“Kod alanı”, “kod sözcüğü” ve “sabitleyici kodu” arasındaki fark nedir?

Aşağıdaki üç fazı okumaya devam ediyorum (örn. Nielsen ve Chuang, 2010; sayfa 456 ve 465); "kod alanı", "kod sözcüğü" ve "sabitleyici kodu" - ancak bunların tanımlarını ve daha da önemlisi birbirinden nasıl farklı olduklarını bulmakta zorlanıyorum.

Benim sorum şu; bu üç terim nasıl tanımlanır ve bunlar nasıl ilişkilidir?

— Kuantum spagettifikasyonu
kaynak

Kod uzayları ve kod sözcükleri

Kod alanı ile genellikle bir kuantum hatası düzeltme kodu tanımlanır (Nielsen & Chuang kesinlikle bunu yapıyor gibi görünüyor). Kod alanı örneğin bir -qubit kuantum hata düzeltme kodu olan bir vektör alt uzay . $\mathcal C$ $n$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

Bir kod kelimesi (klasik hata düzeltme teorisinden ödünç alınan terminoloji) bazı kod uzayları için bir : yani, bazı verileri kodlayan bir durumdur. $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

Kuantum hata düzeltme kodları

Uygulamada, önemsiz olmayan bazı özelliklerin kuantum hata düzeltme koduna sahip olmasını istiyoruz, örneğin:

Bu , böylece sıfır olmayan bir miktarda kodlanacak; $\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
operatörü de dahil olmak üzere en az iki operatörün kümesinin bulunduğundan, - eğer , üzerine dikey projektörse - Bazı skalerler için ( Knill – Laflamme koşulları olarak bilinir ). $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$ $E_1 = \mathbb 1$ $P$ $\mathcal C$ $P E_{j} E_{k} P = α_{j, k} P$ $P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$ $\alpha_{j,k}$

Bu prensipte bir devlet koruyabilir ki karşı hata operatörlerin bazı kümesini belirler , içinde Knill-Laflamme koşulları operatörlerinin bir dizi tutarsan o ve bazı operatör durumunuza göre hareket eder, ilke olarak gerçekleştiğini ( diğer operatörlerden farklı olarak ) tespit etmek ve orijinal durumda depolanan verileri bozmadan hatayı geri almak mümkündür . $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\mathcal E$ $E \in \mathcal E$ $E$ $\mathcal E$ $\lvert \psi \rangle$

Bir kuantum hata düzeltme kodu bir kod-alandır , ile birlikte bir hata operatörlerin kümesi Knill-Laflamme koşulları karşılayan - olduğu karşı korumayı amaçlayan hangi hataları belirtmelidir düzeltme kodu kuantum hatası . $\mathcal C$ $\mathcal E$

Kuantum hata düzeltme kodlarını kod alanlarıyla tanımlamak neden yaygındır?

Knill – Laflamme koşullarını yalnızca kod-alanı karşılayan benzersiz bir işleç kümesi belirleyemezsiniz . Bununla birlikte, bu dikkat edilmesi gereken en yaygın olan düşük ağırlıklı operatörleri (qubits az sayıda sadece hareket olanlar) simultaneosuly bir kod ile düzeltilebilir, ve bir dereceye kadar, bu olabilir , tek başına kod alanı elde edilebilir. Kod mesafesi bir kod alanı Eğer hareket etmeye biri "kod sözcüğünü" dönüştürmek zorunda qubits en küçük sayıdır içerisine belirgin kod sözcüğü . Daha sonra bir kod alanını bir $\mathcal E$ $\mathcal C$ $\mathcal C$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$ $[\![n,k,d]\!]$ kodu, bu daha sonra boyutunun olduğunu ve dikkate aldığımız kümesinin ağırlığı en fazla olan tüm Pauli operatörleri . $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ $2^k$ $\mathcal E$ $\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

Bazı durumlarda, bir kodu Kodu olarak tanımlamak yeterlidir. Örneğin, 5-kubit kodu bir ve beş kubitin tek bir kübiti diğer hataların düzeltilebileceği şekilde göstermek mümkündür. tek qubit hatalarına ek olarak. Bununla birlikte, aynı durum , herhangi bir tek-qubit Pauli hatasına ve bazı (ancak hepsi değil) iki-qubit Pauli hatalarına karşı koruyabilen Steane Kodu için geçerli değildir. Hangi iki qubit Pauli hatalar gerektiği $[\![n,k,d]\!]$ $[\![5,1,3]\!]$ $[\![7,1,3]\!]$ karşı korumak hata modelinizin ne olduğuna bağlıdır; senin gürültü simetriktir ve bağımsız olarak dağıtılan ve eğer o madde çok sen (büyük olasılıkla herhangi bir tek geleneksel seçim yapmak, böylece ne seçmek olmaz herhangi bir tek birlikte hata hatası). Ancak bu bir seçimdir ve verilerinizi gürültüye karşı nasıl koruyacağınıza rehberlik eder. $X$ $Z$

