Grover'in algoritmasının neden çalıştığına dair bir mesleğin açıklaması var mı?

Scott Aaronson'un bu blog yayını , Shor'ın algoritmasının çok kullanışlı ve basit bir açıklaması .

İkinci en ünlü kuantum algoritması için böyle bir açıklaması var olup olmadığını merak ediyorum: Grover algoritması bir arama sırasız boyutu veritabanını $O(n)$ in $O(\sqrt{n})$zaman.

Özellikle, çalışma zamanının başlangıçta şaşırtıcı sonucu için anlaşılabilir bir sezgiyi görmek istiyorum!

Craig Gidney tarafından iyi açıklaması vardır burada (o da üzerinde, bir devre simülatörü dahil diğer mükemmel içerik vardır onun blog ).

Temel olarak, Grover'in algoritması True, olası girişlerinden biri Falseve diğerleri için döndüren bir işleviniz olduğunda uygulanır . Algoritmanın işi dönen olanı bulmaktır True.

Bunu yapmak için girişleri bit dizeleri olarak ifade ediyoruz ve bunları $|0\rangle$ ve $|1\rangle$ bir bit dizisini belirtir Böylece bit dizesi 0011dört qubit durumunda kodlanacak $|0011\rangle$ , örneğin.

Ayrıca, işlevi kuantum geçitlerini kullanarak da uygulayabilmemiz gerekir. Özellikle, üniter uygulayacak kapılarının dizisi bulmalıyız $U$ böyle

$U | a \rangle = - | a \rangle, \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, U | b \rangle = | b \rangle$

burada $a$ , işlevinin döneceği bit dizesidir Trueve $b$ , onun döndüreceği işlevdir False.

Her şeyi Hadamarding yapmak oldukça kolay olan mümkün olan tüm bit dizelerinin bir üst üste binmesiyle başlarsak, tüm girdiler aynı 1 genlikle başlar$\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ ($n$, aradığımız bit dizgilerinin uzunluğu ve bu nedenle kullandığımız bit sayısı). Fakat o zaman$U$kahinesini uygularsak,aradığımız devletin genliği$-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ .

Bu kolayca gözlemlenebilir bir fark değildir, bu yüzden onu büyütmemiz gerekir. Bunu yapmak için kullandığımız Grover Difüzyon Operatör , $D$ . Bu operatörün etkisi esas olarak her genliğin ortalama genlikten ne kadar farklı olduğuna bakmak ve bu farkı tersine çevirmektir. Yani, eğer belirli bir genlik, ortalama genlikten belirli bir miktarda daha büyükse, ortalamadan daha az aynı miktarda olacaktır ve bunun tersi de geçerlidir.

Eğer bitin dizeleri bir süperpozisyonu varsa Özellikle, $b_j$ , difüzyon operatör etkiye sahiptir

$D: \,\,\,\, \sum_j \alpha_j \, | b_j \rangle \,\,\,\,\,\, \mapsto \,\,\,\,\,\, \sum_j (2\mu \, - \, \alpha_j) \, | b_j \rangle$

burada $\mu = \sum_j \alpha_j$ olan ortalama genliği. Herhangi genliği Yani $\mu + \delta$ dönüştü alır $\mu - \delta$ . Neden bu etkiye sahip olduğunu ve nasıl uygulanacağını görmek için bu ders notlarına bakınız .

Genliklerin çoğu, ortalamanınkinden biraz daha büyük olacaktır (single'ın etkisinden dolayı $-\frac{1}{\sqrt{2^n}}$ ), bu yüzden bu işlem sayesinde ortalamanın biraz altında olacaklar. Büyük bir değişiklik değil.

Aradığımız devlet daha güçlü bir şekilde etkilenecek. Genliği ortalamanın çok altındadır ve bu nedenle difüzyon operatörü uygulandıktan sonra ortalama çok daha büyük olacaktır. Bu nedenle difüzyon operatörünün son etkisi, 1 genlik derecesini düşüren durumlar üzerinde girişim etkisine neden olmaktır.$\frac{1}{\sqrt{2^n}}$Yanlış cevaplardan 2 n ve doğru olanı ekler. Bu işlemi tekrarlayarak, çözümümüzün kalabalığın arasından sıyrıldığı noktaya hızla varabiliriz.

Tabii ki, hepsi bu işin difüzyon operatörü tarafından yapıldığını gösteriyor. Arama yapmak, ona bağlanabileceğimiz bir uygulamadır.

Fonksiyonların ve difüzyon operatörünün nasıl uygulandığına dair detaylar için diğer soruların cevaplarına bakınız .

Çok teknik olmadan bir fikir vermek için oldukça iyi bir grafiksel yaklaşım buluyorum. Bazı girdilere ihtiyacımız var:

• devlet üretebiliriz 'işaretli' durumu ile sıfır olmayan bir üstüste binme ile | x ⟩ : ⟨ x | ψ ⟩ ≠ 0 .$|\psi\rangle$$|x\rangle$$\langle x|\psi\rangle\neq 0$
• Biz bir operasyon uygulayabilirsiniz $U_1=-(\mathbb{I}-2|\psi\rangle\langle\psi|)$
• Bir işlemi uygulayabiliriz .$U_2=\mathbb{I}-2|x\rangle\langle x|$

Bu son işlem, işaretli parçamızı -1 fazla işaretleyebilen işlemdir. Ayrıca bir devlet tanımlayabiliriz için ortonormal olmak | x ⟩ öyle ki { | x ⟩ , | ψ ⊥ ⟩ } yayılmasına yönelik bir ortonormal oluşturur { | x ⟩ , | ψ ⟩ } . Tanımladığımız her iki işlem de bu alanı korur: { | x ⟩ , | ψ ⊥ ⟩ $|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi\rangle\}$$\{|x\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$ve yayılma alanı içindeki bir durumu döndürürler. Ayrıca, her ikisi de üniterdir, bu nedenle giriş vektörünün uzunluğu korunur.

İki boyutlu bir boşluk içinde sabit uzunlukta bir vektör, bir dairenin çevresi olarak görselleştirilebilir. Öyleyse, tekabül eden iki ortogonal yönden oluşan bir daire ayarlayalım. ψ ⊥ ⟩ ve | x ⟩ . $|\psi^\perp\rangle$$|x\rangle$

İlk durumumuz küçük çakışma olacak | x ⟩ ve büyük örtüşme ile | ψ ⊥$|\psi\rangle$$|x\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi\rangle$$|\psi^\perp\rangle$$\theta$

$U_1$$|\psi\rangle$$U_2$$|\psi^\perp\rangle$

$U_2$$U_1$$2\theta$$|x\rangle$

$|\psi\rangle$$\theta$$|x\rangle$$x$

$|x\rangle$$|\psi\rangle$$p\ll 1$$O(1/p)$$\sqrt{p}=\sin\theta\approx\theta$$\theta$$r$$\sin((2r+1)\theta)\approx 1$$r\approx \frac{\pi}{2\theta}\approx \frac{\pi}{2\sqrt{p}}$

Grover'in algoritmasının nasıl çalıştığı (ve dolayısıyla neden) hakkındaki basit açıklama, bir kuantum geçidinin olasılık genliklerini yalnızca değiştirmesi (veya başka şekilde dağıtması) olabilir. Hesaplama temelindeki tüm durumlar için eşit olasılık genliğine sahip bir başlangıç ​​durumu kullanarak, biri genliği ile başlar$1/\sqrt{N}$$\sqrt{N}$$1$