Pisagor Teoremi ve Haversine Formülüne karşı çeşitli ölçeklerde küreye olan mesafeleri ölçmede yaklaşık hata nedir?

İlk önce iki boylam / enlem çifti arasında mesafeleri hesaplamaya çalışan birçok kişi Pisagor teoreminin uygun bir mesafe fonksiyonu olarak çalışıp çalışmadığını sorar.

Çoğu zaman insanlar "hayır, Pisagor teoremi yalnızca 2B Euclid düzleminde çalışır" diye yanıtlar. Ancak, nadiren, insanlar ölçek ve konumun küre üzerindeki etkisinin Pisagor teoreminin ne kadar yanlış olduğu konusundaki etkisinden bahseder.

Temel fikir çok küçük ölçeklerde olmak, bir kürenin yüzeyi bir düzleme çok benziyor. Çok büyük ölçeklerde, yüzey boyunca olan mesafeler daha eğridir ve bu nedenle yanlış Pisagor Teoremi ve doğru Haversine Formülü arasındaki fark daha büyüktür.

Ölçmeye çalıştığınız mesafenin ölçeğine bağlı olarak iki mesafe ölçümü arasındaki farkı size söyleyen bir formül veya bir kural olduğunu bilen var mı?

Bence açıkça buna yardımcı olmak:

1. Pisagor Teoreminin neden mükemmel olmadığını açıklamak; ve
2. Daha "zorlu" mesafeler arayan insanların Pisagor'un gerçekte amaçlarına ne zaman hizmet edeceklerini bilmelerine izin vermede.

Pisagor formülünün enlem ve boylamda verilen konumlarda kullanılması, örneğin bir karenin formülünü kullanarak bir dairenin alanını hesaplamak kadar az anlamlıdır: bir sayı üretmesine rağmen, çalışması gerektiğini düşünmek için hiçbir neden yoktur.

Küçük ölçeklerde herhangi bir pürüzsüz yüzey düzlem gibi görünse de, Pisagor formülünün doğruluğu kullanılan koordinatlara bağlıdır . Bu koordinatlar bir kürenin (veya elipsoidin) enlem ve boylamı olduğunda, bunu bekleyebiliriz.

1. Boylam çizgileri arasındaki mesafeler makul derecede doğru olacaktır.

2. Ekvator boyunca mesafeler makul derecede doğru olacaktır.

3. Diğer tüm mesafeler, enlem ve boylamdaki farklılıklarla kabaca orantılı olarak hatalı olacaktır.

Hata, mesafe hesaplamalarının başlangıç ​​ve bitiş noktalarına bağlıdır. Bununla birlikte, hem küre hem de elipsoidin eksen etrafında dairesel bir simetriye sahip olması nedeniyle, hata sadece boylamların farkına bağlıdır , bu nedenle bu hatayı incelemek için asıl Meridian'da olacağız. Hem küre hem de elipsoid kuzey-güney yansıması altında simetrik olduğundan, sadece güney yarımkürede orijin noktalarını incelemeliyiz. Böyle bir nokta için, [Pisagor hesaplaması] / [Gerçek mesafe] 'ye eşit olan nispi hatanın bir dağılım haritasını çizebiliriz.

Dünyanın ortalama yarıçapını kullanan Pisagor formülü,

Pythagorean distance =  6371000. * Sqrt[dx^2 + dy^2]] * pi / 180 meters

burada dx , boylamlardaki fark ve dy , enlemlerdeki fark, her ikisi de derecedir. (Boylam değerindeki fark , antimerideri geçerken doğru dx değerini vermek için modulo 360'a indirgenmiştir ; bunu yapmamak, bize Pisagor formülünün kendisi hakkında hiçbir şey söylemez yapay olarak büyük hatalar getirecektir.)

Aşağıdaki grafikler WGS 84 elipsoidi üzerindeki -70'den 0'a kadar enlemler için 10 derecelik artışlarla doğru mesafeye kıyasla nispi hatayı göstermektedir. Yatay koordinat, boylamlardaki fark ve dikey koordinat, hedefin enlemidir. Işık bölgeleri nispeten küçük bir hataya sahiptir: kontur çizgileri 1, 1.01, 1.02, 1.05, 1.1, 1.2, 1.5, 2, vb. .) Kırmızı noktalar başlangıç ​​noktasını gösterir.