Dengeleyici kodları

Bir stabilize edici kodu kümesi tarafından belirlenen bir kuantum hata düzeltme kodu arasında stabilize edici jeneratörü bir kod-alanını tanımlayan birbirine ve hangi gidip Pauli operatörleri, kendi + 1-Aygen kesişimi ile. ( ürünleri tarafından oluşturulan stabilizatör grubunu düşünmek genellikle yararlıdır .) $\mathscr S$ $\mathcal C$ $\mathcal G$ $P \in \mathscr S$

İnsanların pratikte düşündüğü hemen hemen tüm kuantum hata düzeltme kodları sabitleyici kodlarıdır. İki terimi birbirinden ayırabilmenizin bir nedeni de budur. Bununla birlikte, bir kuantum hata düzeltme kodunun bir dengeleyici kodu olmasını istemiyoruz - prensipte olduğu gibi doğrusal bir kod olması için klasik bir hata düzeltme koduna gerek duymuyoruz. Stabilizatör kodları, kuantum hata düzeltme kodlarını tanımlamanın son derece başarılı bir yolu, tıpkı doğrusal hata düzeltme kodlarının klasik hata düzeltme kodlarını tanımlamanın son derece başarılı bir yolu olması gibi. Ve aslında, stabilizatör kodları, klasik lineer kodlar teorisinin kuantum hata düzeltmesine doğal bir genellemesi olarak kabul edilebilir .

İnsanlar genellikle kod mesafesinin yarısından daha az olan düşük ağırlıklı operatörlerle ilgilendiklerinden, stabilizatör seti genellikle tüm insanlar bir stabilizatör düzeltme kodu hakkında söyler. Bununla birlikte, kodun koruyabileceği hatalar kümesini belirtmek için , Pauli ürün operatörleri ile alt kümeleri arasında bir ilişki belirtmek gerekir . $\mathcal E$ $\sigma$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

$E$ ile anticommutes , ancak ve ancak için ; $P \in \mathscr S$ $P \in S$ $\sigma(E,S)$
Eğer hem tatmin ve , daha sonra . $E, E'$ $\sigma(E,S)$ $\sigma(E',S)$ $E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

Bu, bir küme hatalarını . alt kümelerine hata sendromları denir ve burada adlandırdığım ilişkiye (genellikle açık bir ad verildiğini görmüyorsunuz), sendromları bu sendroma 'neden olan' bir veya daha fazla hata ile ilişkilendirir ve kod üzerindeki etkileri eşdeğerdir.

E = {E | \exists S \subseteq S : σ (E, S)}

$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$

S \subseteq S

$S \subseteq \mathscr S$

σ

$\sigma$

'Sendromlar', bir hata hakkında gerçekte 'tutarlı ölçüm' ile elde edilebilen bilgileri, yani operatörlerini gözlemlenebilir olarak (genellikle özdeğer tahmini ile simüle edilen bir işlem) temsil eder. Bir hata 'nedenleri' bir sendromdur ise, herhangi bir kod-sözcüğü devlet mi tüm eigenspace operatörler ve -eigenspace içindeki diğer tüm operatörler için . (Bu özellik doğrudan anti-komünasyonu ile ilgili tüm unsurlarla ilgilidir. $P \in \mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $E \lvert \psi \rangle$ $-1$ $P \in S$ $+1$ $\mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ ve yalnızca bu öğeler.)

— Niel de Beaudrap
kaynak

İkinci paragrafınızda, bir kod sözcüğünün bir durum olduğunu, yani bazı verileri kodlayan bir durum olduğunu söylüyorsunuz . Diğer cevapların ne söylediğini mi söylüyorsunuz? Örneğin, kod sözcükleri, mantıksal ve ile ilişkilendirdiğimiz eyaletlerdir . Veya içindeki herhangi bir duruma kod kelimeleri denir mi?

