistem aşağıdaki resimde gösterildiği gibi oluşturulur (sadece bir taslak):

Newton yaklaşımını kullanırsam, sürtünmeyi, hava direncini ve halat uzunluğundaki değişiklikleri göz ardı ederek aşağıdaki denklemleri alıyorum:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) m_{G} {\ddot{z}}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos (φ)

$m_k \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ m_G \ddot{z}_{G} = m_{G} g - F_{S} \cos(\varphi)$

ağırlığında olan daire) kinematik ilişkilere baktığımda aşağıdaki denklemleri alıyorum. $m_G$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) z_{G} = l \cos (φ) φ = ω t = \dot{φ} t

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ z_{G} = l \cos(\varphi)\\ \varphi = \omega t = \dot{\varphi} t$

ve ağırlıkları ve uzunluk biliyorum ama değerler şu anda önemli değil. $m_k$ $m_G$ $l$

Amaç sonunda iki diferansiyel denklem bulundurmak. Bir denklem tahrik kuvveti arasındaki ilişkiyi göstermektedir eder ve tramvay yolu diğer denklem itici güç arasındaki ilişkiyi göstermek zorundadır (türevli) ve halat açısı . $F_A$ $x_k$ $F_A$ $\varphi_G$

Bundan sonra transfer fonksiyonlarını (Laplace dönüşümü vb.) Yapmak istiyorum ama sorun bu değil.

Sorun şu ki bu denklemleri bulamıyorum. Şimdiye kadarki en iyi yaklaşımım şöyle:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin (φ)

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} + F_{S} \sin(\varphi)$

Yani bu demek oluyor ki

m_{G} {\ddot{x}}_{G} = - F_{S} \sin (φ) F_{S} \sin (φ) = - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_G \ddot{x}_{G} = -F_{S} \sin(\varphi) \\ F_{S} \sin(\varphi) = -m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

Söyleyebilirim:

m_{k} {\ddot{x}}_{k} = F_{A} - m_{G} {\ddot{x}}_{G}

$m_{k} \ddot{x}_{k} = F_{A} - m_{G} \ddot{x}_{G} \\$

ve eğer böyle elde edersem : $x_{G}$

x_{G} = x_{k} + l \sin (φ) {\dot{x}}_{G} = {\dot{x}}_{k} + l \dot{φ} \cos (φ) {\ddot{x}}_{G} = {\ddot{x}}_{k} + l [\ddot{φ} \cos (φ) - {\dot{φ}}^{2} \sin (φ)]

$x_{G} = x_{k} + l \sin(\varphi) \\ \dot{x}_{G} = \dot{x}_{k} + l \dot{\varphi} \cos(\varphi) \\ \ddot{x}_{G} = \ddot{x}_{k} + l \left[ \ddot{\varphi} \cos(\varphi) - \dot{\varphi}^{2} \sin(\varphi) \right]$

Aslında burada takılıyorum çünkü denklemlerden ortadan kaldırmak için bir yol bulamıyorum . İlave teoremleri bana hiç yardımcı olmuyor (ya da doğru kullanıyorum). $\varphi$

Bu noktada nasıl devam etmem gerektiğine dair bir fikri olan var mı? Umarım tam bir çözüme ihtiyacım yoktur. Aslında bunu kendim yapmakla daha çok ilgileniyorum ve doğru yöne doğru itmeyi umuyorum.

— tlp
kaynak

5

Tahminimce açısal hareket için ataleti içeren başka bir diferansiyel denkleme ihtiyacınız vardır, örneğin:

m_{G} l^{2} \ddot{φ} = m_{G} g l \sin (φ)

$m_G l^2 \ddot{\varphi} = m_G g l \sin(\varphi)$

hangi verir:

\ddot{φ} = \frac{g}{l} \sin (φ)

$\ddot{\varphi} = \frac{g}{l} \sin(\varphi)$

Daha sonra küçük açılar yaklaşımını kullanabilirsiniz:

\sin (φ) ≃ φ

$\sin(\varphi) \simeq \varphi$

Check out ters sarkaç örneği.

— am304
kaynak

Özellikle ters sarkaç çok yararlı ... bunun için teşekkürler - bunu düşünmedim

— tlp

6

Kinematik ve dinamik

Bunlar, bu doğanın sorunlarını çözme adımlarıdır.

Sistemin kinematiğini analiz eder.

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $_{o}\vec{r}_{OR}$ + $_{o}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $_{o}\vec{r}_{OR}$ + $R(\varphi) _{B}\vec{r}_{RP}$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = + $\big(x_{k}î + 0j + 0k \big)$ $\big(\sin(\varphi)l î + 0j + \cos(\varphi)lk\big)$

$\hspace{5.em}$ $_{o}\vec{r}_{OP}$ = $\big[\big(x_{k}+\sin(\varphi)l\big)î + 0j + \big(\cos(\varphi)l\big)k\big]$

not: bir döndürme matrisidir ve . $R(\varphi)$ $x_{G} = x_{k}+\sin(\varphi)l$

Zaman türevlerinin alınması:

$\hspace{5.em}$ $\dot{x_{G}}$ = $\dot{x_{k}}+\cos(\varphi)\dot{\varphi}l$

$\hspace{5.em}$ $\ddot{x_{G}}$ = $\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}$

Newton denklemini kullanın:

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\ddot{x_{G}}$

Yerine : $x_{G}$

$\hspace{5.em}$ $m_{k}\ddot{x_{k}} = F_{A} - m_{G}\big(\ddot{x_{k}} + l\cos(\varphi)\ddot{\varphi} - l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)$

$\hspace{5.em}$ $\big(m_{k}+m_{G}\big)\ddot{x_{k}} + m_{G}\big(l\cos(\varphi)\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)= F_{A}$

Z ekseni için:

$\hspace{5.em}$ $F_{Z}$ = $m_{G}g-l\big(\cos(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)\ddot{\varphi}\big)$

Rotasyon için Newton'un ikinci yasasını kullanın:

$\hspace{5.em}$ $I\ddot{\varphi}$ = $F_{Z}l\sin(\varphi)-\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi)$

$F_{Z}l\sin(\varphi) = m_{G}gl\sin(\varphi)-l^{2}\big(\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}+\sin(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big)$

$\big(m_{G}\ddot{x_{G}}\big)l\cos(\varphi) = m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)^{2}\ddot{\varphi}\big) - m_{G}\big(l^{2}\cos(\varphi)\sin(\varphi)\dot{\varphi}^{2}\big)+m_{G}\ddot{x_{K}}l\cos(\varphi)$

Trigonometri kimliklerini kullanma:

$\hspace{5.em}$ $\big(I+m_{G}l^{2}\big)\ddot{\varphi}$ = $m_{G}gl\sin(\varphi)-m_{k}l\cos(\varphi)\ddot{x_{k}}$

Bitti! Şimdi dinlenebilirsiniz ... $\ddot\smile$

— leCrazyEngineer
kaynak