Küresel çokgen sentroidin hesaplanması

Bir küredeki çokgenler için sentroidleri hesaplamanın genel bir yolunu istiyorum.

Şimdiye kadar, en iyi çevrimiçi referans şöyledir:

Grafikler ve Şekiller için Araçlar Jeff Jenness.

Burada açıklanan yöntem, çokgenin çoklu küresel üçgenlere ayrılmasını ve küresel üçgen alanı ile ağırlıklandırılmış küresel üçgen sentroidlerinin ortalamasını hesaplamayı önerir.

Küresel bir çokgen sentroid tanımlamanın birkaç yolu olduğunu biliyorum, ancak noktalar ve çoklu çizgiler için aşağıdaki tanımlara benzer bir şey arıyorum:

• Noktalar : noktaları temsil eden Kartezyen vektörlerin aritmetik ortalaması.
• Çoklu çizgiler: her bir segmentin orta noktalarını temsil eden, her bir segmentin (küresel) uzunluğuna göre ağırlıklandırılmış Kartezyen vektörlerin ağırlıklı ortalaması.

Üçgen ayrışmanın ağırlıklı ortalaması olarak tanımlanan , poligon centroidlerin alana göre ağırlıklandırılmış olması makul bir şekilde devam etmektedir .

Benim sorum yukarıdaki referanstaki yöntemin kullanılan üçgen ayrışmasından bağımsız olarak çalışıp çalışmayacağıdır. Özellikle, bazı üçgenlerin negatif ağırlığa katkıda bulunan negatif alanlara sahip olacağı şekilde, çokgenin dışında bile keyfi bir noktaya göre üçgenlere ayrışmasından bahseder.

İlgili: Bir nesnenin geometri merkezi nasıl bulunur?

Tüm üçgenlemeleri tek bir sabit noktaya göre gerçekleştirseniz bile tutarlı olarak çalışmaz . Sorun şu ki, küresel ve Öklid hesaplamaları, ne anlama geldiklerine bakılmaksızın karıştırılıyor.

Bunu açık hale getirmenin bir yolu, bir yarım kürenin neredeyse yarısı gibi oldukça aşırı bir üçgeni düşünmektir. Örneğin, (lon, lat) = (-179, 0) 'dan başlayarak, ekvator boyunca (0, 0)' a, ardından (0, 90) 'da kuzey kutbuna kadar, ardından (- 179, 0). Bu, batı yarımkürenin kuzey yarısının çoğunu içeren 90-179-90 bir üçgendir. Sorun, uç noktalarının (şekilde beyaz noktalar olarak gösterilmiştir) pratik olarak bir düzlemde yatmasıdır: biri direğe ve diğer ikisi neredeyse zıt taraftadır. Bu nedenle, küreye (kırmızı nokta) yansıtılan ortalamaları neredeyse direğe yakındır - ancak bu , herhangi bir makul merkezden elde edilebilecek kadar uzaktır :

Başka bir örnek olarak, merkezi, Kuzey Kutbu'na göre üst yarıküreyi temsil eden bir çokgeni üçgenleyelim. Batı yarımküreyi her zaman iki eşit yarıya böleriz, her biri 90-90-90 üçgen (böylece büyük, yarımküreyi kapsayan üçgenlerle ilgili herhangi bir sorundan kaçınırız). Bununla birlikte, Doğu yarımküre n eşit yarı lüne bölünecektir . Lune k köşelerinin ( k = 1, 2, ..., n ) (lon, lat) koordinatları vardır

((k-1) * 180/n, 0),  (k * 180/n, 0),  (k * 180/n, 90).

Bu şekil k = 8 kurulumunu göstermektedir. Kırmızı noktalar, "Grafikler ve Şekiller için Araçlar" belgesine, s. 65-67'ye göre hesaplanan bağımsız üçgen "merkezlerdir".

Hesaplamaları yaparken, k = 2 ile, alan ağırlıklı merkezin gerçekten Kuzey Kutbu'nda olduğunu (simetri hususlarıyla belirtildiği gibi), ancak n arttıkça, sonucun hızla Batı yarımküreye kaydığını ve -90 derece boylam boyunca 89.556 derece enlemine yaklaşır. Bu, Kuzey Kutbunun kendisinin yaklaşık 50 kilometre güneyinde.