C

$\mathcal{C}$

| 0 ⟩

$\lvert 0 \rangle$

| 1 ⟩

$\lvert 1 \rangle$

C

$\mathcal{C}$

— Kuantum spagettifikasyonu

Terminoloji biraz değişebilir. Örneğin, Gottesman'ın tezini okudunuz ve bir kod kelimesinin kod alanında herhangi bir geçerli durum olduğunu söylüyor ve 'temel kod kelimelerini' mantıksal 0 ve 1 olarak

— ayırıyor

@QuantumSpaghettification: DaftWullie'nin önerdiği gibi, herhangi bir durumu kastediyorum . Standart temelde çok meşgul olmak çok sık bir hatadır . Tarihsel olarak, bir QECC'yi iki özel durumun kapsamına atıfta bulunmak ve bu iki durum açısından düzeltme özelliklerini tanımlamak en kolay yoldur. Dengeleyici kodları teorisi bu tür bir açıklamayı gereksiz kılar ve mantıksal referans çerçevesinin ne olduğu konusunda esnek olmanıza izin verir, bu yüzden şimdi şeyleri standart temeli vurgulayan bir şekilde tanımlamaktan kaçınmak daha iyidir.

C

$\mathcal C$

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap Bir ay sonra bu gönderiye döndüğüm için üzgünüm. Hatanın "temel kod kelimeleri" üzerindeki etkisi dejenere olursa , mapping bir-çok olabileceğini söyleyerek doğru muyum ? Bence Shor'un kodunda faz değişiyor.

μ

$\mu$

— Kuantum spagettifikasyonu

@QuantumSpaghettification: Burayı tarif gibi, aslında almak için gerekli olacaktır seti için çok değerli olmaya dejenere kodu için bunun için daha önce açıkladığımız işi yapmak --- olduğunu tam olarak istediğim gibi değil. Cevabımı kısaca gözden geçireceğim.

μ

$\mu$

E

$\mathcal E$

— Niel de Beaudrap

Kod sözcüğü (kuantum kodu için), tipik olarak mantıksal temeldeki bir durumla ilişkilendirilmiş bir kuantum durumudur. Bu nedenle, 0 durumuna karşılık gelen bir durum kullanmanız gerekmiyor, ancak büyük olasılıkla sizsiniz) ve 1 durumuna karşılık gelen . $|\psi_0\rangle$ $|\psi_1\rangle$

Kod alanı, kod sözcüklerinin kapsadığı alandır, yani tüm olası ve (normalleştirilmiş) için tüm alan . $\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$ $\alpha$ $\beta$

Bir sabitleyici kodu, kod sözcüklerini ve dolayısıyla kod alanını nasıl çalıştıracağınızı söylemek için olası bir formalizmdir. Bir [[n, k, d]] kodu için, karşılıklı olarak işe gidip n qubits üzerinde çalışan nk sabitleyici operatörleri ( ) verilir. Kod alanındaki herhangi bir durum karşılar . , için ve operatörleri , eşleşen abonelikler için ikili dengeleyiciler çift yönlü anti- . Bunlar, kod için Mantıksal Pauli işleçlerini tanımlar ve kod sözcükleri bu nedenle $S$ $S^2=\mathbb{I}$ $|\psi\rangle$ $S|\psi\rangle=|\psi\rangle$ $Z_m$ $X_m$ $m=1,\ldots k$ $S$ $\{Z_m,X_m\}=0$ $Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$ .

— DaftWullie
kaynak

Bir kuantum hatası düzeltme kodunda, bir dizi mantıksal kubit, , birçok fiziksel kubit durumunda, . $k$ $n$

Kod sözcüğü, belirli bir mantıksal durumla ilişkilendirilmiş fiziksel kübitlerin durumudur. Yani, örneğin, ancak mantıksal durumu bir kod kelimesidir. $|0\rangle$

Kod alanı, tüm olası kod sözcüklerinin kapsadığı Hilbert alanıdır. Bir dengeleyici kodu için, bu terim dengeleyici alanı ile eşanlamlıdır. Bu kod alanındaki herhangi bir durum bir kod kelimesidir

Stabilizatör kodu, stabilizatör formalizmi tarafından tanımlanan kuantum hata düzeltme kodudur. Stabilizatör alanı, Pauli operatörlerinin karşılıklı olarak işe gidip gelme ve bağımsız tensör ürünlerinin karşılıklı özsayı olarak tanımlanır . $+1$ $n-k$

— James Wootton
kaynak