Dikey beyaz bantlar beklentinin doğruluğunu kanıtlar (1): Pisagor mesafeleri boylamlarda küçük bir fark olduğu zaman doğrudur. Düşük enlemlerdeki yatay beyaz bantlar beklentisi doğrular (2): Equator yakınında, yatay mesafeler makul derecede doğrudur. Aksi takdirde, daha geniş olan karanlık bölgelerin şahit olduğu gibi, diğer tüm mesafelerde Pisagor formülü kötüdür.

Maksimum için kantitatif tahminler yapabilirizyakınlardaki çiftler için elde edilen hata (örneğin, birbirlerinden birkaç yüz kilometre uzakta). Ölçek - yarıçap için uygun bir değer kullanarak - meridyen boyunca doğrudur, ancak enlemin bir kesiti tarafından yaklaşık olarak değişir. Örneğin, 40 derecelik bir enlemde sekant 1.31'dir, Pisagor formülünü ima etmek, doğu-batı yönünde yaklaşık% 31'lik mesafeler verecektir. (Bu, sağ üst kontur çiziminde belirgindir, kırmızı noktanın hemen doğu-batısındaki bölgenin 1,2 ve 1,5 konturlar arasında olduğu -40 derece enlemde bir başlangıç ​​noktası için.) Diğer tüm yönlerde kısa mesafeler olacaktır. % 0 ile% 31 arasında bir miktar çok fazla; daha uzun mesafeler daha da fazla olabilir (kontur çizgilerinin gösterdiği gibi).

"Pisagor mesafesi" ni "Öklid mesafesi" olarak yorumladım. Öyleyse cevap, "bir çemberin bir akorunun uzunluğu ile sarkan çevre arasındaki fark nedir?" İle aynıdır. Yarıçapı R olsun, uzama açısı A (radyan).

perimeter = L = A*R
chord = C = 2*sin(A/2)*R
diff = D = L - C
     = (A-2*sin(A/2))*R
     = A^3/24 * R  (for A small)
     = L^3/(24*R^2) (eliminating A)
relative error = D/L
               = (L/R)^2/24

Dünya için, R = 6400 km. Bu arada, "haversine mesafe" değil (nasıl hesaplandığı) "büyük daire mesafesi" (ne olduğu) olarak adlandırın. (Bu, Pisagor mesafesi ile Öklid mesafesi arasındaki farka benzer.)

Tam ve titiz bir cevap için yukarıdaki whuber'un cevabına bakınız. Daha görsel ve basit bir şekilde cevaplayacağım.

Düzlemsel / Pisagor hesaplamalarının uygun olmama nedeni, hesaplamaların, herhangi bir yöne doğru bir adım ilerlemenin grafikte nerede olursanız olun büyüklüğünde sabit bir değişiklik olduğunun temeline dayanmasıdır.

Boylam bu gereksinime uymuyor. Boylam çizgileri kutuplarda birleşir.

Bu nedenle Dünya'yı düzlemsel bir grafiğin kurallarını yansıtacak şekilde düzleştirdiğimizde çarpılmaya başlıyoruz.

Bu haritaya bakarsanız, Grönland'ın kabaca Afrika'nın büyüklüğü ve Antarktika'nın Avrasya'nın büyüklüğü gibi olduğu görülüyor. Tabii bu doğru değil. Grönland ve Antartika her ikisi de aşırı derecede çarpıtılmıştır çünkü boylamların birleştiği kutuplara yakındırlar.

Gördüğünüz gibi Grönland yaklaşık Meksika büyüklüğünde.

Ve Antarktika, Güney Afrika'nın büyüklüğü hakkında (Güney Afrika değil).

Hataları görebileceğiniz gibi, Pisagor formüllerini uygulayacaksınız, noktaların noktaların arasındaki mesafeden daha fazla olmasına bağlıdır. Önemli ihtar ile daha uzun mesafeler tüm hataları büyütür. Bu nedenle, düzlemsel çözümler cazip olsa da, kötü bir seçimdir. Çarpıtmalar sizi ısırır ve bir denge kadar basit değildir. Hatalar, dünyayı uygunsuz kurallara uyacak şekilde çarptırmanın bir sonucudur.