Alt sınır ile sıkı sınır arasındaki fark nedir?

Bu cevaba referansla , Theta (sıkı sınır) nedir?

Omega alt sınırdır, oldukça anlaşılır, bir algoritmanın alabileceği minimum süredir. Ve Big-O'nun üst sınır için olduğunu biliyoruz, yani bir algoritmanın alabileceği maksimum süre. Ama Theta hakkında hiçbir fikrim yok.

Büyük O üst sınır, Omega ise alt sınırdır. Theta , hem Big O hem de Omega gerektirir, bu yüzden buna sıkı bir sınır adı verilir. (hem üst hem de alt sınır olmalıdır) .

Örneğin, bir algoritma Omega(n log n)en az n log nzaman alır , ancak üst sınırı yoktur. En azından (Omega n log n) ve (Big O n log n) ' dan fazlasınıTheta(n log n) gerektirmediği için bir algoritma almak çok tercih edilir .n log n n log n

Θ-gösterimi (teta gösterimi) sıkı sınır olarak adlandırılır çünkü O-gösteriminden ve Ω-gösteriminden (omega gösterimi) daha kesindir.

Tembel olsaydım, sıralanmış bir dizide ikili aramanın O (n ² ), O (n ³ ) ve O (2 ⁿ ) olduğunu söyleyebilirdim ve her durumda teknik olarak doğru olurdum. Bunun nedeni, O-notasyonunun yalnızca bir üst sınır belirtmesidir ve ikili aramanın yüksek tarafta tüm bu işlevler tarafından sınırlandırılmasıdır, sadece çok yakından değil. Bu tembel tahminler işe yaramaz .

Θ-notasyonu, O-notasyonu ve Ω-notasyonu birleştirerek bu problemi çözer . İkili aramanın Θ (log n) olduğunu söylersem, bu size daha kesin bilgi verir. Size algoritmanın verilen fonksiyon tarafından her iki tarafta da sınırlandırıldığını söyler , bu nedenle asla belirtilenden çok daha hızlı veya daha yavaş olmayacaktır.

O (f (n)) olan bir şeye sahipseniz bu, f (n) ≤ kg (n) olacak şekilde k , g (n) olduğu anlamına gelir. .

Eğer Ω (f (n)) olan bir şeye sahipseniz bu, f (n) ≥ kg (n) olacak şekilde k , g (n) olduğu anlamına gelir. .

Ve O (f (n)) ve Ω (f (n)) olan bir şeye sahipseniz , o zaman Θ (f (n) 'dir .

Wikipedia makalesi eğer biraz yoğun, iyi.

Asimptotik üst sınır , belirli bir algoritmanın giriş sayısına bağlı olarak maksimum süre boyunca yürütüldüğü anlamına gelir.

Örnek olarak bir sıralama algoritması alalım. Bir dizinin tüm öğeleri azalan sıradaysa, onları sıralamak O(n), üst sınır karmaşıklığını gösteren bir çalışma süresi alacaktır . Dizi zaten sıralıysa, değer olacaktır O(1).

Genellikle O-notationüst sınır karmaşıklığı için kullanılır.

Asimptotik olarak sıkı sınır (c ₁ g (n) ≤ f (n) ≤ c ₂ g (n)), bir fonksiyon için ortalama bağlı karmaşıklığı gösterir; burada c ₁ ve c ₂ sabittir.

Minimum süre ve maksimum süre cümleleri burada biraz yanıltıcıdır. Büyük O notasyonları hakkında konuştuğumuzda, asıl ilgilendiğimiz zaman değil, girdi boyutumuz büyüdükçe zamanın nasıl arttığıdır. Ve genellikle bahsettiğimiz ortalama veya en kötü durum zamanıdır, en iyi durum değil , genellikle sorunlarımızı çözmede anlamlı değildir.

Örnek olarak diğer sorunun kabul edilen yanıtında dizi aramasını kullanmak. Numara n listesinde belirli bir sayıyı bulmak için geçen süre n / 2 * ortalama olarak sabittir. Bunu bir işlev olarak ele alırsanız , Charlie'nin verdiği anlamda f(n) = n/2*some_constantdaha hızlı artmaz g(n) = n. Ayrıca, her g(n)ikisinden de daha yavaş artmaz . Bu nedenle, g(n)aslında f(n)Big-O gösteriminde hem bir üst sınır hem de alt sınırdır , dolayısıyla doğrusal aramanın karmaşıklığı tam olarak n'dir. , yani Theta (n).

Bu bağlamda, diğer soruya verilen kabul edilen yanıttaki açıklama tamamen doğru değildir, bu da O (n) 'nin üst sınır olduğunu iddia eder çünkü algoritma bazı girdiler için sabit zamanda çalışabilir (bu yukarıda bahsettiğim en iyi durumdur , Bu gerçekten çalışma süresi hakkında bilmek istediğimiz şey değil).

Tembel olsaydım, sıralanmış bir dizide ikili aramanın O (n2), O (n3) ve O (2n) olduğunu söyleyebilirdim ve her durumda teknik olarak doğru olurdum.

Asimptotik olarak sıkı olmayan bir üst sınırı belirtmek için o-notasyonunu ("küçük-oh") kullanabiliriz. Hem büyük-ah hem de küçük-ah benzerdir. Ancak, büyük-ah muhtemelen asimptotik olarak sıkı üst sınırı tanımlamak için kullanılır.

Tam olarak alt sınır veya $ \ omega $ bfon f (n), asimptotik olarak f (n) 'den daha küçük veya eşit olan fonksiyonlar kümesidir, yani tüm $ `un≥ n için U g (n) ≤ cf (n) $ \ 'Bazı c için, $ \ Bbb {N} $ içinde n' $ \

Ve f (n) üzerindeki üst sınır veya $ \ mathit {O} $, matematiksel olarak f (n) 'den asimptotik olarak daha büyük veya eşit olan fonksiyonlar kümesi anlamına gelir:

$ g (n) \ ge cf (n) \ tümü için n \ ge n '$, bazıları c için, $ \ Bbb {N} $ içinde n' $ \.

Şimdi $ \ Theta $, yukarıda yazılan ikisinin kesişimidir

$\theta $

Örneğin bir algoritma "tam olarak $ \ Omega \ left (f (n) \ right $" gibi ise, o zaman $ \ Theta \ left (f (n) \ right) $ demek daha iyidir.

Ya da $ \omega $bize en düşük limiti veren gerçek hızı verdiğini de söyleyebiliriz .

Arasındaki temel fark

Blok alıntı

asimptotik olarak üst sınır ve asimptotik olarak sıkı Asim. üst sınır, örneğin tüm dizi (n) öğeleri azalan sıradaysa, onları yukarı çıkarmak için, örneğin, girdi sayısına bağlı olarak maksimum süre ile çalıştırılabilen belirli bir algoritma anlamına gelir. üst sınır karmaşıklığını gösteren O (n) 'lik bir çalışma süresi alacaktır, ancak eğer zaten sıralanmışlarsa ohm (1) alacaktır. bu yüzden genellikle üst sınır karmaşıklığı için "O" gösterimini kullandık.

Asym. sıkı sınır, örneğin (c1g (n) <= f (n) <= c2g (n)), fonksiyonun iki sınır (üst sınır ve alt sınır) arasında değere sahip olacağı şekilde sıkı sınır sınırını gösterir. ortalama durum.