Vektör aritmetiğini (ve özellikle Unity motorunda kullanımını) anlamaya çalışıyorum. Bir vektörün sadece bir noktayı (konum ve yönü) temsil etmesine rağmen nasıl bir boyuta (büyüklüğüne) sahip olduğunu çözemiyorum?

Bu, büyüklüğün sadece başlangıç ​​noktasından olan mesafesi olduğu anlamına mı geliyor (0, 0, 0)? Yoksa bir şey mi kaçırıyorum?

Bu, büyüklüğün sadece başlangıç ​​noktasından uzaklık olduğu anlamına mı geliyor (0, 0, 0)?

Tl; dr cevap olabilir: Evet, bunu böyle hayal edebilirsiniz.

Ancak bunun yanlış bir anlayışa yol açıp açmayacağından emin değilim.

Bir vektör bir nokta değildir ve ikisi arasında çok önemli bir fark vardır!

Bir vektörün genellikle "ok" olarak temsil edilmesi, yanlış bir izlenim verebilir. Bir vektör aslında tek bir ok değildir . Bir vektörün, aynı uzunluk ve yöne sahip olan tüm okların seti olduğunu söylemek daha kesin olacaktır . (Genellikle boyanan ok, bütün bu okların sadece bir temsilcisidir). Fakat burada matematiğin sıkıcı detaylarına çok fazla inmek istemiyorum.

Daha da önemlisi, bir nokta ile bir vektör arasında , noktayı veya vektörü dönüştürdüğünüzde grafik programlamasında belirgin olan önemli bir fark vardır . Birlik hakkında bilgi sahibi değilim, ancak belgelere kısa bir bakışta Matrix4x4sınıftaki bir nokta ile bir vektör arasındaki en önemli farkı modelliyorlar. İki farklı işlevi vardır:

• Matrix4x4.MultiplyVector ve
• Matrix4x4.MultiplyPoint

Fark, kabaca konuşursak, bir vektörün çevrilmediği, oysa ki nokta. Aşağıdaki 4x4 matrisini düşünün:

1.0   0.0   0.0   1.0
0.0   1.0   0.0   2.0
0.0   0.0   1.0   3.0
0.0   0.0   0.0   1.0

(1,2,3) hakkında bir çeviri açıklar. Şimdi, aşağıdaki sözde kodunuz olduğunda

Vector3 tp = matrix.MultiplyPoint (new Vector3(2,3,4));
Vector3 tv = matrix.MultiplyVector(new Vector3(2,3,4));

Sonra tp(3,4,5) tvolacak, yine de olacak (2,3,4). Bir vektörün çevrilmesi onu değiştirmez (çünkü yukarıda belirtildiği gibi, aynı büyüklük ve yöne sahip tüm oklar kümesidir).

Birlik kullanıyor olması Vector3sınıfı hem de vektörler için ve noktaları, meşru olmakla birlikte, kafa karıştırıcı olabilir. Diğer kütüphaneler , bazen ortak bir üsle Point3Dve Vector3Dbazen arasında bir ayrım yapar Tuple3D.

Bu, büyüklüğün sadece başlangıç ​​noktasından uzaklık olduğu anlamına mı geliyor (0, 0, 0)?

Bu tam olarak böyle.

Diğer şeylerin yanı sıra, bir vektör, bağlama bağlı olarak bir noktayı (bir konum), bir yönü ve / veya hızı temsil edebilir.

Eğer bu değişkene sahipseniz:

Vector3 mPosition;

Genel olarak sadece konumu, yani 3B alanda bulunduğu yeri temsil eder .

Eğer bu değişkene sahipseniz:

Vector3 mDirection;

Genel olarak yönü temsil eder. Tipik olarak, bu vektör birim vektörlerdir, yani 1 uzunluk vektörleridir (ancak her zaman gerekli değildir). Bir birim vektör ile normalize edilmiş bir vektör aynı şeydir, ikisi de 1 uzunluğundadır. Bu vektörler, konumlarını değiştirmek için genellikle diğer vektörlerle birlikte kullanılır .

Bir vektörü normalleştirirken, uzunluğunu (büyüklüğünü) kaybedersiniz, ancak yön aynı kalır. Sadece yöne ihtiyaç duyduğunuz durumlarda (örneğin, bir nesneyi o yönde hareket ettirmek istediğinizde) ve vektörde (birim uzunluk olmayan) büyüklük olması beklenmedik hesaplama sonuçları verir.

Tek bir hesaplama için normal bir vektöre ihtiyacınız varsa, kullanabilirsiniz myVec3.normalized, etkilemez myVec3ve bu normalleştirilmiş vektörü sık sık kullanmayı planlıyorsanız, muhtemelen bir değişken oluşturmalısınız:

Vector3 myVec3Normalized = myVec3.normalized;

normalizedyönteme tekrarlanan çağrıları önlemek için .

