Rastgele Kıyaslamada Sadakat Kullanmanın Amacı

Genellikle, iki yoğunluk matrisi, $\rho$ ve $\sigma$ ( $\rho$ , ideal bir deneysel bir uygulaması olduğunda $\sigma$ ) karşılaştırıldığında, bu iki durumun yakınlığı kuantum durum uygunluğu

F = t r (\sqrt{\sqrt{ρ} σ \sqrt{ρ}}),

$F = tr\left(\sqrt{\sqrt{\rho}\sigma\sqrt{\rho}}\right),$ sadakatsizlik

olarak tanımlanmıştır

1 - F

$1-F$ .

Benzer şekilde, bir kapının uygulanmasının ideal bir sürümle ne kadar yakın olduğu karşılaştırıldığında, aslına uygunluk

F (U, \tilde{U}) = \int {[t r (\sqrt{\sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}} \tilde{U} | ψ ⟩ ⟨ ψ | {\tilde{U}}^{†} \sqrt{U | ψ ⟩ ⟨ ψ | U^{†}}})]}^{2} d ψ,

$F\left( U, \tilde U\right) = \int\left[tr\left(\sqrt{\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}\tilde U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|\tilde U^\dagger\sqrt{U\left|\psi\rangle\langle\psi\right|U^\dagger}}\right)\right]^2\,d\psi,$ burada

d ψ

$d\psi$ olanHaar ölçüsaf durumları üzerinde. Şaşırtıcı olmayan bir şekilde, bu çalışmak ile nispeten tatsız olabilir.

Şimdi, yoğunluk matrisleri durumunda $M = \rho - \sigma$ matrisini veya kapılarla çalışırken matrisini tanımlayalım $M = U - \tilde U$ . Sonra, Schatten normları ¹ , örneğin $\| M\|_1 = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}\right)$ , $\| M\|_2^2 = tr\left(M^\dagger M\right)$ veyaelmas normgibi diğer normlarhesaplanabilir.

Bu normların hesaplanması genellikle yukarıdaki Fidelity'den ² daha kolaydır . Daha da kötüsü, randomize kıyaslama hesaplamalarında sadakatsizlik bile büyük bir ölçü gibi görünmese de, kuantum işlemciler için kıyaslama değerlerine baktığımda her gördüğüm sayıdır. ³

Öyleyse, yararlı bir anlamı olmadığı ve Schatten normları gibi diğer yöntemlerin hesaplanması daha kolay olduğunda kuantum işlemcilerindeki kapı hatalarını (rastgele karşılaştırmalı değerlendirme kullanarak) hesaplamak için gidilecek değerin aslına uygunluğu hesaplamak daha kolaydır. klasik bir bilgisayarda mı?

^{1 Schatten p-norm olduğu $M$ $\| M\|_p^p = tr\left(\sqrt{M^\dagger M}^p\right)$}

^{2 yani (klasik) bir bilgisayara bir gürültü modeli takın ve}

^{3 IBM'in QMX5'i gibi}

quantum-information randomised-benchmarking fidelity

— Mithrandir24601
kaynak

Nielsen ve Chuang "Kuantum Hesaplama ve Kuantum Bilgisi" adlı kitabında, kuantum bilgileri için uzaklık ölçütleri hakkında bölüm (Bölüm 9) içermektedir.

Şaşırtıcı bir şekilde Bölüm 9.3'te "Bir kuantum kanalı bilgiyi ne kadar iyi koruyor?" sadakat ile izleme normu karşılaştırılırken:

Son bölümde oluşturulan iz mesafesinin özelliklerini kullanarak, iz mesafesine bağlı olarak paralel bir gelişme vermek çoğunlukla zor değildir. Bununla birlikte, sadakatin hesaplanması daha kolay bir araç olduğu ortaya çıkıyor ve bu nedenle kendimizi sadakat üzerine kurulu düşüncelerle kısıtlıyoruz.

Bunun kısmen sadakatin neden kullanıldığını hayal ediyorum. Statik bir mesafe ölçüsü olarak oldukça yararlı görünüyor.

Ayrıca devlet topluluklarına sadakatin nispeten basit uzantıları var gibi görünüyor

F = \sum_{j} p_{j} F (ρ_{j}, E (ρ_{j}))^{2},

$F =\sum_j p_jF(\rho_j,\mathcal{E}(\rho_j))^2,$

sistemi ve durumlarında hazırlama olasılığı,ilgili özel gürültülü kanal, . $p_j$ $\rho_j$ $\mathcal{E}$ $0\leq F\leq 1$

Bir kanalın dolaşıklığı ne kadar iyi koruduğunu ölçmek için dolaşıklık sadakatinin bir uzantısı da vardır. Bir durumu göz önüne alındığında bir şekilde dış dünyaya dolaşmış varsayılmıştır ve devlet arındırıldı (hayali sistem şekildedir), saftır. Devlet, kanalındaki dinamiklere maruz kalır . Asal değerler kuantum operasyonunun uygulanmasından sonraki durumu gösterir. , sistemindeki kimlik haritasıdır . $Q$ $R$ $RQ$ $\mathcal{E}$ $\mathcal{I}_R$ $R$

F (ρ, E) \equiv F (R Q, R' Q')^{2} = ⟨ R Q | (I_{R} \otimes E) (| R Q ⟩ ⟨ R Q |) | R Q ⟩

$F(\rho,\mathcal{E}) ≡ F(RQ,R′Q′)^2= ⟨RQ| \left(\mathcal{I}_R \otimes \mathcal{E}\right)\left(|RQ⟩⟨RQ|\right) |RQ⟩$

Bu bölümde de verilen aslına uygunluk ve dolaşıklık aslına uygunluk hesaplamalarını basitleştirmek için elde edilen bazı formüller vardır.

