Kuantum bilgisayarların üstel bir avantaj sağladığı bilinen sorunlar var mı?

Genel olarak, kuantum bilgisayarların en azından bazı görevlerde klasik cihazlardan daha iyi performans gösterdiğine inanılır ve iddia edilir.

Kuantum bilgisayarların klasik cihazlardan daha iyi performans göstereceği bir problemin en sık alıntı yapılan örneklerinden biri , ancak daha sonra, in klasik bir bilgisayarla da verimli bir şekilde çözülebilir olup olmadığı da bilinmiyor . olup, ) olup olmadığıdır .Faktoring Faktoring ∈ $\text{Factoring}$$\text{Factoring}$$\text{Factoring}\in \text{P}$

Kuantum bilgisayarlarının, veritabanı araması gibi bir avantaj sağladığı bilinen diğer sık ​​rastlanan problemler için, hızlanma yalnızca polinomdur.

Kuantum bilgisayarların üstel bir avantaj sağlayacağı gösterilebilecek (güçlü hesaplama karmaşıklığı varsayımları altında kanıtlanmış veya kanıtlanmış) bilinen durumlar var mı?

Bir fonksiyon varsayalım aşağıdaki merak özelliğe sahiptir: söz konusudur bu şekilde eğer ve sadece . Eğer tek çözüm, bu araçlar 1-to-1; aksi halde bir sıfırdan farklı bu şekilde tüm , burada, çünkü , araçlar 2-1'e olan. s ∈ { 0 , 1 } n f ( x ) = f ( y ) x + y = s s = 0 f s f ( x ) = f ( x + s ) x 2 = 0 $f\colon {\mathbb F_2}^n \to {\mathbb F_2}^n$$s \in \{0,1\}^n$$f(x) = f(y)$$x + y = s$$s = 0$$f$$s$$f(x) = f(x + s)$$x$$2 = 0$$f$

Klasik veya kuantum bilgisayarda, her bir seçenek için (1'den 1'e kadar) bu özelliği sağlayan tek tip rastgele 1'e 1 fonksiyonunu, tek tip rastgele 2'ye 1 fonksiyonundan ayırt etmenin, öngörülen herhangi bir başarı olasılığının maliyeti nedir? -1 veya 2'ye 1) eşit olasılık var mı?

Yani, gizlice bir yazı tura atarım; I kafaları olsun sana kara kutu el (klasik ya da kuantum, Resp.) eşit bir rastgele 1-to-1 işlevi devre , I kuyrukları alırsanız bir düzgün rastgele 2-için size bir kara kutu devre el oysa -1 işlevi . Ne kadar başarı bir reçete olasılığını almak için ödeme zorunda ı Yazı ya da tura var mı söylüyorum?f $f$$f$$p$

Bu Simon'ın algoritmasının senaryosu . Bu içinde ezoterik uygulamaları vardır saçma şifreleme , ^* ve Shor'un algoritması için karmaşıklık sınıfları BQP ve BPP ve erken ilham okuyan erken bir enstrüman oldu.

Simon , litreye mal olan ve yakın olasılık için beklenen süresine mal olan bir kuantum algoritması (§3.1, s. 7) sundu . bir hesaplama zamanı üst üste gelme değerlerinin büyüklüğünün bir girişi ve burada bir çözme zamanı lineer denklem içinde sistemi .O ( n ⋅ T f ( n ) + G ( n ) ) T f ( n ) f n G ( n ) n × n F$O(n + |f|)$$O(n \cdot T_f(n) + G(n))$$T_f(n)$$f$$n$$G(n)$$n \times n$$\mathbb F_2$

Simon ayrıca bir kabataslak kanıtı (. Teoremini 3.1, s 9) klasik bir algoritma değerlendirildiği bir fazla de ayrı ayrı değerler daha avantajlı bir bozuk para tahmin edemez üzerinde tek tip rastgele bir tahmin.2 n / 4 2 - n /$f$$2^{n/4}$$2^{-n/2}$

Bir anlamda, bu sorunuzu olumlu bir şekilde cevaplıyor: Girdilerin kuantum süperpozisyonu üzerindeki rastgele fonksiyonların doğrusal bir şekilde değerlendirilmesini gerektiren bir kuantum hesaplama , rasgele bir fonksiyonun ayrı ayrı üzerindeki üssel bir sayıdaki değerlendirmelerini gerektiren klasik bir hesaplamadan çok daha iyi bir başarı olasılığı elde edebilir. girişler , girişlerin boyutunda. Bunun için bu olabilir çünkü Ama başka bir anlamda o, hiç sorunuza cevap vermez , her belirli fonksiyonu aramayı hesaplamak için daha hızlı bir yolu yoktur.$f$

Deutsch-Józsa algoritması okuyucuya bir örnek olarak bırakıldığı ayrıntılarını bulmaktan farklı karmaşıklık sınıfları, P ve EQP çalışma için biraz farklı bir yapay sorun için de benzer bir açıklama olarak hizmet vermektedir.