Ve eğer değişkenleri görürseniz:

Vector3 mVelocity;

Genel olarak bir kuvveti / hızı temsil eder: bu vektörler bir yönü temsil eder ve büyüklükleri (uzunlukları) önemlidir. Ayrıca Vector3 mDirection;ve a ile de temsil edilebilirler float mSpeed;.

Bunların tümü (0, 0, 0) olabilen veya başka bir Pozisyon olabilen yerel kökenleri için kullanılır.

Bu, büyüklüğün sadece başlangıç ​​noktasından uzaklık olduğu anlamına mı geliyor (0, 0, 0)?

Sen olabilir bu şekilde görüyorum ama sadece bu şekilde görünce yanlış anlaşılmasına yol açabilir.

Her şeyden önce, bir vektör bir nokta değildir ve bir nokta bir vektör değildir.

Bir arasındaki fark vektörünün bir nokta bir arasında aynı süre ve günün saati . İlki bir zaman aralığıdır, ikincisi zaman içinde tek bir noktadır. Açıkçası 6 saat saat 6 ile aynı değil. "Yarış saat 1 sürer" demedi ve "13 saatte buluşalım" demezdiniz. Yarış bir saat sürer - aralıklarla - ve saat 13: 00'te buluşursunuz - zamanın belli bir noktası.

Aynısı vektörler ve nokta için de geçerlidir. Bir vektör bir intervall - eğer istersen bir yer değiştirme. Belirli bir yöne işaret eder ve evet, bir uzunluğu vardır.

Bu nedenle puanlar ve vektörler, günün süreleri ve saatleri gibi ilişkilidir. Yarış saat 13'de başlıyor ve saat 15'de bitiyor. Her ikisi de zaman içindeki noktalardır. Ancak saat 15 - 13 saat = 2 saat, bir süre. Yarış iki saat sürüyor, saat 2 değil.

Aynısı noktalar için de geçerlidir. A ve B noktaları arasındaki fark ⃗v = B - A olarak gösterilmektedir, burada ⃗v bir vektörü gösterir ve A ve B noktaları belirtir.

Şimdi, pozisyon vektörü denen bir şey var . Sen olabilir derken, belirli bir dereceye kadar bir vektör bir noktaya düşünün bir diğer belirli bir noktaya kökenli vektörler puan. Başka bir deyişle: Eğer bütün arkadaşlarınız günün saatlerini gece yarısından itibaren (0'da) süreler olarak aradığınızı biliyorsa, "6 saatte buluşuyoruz" diyebilirsiniz. Saat 0 + 6 saat = 6 saat olduğunu ve bu nedenle sizinle ne zaman buluşacaklarını bilirlerdi. Aslında deniz zamanlarının yaptığı budur. "Saat altı-saatte buluşuyoruz" demek, saat 6'da.

Bu nedenle <1,2,3> vektörü noktaya (1,2,3) işaret eder, başlangıç ​​noktasını bağlantı noktası olarak görürseniz ve evet, bu vektörün uzunluğu bu noktanın başlangıç ​​noktasından uzaklığıdır.

Fakat vektör <1,2,3> ayrıca (1,1,1) ila (2,3,4) arasındadır ve bu durumda uzunluğu, bu iki nokta arasındaki mesafeyi belirtir .

Yani, görebileceğiniz gibi bir vektörün uzunluğu vardır, çünkü bu bir nokta değil, aralıktır - bir yer değiştirme.

Bir vektör, 3B uzayda iki nokta (yön ve mesafe) veya 3B uzayda bir konum (uzunluk, başlangıç ​​noktasından uzaklık) arasındaki bir çizgiyi temsil edebilir.

A ve B noktalarına sahipseniz, BA = AB = A'dan B'ye gitmek için seyahat etmeniz gereken yön ve mesafe

Unity'nin noktalar ve vektörler hakkında söylediği şey uzun vadede anlamsızdır, çünkü geometri API'leri aracı daha erişilebilir kılmak için farklı tanımlar seçer, bu şeylerin geometride nasıl kavramsallaştırıldığına karşılık gelmezler. Yapabiliyorsanız, sınıf uygulamalarına bir göz atın. Çünkü keyfi, tanımını bilmek kavramın ne olduğunu anlamanın tek yolu. Tam açıklama, Birlik tecrübem yok.

Bir vektör, vektör uzayındaki bir noktadır, çünkü geometrideki bir nokta kavramı, alt küme elemanları tarafından kodlanır. Bir vektör uzayının başlangıç ​​noktası veya 0 olarak adlandırılan ayırt edici bir vektörü vardır . Doğrusal cebir, cebirsel kaynaklı bir öklid geometrisi parçasını kodlama girişimidir.

Ok ve uzunluğu

Noktalar arasındaki hareketler sıklıkla kaynaktan / noktalardan hedeflerine / noktalarına kadar tüm oklar olarak yorumlanır .

