Meslektaşlarımdan biri iki UTM bölgesine yayılmış verilerle çalışıyor. Verilerin çoğunluğu bir bölgede, birkaç bölgede başka aykırı değerler var. Bu aykırı bölgelerin alan bozulmasının ana UTM bölgesinde olsaydı ne olacağını bilmek isterdi.
Diğer UTM bölgesine ne kadar uzakta olduklarını bilerek, alan bozulmasını hesaplamak için bir formül var mı?
Yanıtlar:
UTM, merkezi meridyende 0,9996'lık bir ölçek faktörüne sahip bir enine Mercator projeksiyonu kullanır. Mercator'da, mesafe ölçeği faktörü enlemin sekantıdır (bir kaynak: http://en.wikipedia.org/wiki/Mercator_projection ), alan ölçeği faktörü bu ölçek faktörünün karesidir (çünkü Her yöne, Mercator uyumludur). Enlemi ekvator için küresel mesafe olarak anlamak ve elipsoidi bir küre ile yaklaştırmak için bu formülü Mercator projeksiyonunun herhangi bir yönüne uygulayabiliriz. Böylece:
Ölçek faktörü, merkez meridyene (açısal) mesafenin sekansının 0.9996 katıdır. Alan ölçek faktörü bu miktarın karesidir.
Bu mesafeyi bulmak için, bir jeodezik boyunca keyfi bir noktadan (lon, lat) = (lambda, phi) rasgele bir noktadan, merkezi meridyene doğru uzun boylu muda, o meridyen boyunca en yakın direğe doğru ilerleyerek oluşan küresel üçgeni göz önünde bulundurun. lambda meridyeni boyunca orijinal noktaya geri. İlk dönüş bir dik açı ve ikincisi bir lambda-mu açısıdır. Son kısım boyunca harcanan miktar 90 phi derecedir. Sines Küresel Kanunu bu üçgen devletlere uygulanan
günah (lambda-mu) / günah (mesafe) = günah (90 derece) / günah (90-phi)
çözüm ile
mesafe = ArcSin (günah (lambda-mu) * cos (phi)).
Bu mesafe, sekantı hesaplamak için uygun olan bir açı olarak verilmiştir.
Örnek
Merkezi meridyen -183 + 17 * 6 = -81 derecede olan UTM zon 17'yi düşünün. Dış konum boylam -90 derece, enlem 50 derece olsun. Sonra
Adım 1: (-90, 50) ile -81 derece meridyen arasındaki küresel uzaklık ArcSin'e eşittir (günah (9 derece) * cos (50 derece)) = 0.1007244 radyan.
Adım 2: Alandaki bozulma eşittir (0,9996 * sn (0,1007244 radyan)) ^ 2 = 1.009406.
(GRS 80 elipsoidi ile yapılan sayısal hesaplamalar, hesapladığımız cevabın% 0.3 çok düşük olduğunu gösteren 1.009435 olarak bir değer verir: bu, elipsoidin düzleşmesiyle aynı büyüklükte olup, hatanın küresel yaklaşıma bağlı olduğunu gösterir.)
Yaklaşımlar
Alanın nasıl değiştiğine dair bir fikir edinmek için, genel ifadeyi basitleştirmek için bazı trig kimliklerini kullanabiliriz ve lambda-mu'daki bir Taylor serisi olarak (noktanın boylamı ile UTM merkez meridyeninin boylamı arasındaki yer değiştirmeyi) genişletebiliriz. İçin çalışır
Alan skala faktörü ~ 0.9992 * (1 + cos (phi) ^ 2 * (lambda-mu) ^ 2).
Tüm bu açılımlarda olduğu gibi, lambda-mu açısı radyan olarak ölçülmelidir. Hata, yaklaşma ve 1 arasındaki farkın karesine yakın olan 0,9992 * cos (phi) ^ 4 * (lambda-mu) ^ 4 değerinden daha küçüktür, yani ondalık noktadan sonraki değerin karesidir. .
Phi = 50 derece (0.642788 kosinüs ile) ve lambda-mu = -9 derece = -0.15708 radyan ile yapılan örnekte, yaklaşım 0.9992 * (1 + 0.642788 ^ 2 * (-0.15708) ^ 2) = 1.009387 vermektedir. Ondalık noktadan ve karelemeden geriye bakıldığında, (doğru değeri bilmeden bile) hatanın (0.009387) ^ 2 = 0.0001'den küçük olamayacağını (ve aslında hatanın bu boyuttan beşte biri olduğunu) saptarız.
Bu analizden, yüksek enlemlerde (cos (phi) nin küçük olduğu), ölçek hatalarının her zaman küçük olacağı açıktır; ve daha düşük enlemlerde, alan ölçeği hataları, boylamlardaki farkın karesi gibi davranacaktır.
GeographicLib'in aracı GeoConvert
http://geographiclib.sf.net/html/GeoConvert.1.html
UTM bölgeleri arasında cömert bir örtüşme sağlar (özellikle ortaya çıkan doğunun [0km, 1000km] aralığında olması şartıyla komşu bir bölgeye dönüşmesine izin verilir). GeoConvert ayrıca meridyen yakınsama ve ölçeğini de rapor edebilir ve whuber'ın belirttiği gibi, alandaki bozulma ölçeğin karesidir.
Örneğin, "ana" bölgeniz 42'dir ve size bir puan verilir
41N 755778 3503488
(Bölge 42'nin yaklaşık 29km batısındaki Kandahar Üniversitesi). Bunu bölge 42'ye dönüştürmek için
yankı 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z 42 ==> 42N 186710 3505069
42 bölgesinde meridyen yakınsamalarını ve ölçeklerini belirlemek için -c bayrağını ekleyin.
yankı 41N 755778 3503488 | GeoConvert -u -z42 -c ==> -1.73405 1.0008107
Bu nedenle, alan bozulma 1.0008107 ^ 2 = 1.0016221'dir.