_{^* Simon's kriptanaliz için saçma sapandır, çünkü sadece akla gelmeyen kafalı bir aptal, gizli anahtarını, girdilerin kuantum süperpozisyonu üzerinde kullanmak için rakiplerinin kuantum devresine sokar, ancak bir sebepten biri, her ne zaman birisi, Simon'ın algoritmasını kullanması üzerine yeni bir makale yayınlarsa bir sıçrama yapar. aptalların anahtarlarını hayali bir donanımla kırmak, bu saldırıların hepsi böyle işliyor. İstisna: Bu, beyaz kutu şifrelemesini kırabilir , ancak beyaz rakip şifrelemenin klasik rakiplere karşı bile güvenlik hikayesi umut verici değil.}

Tam olarak aradığınız şeyin bu olup olmadığından emin değil; ve bunu "üstel" olarak nitelendireceğimi bilmiyorum (aynı zamanda bir bilgisayar bilimcisi de değilim, bu yüzden algoritma analizi yapabilme yeteneğim az çok var ...), ancak Bravyi et. al kuantum paralel bir cihazda daha az kaynak kullanan kanıtlanmış bir '2D Gizli Doğrusal İşlev problemleri' sınıfı sundu.

Makale burada arşiv üzerinde , ama işte kısa bir özet. Kuantum avantajı paralel devrenin derinliğindedir, bu nedenle bir tane iş parçacığı sayısı sorunu sınırlı fan girişi altına bölebilir. Soruna bir matrisi A ve bir giriş vektörü b veriliyorsa , bir ikinci dereceden form q ve bu form için özel bir alt alan tanımlanabilir. "Gizli doğrusal fonksiyon problemi" nin amacı, özel bir alt uzaydaki ikinci dereceden fonksiyon için bir doğrusallaştırma bulmaktır.$N\times N$$A$$b$$q$

Klasik olasılıksal devre ~ için sınırlanmıştır size hesaplama olasılık ile başarılı olmak istiyorsanız, derinliği > 7 / 8 (muhtemelen o en azından bu olasılık ile başarılı olmak istiyorum). Kuantum devre sabit derinlikte yapabilir, bu yüzden bu büyük bir gelişme.$\log{N}$$>7/8$

Kanıt, klasik bir devrenin taklit etmesi zor olan belirli bir grafik durumuna dayanıyor, bu alt sonuç biraz daha önce kanıtlandı . Ardından makalenin geri kalanı, daha büyük problem sınıflarının bu zor problemi içerdiğini göstermektedir.

Klasik bir bilgisayarda verimli çözülebilir karar problemlerinin karmaşıklığı sınıfı denir BPP (veya P sen rastgeleliğine izin vermez eğer, ama bunlar eşit neyse olmasından şüphelenilen). Kuantum bilgisayarda etkin bir şekilde çözülebilen problemler sınıfına BQP denir . Sorun bir kuantum bilgisayarı üstel hızlanma sağlar kendisi için varsa, o zaman bu ima ediyorum BPP $\neq$ BQP . Bununla birlikte, BQP'ye karşı BPP sorusu teorik bilgisayar biliminde açık bir sorudur, bu nedenle böyle bir sorunun olduğu kanıtlanmamıştır (ve eğer birini bulursanız, kesinlikle her türlü ödülü kazanırsınız).

Öte yandan, diğer cevabın da belirttiği gibi, $\textbf{BPP}^O \neq \textbf{BQP}^O$ Simon’ın algoritması gibi olduğunu bildiğimize göre kara kutu ("oracle") problemleri vardır . Bu, kanıt sağlamaktadır değil bir kanıtı olsa o BPP $\neq$ BQP gerçek dünyada.

Resmi bir kanıt sağlayamasam da, kuantum sisteminin (zamansal evrimi) simülasyonunun böyle bir durum olduğuna inanılmaktadır: Bunu klasik bir bilgisayarda üstel zamanlardan daha iyi bilinen bir yol yoktur ancak kuantum bilgisayar trivally polinom zaman içinde.

Böyle bir kuantum simülatörü fikri (ayrıca wikipedia makalesine de bakınız ) aslında kuantum bilgisayarlarının ilk nasıl önerildiğine ilişkindir.