İki bağımsız bir işlevi bir bağımsız değişken bir fonksiyonu üretmek için bir bağımsız değişken uygulanabilir - biz konuşabilir X , + nın her biri vektör alır fonksiyon y vektörü için x + y . Bu, x / w ile ilgili çeviridir . İlişkili oklar, y noktalarından x + y noktalarına gider . Bakınız: kısmi uygulama , kurutma .

Peki neden sadece bir oku kullanıyoruz ? Belirli bir vektöre kökenli noktalarından ok X içinde X + -, vektörün ilave özdeşliğidir. Böylece x + çevirisini yalnızca x +0 = x değerinden kurtarabiliriz .

Alanın grafiksel bir gösterimi olarak, ok gösteriminin bir çevirinin etkisini belirleyen değerden görsel veya fiziksel olarak fazladan tahmin etme kabiliyetimizle ilgisi var. Bu yeteneğe ne zaman sahibiz?

Vektör uzayına normlu bir vektör uzayı yapan bir norm vermek, 0'dan uzaklıkları kadar anlamlı olan bir vektörün uzunluğuna ilişkin bir kavram sağlamaktır. iki vektörün uzunluklarının toplamlarının uzunluğu ile ilgili olduğu konusundaki güçlü kısıtlama. Uzunluk itibaren biz yapabilirsiniz mesafeyi tanımlamak bu hale getirmek için metrik uzay ve jeodezik mümkün olduğunca kısa var o düz özünde olan bir yoldur. Öklides norm Öklides mesafeyi neden ve geodezikler okların hat kesimleri, ama okları çizerseniz geodezikler kullanma gibi farklı normlarıgeometri hakkında bilgi edinmek için jeodezilerden çevirinin geometrik etkisini tahmin edebilirsiniz.

Nokta ve vektörün anlamı

Bazı durumlarda oyun geometrisi yaparken , puan alanınız bir vektör uzayı değildir . Boyut benzeşik bir boşluk n gömülebilir boyuta bir yansıtmalı boşlukta n . Afin haritaları projeksiyonları azaltır. Projeksiyonlar ayrıca FOV yapmanıza izin verir, w / c affedilmez olduğunu düşünüyorum. Projeksiyonların faydaları:

Bir alan üzerindeki yansıtıcı n- uzamı, yansıtıcı boşluğun noktaları, doğrusal boşluğun orijini boyunca çizgiler olarak işlenerek, doğrusal ( n + 1) boşluğundan (vektör boşluğu) oluşturulabilir. Menşei geçen uçaklar sırayla yansıtıcı çizgiler verir. Vektörleri sabit bir matris ile çarpmak doğrusal bir haritadır , bu matris çarpımı içindir. Doğrusal haritalar, orijini korur ve görülme oranı ile uyumludur. Özellikle, f a, doğrusal otomorfizm ( karşılık gelen bir ters çevrilebilir ( n + 1) x ( n ve iki çizgi +1) matris) L, M kökenli açıklığı içinden geçen bir düzlem A , daha sonraf L, f Mf A'nın orijini geçen çizgilerdir , bu nedenle f , projektif alandaki insidansı da koruyacaktır - tersinir bir matrisin bir projeksiyon özelliği vardır. Matris çarpımı, doğrusal haritaların kompozisyonunu ve dolayısıyla projeksiyonları kodlar.

Kökeni doğrusal boşluktan kaldırarak, orijinden belirli bir çizgideki tüm noktalar birbirinin skaler katlarıdır. Bu gerçeği kullanarak, homojenizasyon , her bir projektif nokta için duracak bir doğrusal nokta ve her bir projektif dönüşüm için (bu 2B -> 2B afin haritaları 3B -> 3B doğrusal haritalar videosu gibi) duracak bir matris alır. Temsilcilerin, matris-matris ve matris-vektör ürünleri altında kapatılması ve benzersiz projektif şeyler vermesi ve vermesi. Projektif düzlemin doğrusal düzlemden inşasının bu açıklaması bazı şeyleri birbirine bağlar.

Bu yüzden, model-görünüm-projeksiyon matris boru hattında, projektif uzayımızın noktalarını temsil etmek için vektörler kullanıyoruz, ancak projektif uzay bir vektör uzayı değil, kullandığımız vektör uzayındaki tüm vektörler noktaları temsil ediyor geometrimizden ( sağdaki afin düzleminin resmine bakınız ). Tercüme istiyorsak, vektör toplamı yerine çeviri matrislerini kullanıyoruz. Bazen insanlar, özellikle bu damarda bir kurulum kullanırken, yansıtıcı veya afin noktaları vektörlerini çağırırlar.

Vektörün uzunluğu (veya büyüklüğü) square root of (x*x+y*y+z*z). Vektörler her zaman kökenli bir ışın geçişi olarak kabul edilmektedir <0,0,0> yoluyla vektöründe tarif edilen noktaya<x,y,z>

Bu konuda birliğin belgeleri bulunur buradan ulaşabilirsiniz .