Dünya'ya bir küre olarak yaklaşmak ne kadar doğru?

Dünyaya küre olarak yaklaşırken hangi seviyede hata ile karşılaşıyorum? Özellikle, noktaların konumu ile uğraşırken ve örneğin, büyük çember aralarındaki mesafeleri kapatır.

Bir elipsoide kıyasla ortalama ve en kötü durum hatası üzerinde herhangi bir çalışma var mı? Daha kolay hesaplamalar yapmak için bir küreyle gidersem ne kadar doğruluktan ödün vereceğimi merak ediyorum.

Özel senaryom, WGS84 koordinatlarını herhangi bir dönüşüm olmadan kusursuz bir alanda ( IUGG tarafından tanımlanan ortalama yarıçapı ile) koordinatlar gibi doğrudan haritalandırmayı içerir .

Kısacası, söz konusu noktalara bağlı olarak mesafe kabaca 22km veya% 0,3'e kadar hatalı olabilir. Yani:

• Hata, hesaplanan iki mesafe (kilometre cinsinden) arasındaki farka eşit (i) (artık) hata gibi (birkaç kilometre) ve (ii) göreceli hataya bölünen fark gibi , doğal, faydalı yollarla ifade edilebilir . "doğru" (elipsoidal) değeri. Çalışmak için uygun sayılar üretmek için, bu oranları 1000 ile çarparak, göreceli hatayı binde pay olarak ifade ediyorum .

• Hatalar uç noktalara bağlıdır. Elipsoid ve kürenin dönme simetrisi ve bunların bilateral (kuzey-güney ve doğu-batı) simetrileri nedeniyle, kuzey yarımkürede son noktalardan birini (m. 0 boyunca) asal meridyen boyunca bir yere yerleştirebiliriz. ) ve doğu yarım küredeki diğer son nokta (0 ile 180 arasında boylam).

Bu bağımlılıkları araştırmak için, (lat, lon) = (mu, 0) ve (x, lambda) uç noktaları arasındaki hataları -90 ile 90 derece arası bir enlemin fonksiyonu olarak çizdim. (Tüm noktalar nominal olarak sıfır elipsoid yüksekliktedir.) Şekillerde, satırlar {0, 22.5, 45, 67.5} derece değerindeki mu değerlerine ve {0, 45, 90, 180} değerindeki lambda değerlerine ilişkin sütunlara karşılık gelir. derece. Bu bize olasılık yelpazesi hakkında iyi bir fikir veriyor. Beklendiği gibi, maksimum boyutları, ana eksenin (yaklaşık 6700 km) veya yaklaşık 22 km'nin yaklaşık olarak düzleştirilmesidir (yaklaşık 1/300).

Hatalar

Göreceli hatalar

Kontur arsa

Hataları görselleştirmenin bir başka yolu, bir uç noktayı düzeltmek ve diğerinin değişmesine izin vererek ortaya çıkan hataları biçimlendirmektir. Burada, örneğin, ilk son nokta 45 derece kuzey enleminde, 0 derece boylamında olan bir kontur grafiğidir. Daha önce olduğu gibi, hata değerleri kilometre cinsindendir ve pozitif hatalar küresel hesaplamanın çok büyük olduğu anlamına gelir:

Dünyanın her yerine sarıldığında okumak daha kolay olabilir:

Fransa'nın güneyindeki kırmızı nokta, ilk bitiş noktasının yerini gösterir.

Kayıt için, hesaplamalar için kullanılan Mathematica 8 kodu:

WGS84[x_, y_] := GeoDistance @@ (GeoPosition[Append[#, 0], "WGS84"] & /@ {x, y});
sphere[x_, y_] := GeoDistance @@
   (GeoPosition[{GeodesyData["WGS84", {"ReducedLatitude", #[[1]]}], #[[2]], 0}, "WGS84"] & /@ {x, y});

Ve çizim komutlarından biri:

With[{mu = 45}, ContourPlot[(sphere[{mu, 0}, {x, y}] - WGS84[{mu, 0}, {x, y}]) / 1000, 
                   {y, 0, 180}, {x, -90, 90}, ContourLabels -> True]]

Bu soruyu son zamanlarda araştırdım. Bence insanlar bilmek istiyor

1. Hangi küresel yarıçapı kullanmalıyım?
2. sonuçta ortaya çıkan hata nedir?

Yaklaşımın kalitesi için makul bir ölçüm, büyük daire mesafesindeki maksimum mutlak nispi hatadır

err = |s_sphere - s_ellipsoid| / s_ellipsoid

mümkün olan tüm puan çiftleri üzerinden maksimum değerlendirilmiş.