Kuşkusuz, 20.000 kilometrelik bir çokgen için +/- 50 kilometrelik bir hata küçüktür; bu durumda farklı üçgenleme nedeniyle toplam keyfi varyasyon miktarı sadece% 0.5'tir. Göreceli hatalar, negatif üçgenler dahil edilerek keyfi olarak büyük yapılabilir (sadece küçük bir üçgene göre gerçekten büyük üçgenler ekleyin ve çıkarın). Ne olursa olsun, açıkça küresel hesaplamalar yapmak için çabalayan herkes projeksiyon hatalarından kaçınmaya çalışıyor, bu yüzden yüksek doğruluk arıyorlar. Bu nirengi yöntemi önerilemez.

Bir çokgenin sentroidinin sahip olması gereken özellikleri numaralandırmak iyi bir fikirdir. İşte benim kriterlerim:

(a) Çokgen iç mekanın bir özelliği (köşeler veya kenarlar yerine). Bu nedenle, ek bir köşe ekleyerek bir kenarı ikiye bölmek, sentroidin pozisyonunu değiştirmemelidir. Jenness'in sentroid tanımının bu kriterde başarısız olduğuna dikkat edin , çünkü sentroidin pozisyonu bir çokgenin üçgenlere nasıl bölündüğüne bağlı olacaktır.

(b) Çokgenin şeklini biraz bozmak, sentroidi biraz hareket ettirmelidir. Burada, çokgenin genel kapsamı üzerinde bir kısıtlama uygulamak gereklidir (örneğin, tek bir yarımküreye). Bu kısıtlama olmadan, sentroidin aniden dünyanın bir yanına hafif bir tepe hareketi ile sallanacağı durumlar oluşturmak kolaydır. Bu durum, sentroidin çokgenin içinde kalmasını gerektiren yöntemleri hariç tutar.

(c) Küçük çokgenler için sentroidin düzlemsel tanımına indirilmelidir.

İşte bu kriterleri karşılayan iki yaklaşım:

(1) Üç boyutta elipsoidal poligon için sentroid hesaplayın ve elipsoid yüzeye geri (elipsoide normal bir şekilde) yansıtın. Büyük avantaj: Centroid, çokgeni daha basit şekillere bölerek hesaplanabilir.

(2) Centroid, çokgenin iç kısmındaki tüm noktalara minimum RMS jeodezik mesafeye sahip noktadır. Bkz. Buss ve Fillmore, "Küresel Ortalamalar ve Küresel Splinelara ve İnterpolasyona Uygulamalar", Grafik 20 , 95–126 (2001) ACM İşlemleri . Büyük avantaj: Elde edilen noktalı yüzey R gömülü nasıl bağımlı değildir ³ .

Ne yazık ki, bu tanımların hiçbiri uygulamaya koymak için açık değildir. Bununla birlikte , ilk yöntem sadece bir küre için gerçekleştirilebilir. Kullanılacak en iyi "temel" alan, çokgenin bir kenarı ile sınırlanan dörtgen, kenarın uç noktalarından iki meridyen ve ekvatordur. Tüm çokgenin sonucu, kenarlar üzerindeki katkıların toplanmasını gerektirir. (Çokgen bir kutbu çevreliyorsa ek adımlar atılmalıdır.)

Kenarın uç noktalarının (φ ₁ , λ ₁ ) ve (φ ₂ , λ ₂ ) olduğunu varsayalım . Kenarın ve uç noktaların azimutlarını α ₁ ve α _{2 ile} bırakın . Kürenin yarıçapının 1 olduğu varsayıldığında, dörtgen alanın

  A = α ₂ - α ₁
      = 2 tan ⁻¹ [tan ½ (λ ₂ - λ ₁ ) sin ½ (φ ₂ + φ ₁ ) / cos ½ (φ ₂ + φ ₁ )]

(Bölgenin bu formülü, Bessel'a bağlı olarak, yaygın olarak kullanılan L'Huilier'in bir üçgen alanının formülüne göre sayısal olarak daha iyi davranır.)

Bu dörtgen için centroidin bileşenleri tarafından verilir

  2 bir ⟨ x ⟩ = φ ₂ sin (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁ sin (λ ₁ - λ ₀ )
  2 bir ⟨ y ⟩ = cos α ₀ (σ ₂ - σ ₁ ) - (φ ₂ cos (λ ₂ - λ ₀ ) - φ ₁ cos (λ ₁ - λ ₀ ))
  2 bir ⟨ z ⟩ = (λ ₂ - λ ₁ ) - α sin ₀ (σ ₂ - σ₁ )

burada σ ₂ - σ ₁ kenar uzunluğudur ve λ ₀ ve α ₀ ekvatordan geçtiği kenarın boylamı ve azimutudur ve x ve y eksenleri ekvator geçişi x = olacak şekilde yönlendirilir 1, y = 0. ( z , elbette direğin içinden geçen eksendir.)