Yorumlarda diğerlerinin de belirttiği gibi, tenpn'in cevabında açıklanan temel Euler entegrasyon yöntemi birkaç problemden muzdarip:
Basit hareketlerde bile, sabit yerçekimi altında balistik atlama gibi, sistematik bir hata ortaya çıkarır.
Hata, zaman adımına bağlıdır, yani zaman adımını değiştirmenin, oyunun değişken bir zaman adımı kullanıyorsa, oyuncu yörüngelerini fark edebileceği sistematik bir şekilde nesne yörüngelerini değiştirmesidir. Sabit bir fizik zaman çizelgesine sahip oyunlar için bile, geliştirme sırasındaki zaman çizelgesini değiştirmek, belirli bir kuvvetle başlatılan bir nesnenin uçması ve potansiyel olarak önceden tasarlanmış seviyeleri kırması gibi oyun fiziğini belirgin şekilde etkileyebilir.
Temel fizik olsa bile, enerji tasarrufu yapmaz. Özellikle, sürekli salınması gereken nesneler (örneğin sarkaçlar, yaylar, yörüngede dönen gezegenler, vb.), Tüm sistem parçalanıncaya kadar sürekli olarak enerji biriktirebilir.
Neyse ki, Euler entegrasyonunu neredeyse basit olan bir şeyle değiştirmek zor olmasa da , bu sorunların hiçbiri bulunmuyor - özellikle, birinciliğin entegrasyonu veya yakından ilişkili hız Verlet metodu gibi ikinci dereceden bir sempatik entegratör . Özellikle, temel Euler entegrasyonunun hızı ve konumu şu şekilde güncellediği durumlarda:
hızlanma = kuvvet (zaman, pozisyon) / kütle;
süre + = timestep;
pozisyon + = timestep * hız;
hız + = timestep * ivmelenme;
hız Verlet yöntemi şöyle yapar:
hızlanma = kuvvet (zaman, pozisyon) / kütle;
süre + = timestep;
pozisyon + = timestep * ( hız + timestep * hızlanma / 2) ;
newAcceleration = kuvvet (zaman, konum) / kütle;
hız + = timestep * ( hızlanma + yeni Hızlanma) / 2 ;
Birden fazla etkileşime giren nesneniz varsa , kuvvetleri yeniden hesaplamadan ve hızları güncellemeden önce tüm konumlarını güncellemelisiniz. Ardından, yeni hızlanma (lar) kaydedilebilir ve bir sonraki zaman adımındaki pozisyonları güncellemek için kullanılabilir; böylece çağrı sayısı force(), Euler yönteminde olduğu gibi, her zaman adımı için bir taneye (nesne başına) indirgenir.
Ayrıca, hızlanma normalde sabitse (balistik atlama sırasındaki yerçekimi gibi), yukarıdakileri sadeleştirerek yapabiliriz:
süre + = timestep;
pozisyon + = timestep * ( hız + timestep * hızlanma / 2) ;
hız + = timestep * ivmelenme;
Kalın yazılmış ekstra terim, temel Euler entegrasyonuyla karşılaştırıldığında tek değişikliktir.
Euler entegrasyonuyla karşılaştırıldığında, hız Verlet ve birdirbir yöntemlerin birçok hoş özelliği vardır:
Sürekli hızlanma için, kesin sonuçlar verir (yine de kayan nokta yuvarlama hataları), yani balistik atlama yörüngelerinin zaman aşımı değişse bile aynı kalması anlamına gelir.
Bunlar, ikinci dereceden bütünleştiricilerdir, yani değişken hızlanmada bile, ortalama bütünleştirme hatası yalnızca zaman çizgisinin karesiyle orantılıdır. Bu, doğruluktan ödün vermeden daha büyük zaman adımlarına izin verebilir.
Onlar sempatiktir , yani temel fizik yaparsa (en azından zaman aralığı sabit olduğu sürece) enerji tasarrufu sağladıkları anlamına gelir. Bu, özellikle gezegenlerin kendi yörüngelerinde kendiliğinden uçan uçları, ya da her şey patlayana kadar yavaş yavaş sallanan yaylarla birbirine tutturulmuş nesneler alamayacağınız anlamına gelir.
Yine de, Verlet / leapfrog hızı, temel Euler entegrasyonu kadar basit ve hızlıdır ve dördüncü dereceli Runge-Kutta entegrasyonu gibi alternatiflerden çok daha basittir (genel olarak çok güzel bir entegratör olsa da, sempatik özellikten yoksundur ve dört değerlendirme gerektirir) bir force()zaman adım başına fonksiyonu). Bu nedenle, bir platformdan diğerine atlamak kadar basit olsa bile, herhangi bir tür oyun fizik kodu yazan herkese şiddetle tavsiye ediyorum.
Düzenleme: Hızın biçimsel türetilmesi Verlet yönteminin yalnızca kuvvetler hızdan bağımsız olduğunda geçerlidir, pratikte sıvı sürüklemesi gibi hıza bağlı kuvvetlerle bile gayet iyi kullanabilirsiniz . En iyi sonucu elde etmek için, ikinci aramanın yeni hızını tahmin etmek için ilk hızlanma değerini kullanmalısınız force():
hızlanma = kuvvet (zaman, konum, hız) / kütle;
süre + = timestep;
pozisyon + = timestep * ( hız + timestep * hızlanma / 2) ;
hız + = timestep * ivmelenme;
Yeni Hızlanma = kuvvet (zaman, pozisyon, hız) / kütle;
hız + = timestep * (yeni Hızlanma - hızlanma) / 2 ;
Hızın bu belirli değişkeninin Verlet yönteminin belirli bir adı olup olmadığından emin değilim, ancak test ettim ve çok iyi çalışıyor gibi görünüyor. Bu, ikinci dereceden Runge-Kutta kadar kesin değildir (ikinci dereceden bir yöntemden beklendiği gibi), ancak orta hız tahmini olmadan Euler veya naif hız Verlet'ten çok daha iyidir ve normalin sempatik özelliğini korur Korunumlu, hıza bağlı olmayan kuvvetler için hız verleti
Düzenleme 2: Çok benzer bir algoritma, örneğin Groot & Warren ( J. Chem. Phys. 1997) tarafından tarif edilmiştir , ancak satırlar arasında okunurken newAcceleration, tahmini hız kullanılarak hesaplanan değeri kaydederek ekstra hız için bazı doğruluktan ödün verdikleri görülmektedir. ve bir accelerationsonraki zaman aşımı için tekrar kullanılması. Ayrıca , ilk hız tahmini ile çarpılan 0 ≤ λ ≤ 1 parametresini de tanıtırlar acceleration; nedense onlar tavsiye λ bütün halde = 0.5 benim testler düşündürmektedir Â= 1 (yukarıda kullandığım etkili) ivme yeniden kullanımıyla birlikte veya olmadan, iyi veya daha iyi çalışır. Belki de güçlerinin stokastik bir Brownian hareket bileşeni içermesi gerçeğiyle ilgisi var.