Düzleştirme f küçükse, err en aza indiren küresel yarıçap (a + b) / 2 değerine çok yakındır ve ortaya çıkan hata yaklaşık

err = 3*f/2 = 0.5% (for WGS84)

(rastgele seçilen 10 çift puan ile değerlendirildi). Bazen küresel yarıçap olarak (2 * a + b) / 3 kullanılması önerilir. Bu, biraz daha büyük bir hataya neden olur, err = 5 * f / 3 =% 0,56 (WGS84 için).

Uzunluğu küresel yaklaşımla en fazla hafife alınan jeodezikler bir direğe yakındır, örneğin, (89.1,0) ila (89.1.180). Uzunluğu küresel yaklaşımla en fazla tahmin edilen jeodezikler, ekvatorun yanında mertenseldir, örneğin, (-0.1,0) ila (0.1,0).

EK : İşte bu soruna yaklaşmanın başka bir yolu.

Elipsoid üzerinde düzgün dağılmış nokta çiftleri seçin. Elipsoidal mesafeyi s ve bir birim küredeki t mesafesini ölçün . Herhangi bir nokta çifti için, s / t eşdeğer bir küresel yarıçap verir. Bu sayıyı tüm nokta çiftlerinde ortalayın ve bu ortalama eşdeğer küresel yarıçapı verir. Ortalamanın tam olarak nasıl yapılması gerektiğine dair bir soru var. Ancak denediğim bütün seçimler

1. <s>/<t>
2. <s/t>
3. sqrt(<s^2>/<t^2>)
4. <s^2>/<s*t>
5. <s^2/t>/<s>

tümü IUGG önerilen ortalama yarıçapın birkaç metre içinde ortaya çıktı, R ₁ = (2 a + b ) / 3. Böylece, bu değer küresel mesafe hesaplamalarında RMS hatasını en aza indirir. (Bununla birlikte, (göre biraz daha büyük bir en yüksek bağıl hata ile sonuçlanır bir + b göz önüne alındığında,. Yukarıya bakınız) / 2) R ' ₁ diğer amaçlar (bölge hesaplamalar ve bu gibi) için kullanılması muhtemel, orada iyi bir nedenden mesafe hesaplamaları için bu seçeneğe bağlı kalın.

Alt satırda :

• Mesafe hesaplamalarında% 1'lik bir hatayı tolere edebileceğiniz her türlü sistematik çalışma için, R ₁ yarıçapı bir küre kullanın . Maksimum bağıl hata% 0,56'dır. Dünyaya bir küre ile yaklaşırken bu değeri tutarlı bir şekilde kullanın.
• İlave bir hassasiyete ihtiyacınız var, elipsoidal jeodezik problemi çözün.
• Zarf hesaplamalar arkasına için, kullanmak R ₁ veya 6400 km veya 20000 / pi km veya bir . Bunlar, yaklaşık% 1'lik bir maksimum nispi hatayla sonuçlanır.

DİĞER EKLER: Büyük daire hesaplamasında enlem olarak μ = tan ⁻¹ ((1 - f ) ^3/2 tanφ) (fakir bir insanın doğrultucu enlemini) kullanarak, büyük daire mesafesinden biraz daha fazla hassasiyet sıkabilirsiniz. Bu% 0.11 (kullanarak% 0.56 den en fazla nispi hatayı azaltır R ₁ kürenin yarı çapı olarak). (Elipsoidal jeodezik mesafeyi doğrudan hesaplamanın aksine, bu yaklaşımı gerçekten kullanmaya değip değmeyeceği açık değildir.)