Dolaşıklık sadakatinin çekici özelliklerinden biri, tam olarak hesaplanmasını sağlayan çok basit bir formül olmasıdır.

F (ρ, E) = \sum_{i} tr | (ρ E_{i}) |^{2}

$F(\rho,\mathcal{E})=\sum_i\operatorname{tr}|(\rho E_i)|^2$

burada 'operasyon elemanların bir tamlık ilişkiyi sağlamaktadır. Belki birileri daha pratik uygulamalar hakkında yorum yapabilir, ama okumadan topladım. $E_i$

Güncelleme 1: Re M.Stern

Nielsen ve Chuang ile aynı referans. Bunu, "Tanımın sağ tarafında görünen sadakatin neden karesi alınmış olduğunu merak edebilirsiniz. Bu sorunun iki basit cevabı var, biri basit, diğeri karmaşık." Topluluk sadakati, aşağıda tanımlandığı gibi, dolaşıklık sadakati ile daha doğal olarak ilişkilidir. Bununla birlikte, Bölüm 12'de göreceğimiz gibi, topluluk ortalama sadakati ve dolaşıklık sadakati, bu önlemlerin doğru yolda olduğuna inanmamıza yol açan zengin bir kuantum bilgi teorisine yol açar,

Neden sadakatine ilişkin ikinci sorunuzu cevaplamak için, olduğunu düşündüğüm "Burada kuantum devlet toplulukları arasındaki ayırt edilebilirlik ölçümleri" nde güzel bir nokta var, ancak burada bir arXiv versiyonu var . $\bar{\rho}$

Bunlar pg 4 söz nokta, iki topluluklar olduğunu varsayalım olup ve aynı grup ortalama yoğunluklu matrisini var olur ki, , daha sonra aslına olamaz aralarında ayrım yapmak. $rho$ $\sigma$ $\bar{\rho}=\bar{\sigma}$ $F(\bar{\rho},\bar{\sigma})$

Güncelleme 2: Re Mithrandir24601 Bu nedenle, kapı sadakati için bir tanım , belirli bir giriş durumu için kanalının en kötü durum davranışının ne olduğunu düşünerek motive edilir . $\mathcal{E}$

F_{m i n} = min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩ ⟨ ψ |, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |)) \equiv min_{| ψ ⟩} F (| ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F_{min}=\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle\langle\psi|,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))\equiv\min_{|\psi\rangle}F(|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Her iki argümandaki içbükeylik nedeniyle bu minimizasyonda saf durumlarla kısıtlayabilirsiniz, ikinci kısımdaki denklik sadece gösterimdir.

Bir kapı bir üniter kapısının bir kötü durum uygulanmasını yanı bakabilirsiniz nasıl uygulandığını iyi tanımlanmasında kanal tarafından tanımlayarak $U$ $\mathcal{E}$

F (U, E) = min_{| ψ ⟩} F (U | ψ ⟩, E (| ψ ⟩ ⟨ ψ |))

$F(U,\mathcal{E})=\min_{|\psi\rangle}F(U|\psi\rangle,\mathcal{E}(|\psi\rangle\langle\psi|))$

Verdiğiniz formülü ve bağladıktan yazıda, bunlar üzerinde entegre uygun bir tedbir ile, . Bu, bunun yerine , özellikle deneyi tekrarlıyorsanız, pratik deneylerde daha yararlı olabileceğini hayal edebileceğiniz ortalama bir doğruluk olarak görülmesi gerektiğini düşündürüyor . Kesin minimum değere ulaşmak muhtemelen olası değildir. $\psi$ $^*$ $\bar{F}(U,\tilde{U})$

Michael Nielsen'in burada ortalama kapı sadakatinden bahsettiği bir makalenin arXiv versiyonu var .

$[\operatorname{trace}]^2$ $F^2$ $F$

( $\,^*$ $\Bbb{CP}^n$ $n$ $U(n)$

— snulty
kaynak

That gives a reasonable explanation of why it could be useful for states and the bit about entanglement fidelity is definitely interesting, sure. However, the issue I've got is (as per this paper) that doing the same thing for gates just doesn't work in the same way. (unless I'm missing something else)

— Mithrandir24601

Could you give a reference for the fidelity of ensembles that you mention? Why is it different from the fidelity of the mixed state

\sum_{j} p_{j} ρ_{j}

$\sum_j p_j \rho_j$ ?

— M. Stern

@M.Stern I've moved my comments to an update.

— snulty

@Mithrandir24601 Apologies for being slow to reply, I've been trying to find time to read the paper you linked and time to write a response! See Update 2.

— snulty

As for your aside, you're correct - I'm just being a lazy physicist. It is (to my knowledge) a Haar measure, but calling it a 'Haar measure over states' is, yes, not exactly the most technically accurate statement ever... What's slightly more worrying is that arXiv currently seems to be down :(

— Mithrandir24601