Holevo bilgi eşitsizliğinin kanıtı

Klasik-klasik-kuantum kanalım olduğunu varsayalım $W : \mathcal{X}\times\mathcal{Y} \rightarrow \mathcal{D}(\mathcal{H})$ , nerede $\mathcal{X},\mathcal{Y}$ sonlu kümeler ve $\mathcal{D}(\mathcal{H})$ Sonlu boyutlu, karmaşık Hilbert uzayında yoğunluk matrisleri kümesidir $\mathcal{H}$ .

varsaymak $p_x$ üzerinde eşit dağılım $\mathcal{X}$ ve $p_y$ üzerinde eşit dağılım $\mathcal{Y}$ . Ayrıca, dağılımları tanımlayın $p_1$ üzerinde $\mathcal{X}$ ve $p_2$ üzerinde $\mathcal{Y}$ , Holevo bilgileri

χ (p_{1}, p_{2}, W) := H (\sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) W (x, y)) - \sum_{x, y} p_{1} (x) p_{2} (y) H (W (x, y))

$\chi(p_1, p_2, W) := H\left(\sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)W(x,y)\right) - \sum_{x,y}p_1(x)p_2(y)H(W(x,y))$

nerede $H$ von Neumann entropisidir.

Göstermek istiyorum

p_{1} := sup_{p} {χ (p, p_{y}, W)}, p_{2} := sup_{p} {χ (p_{x}, p, W)}

$p_1 := \sup_{p}\left\{ \chi(p, p_y, W)\right\}, p_2 := \sup_{p}\left\{ \chi(p_x, p, W)\right\}$ bu

χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{1}, p_{y}, W) and χ (p_{1}, p_{2}, W) \geq χ (p_{x}, p_{2}, W) .

$\chi(p_1, p_2, W) \geq \chi(p_1, p_y, W) \text{ and } \chi(p_1, p_2, W)\geq \chi(p_x, p_2, W).$

Şimdiye kadar, ifadenin ilk başta doğru olduğuna henüz ikna olmadım. Bunu kanıtlama konusunda fazla ilerleme kaydetmedim, ancak bir çeşit üçgen eşitsizliği iddiayı doğrulayabilir gibi görünüyor.

İfadenin geçerli olup olmayacağı ve önerilerin nasıl kanıtlanacağı ile ilgili ipuçları için teşekkürler.

quantum-information entropy

— Stephen Diadamo
kaynak

Yanıtın öne sürdüğü gibi, supremum değil argmax'ı kullanmak istedim.

— Stephen Diadamo

İfadenin genel olarak doğru olmadığı anlaşılıyor. Diyelim ki , , tek bir kübite karşılık gelen Hilbert alanıdır ve , Eğer düzgün dağılım, için en iyi seçimdir olan ve verir en fazla olan olası değer. (Sanırım tanımlamak $X = Y = \{0,1\}$ $\mathcal{H}$ $W$

\begin{aligned} W (0, 0) & = | 0 ⟩ ⟨ 0 |, \\ W (0, 1) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 0) & = | 1 ⟩ ⟨ 1 |, \\ W (1, 1) & = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | . \end{aligned}

$\begin{align} W(0,0) & = | 0 \rangle \langle 0 |,\\ W(0,1) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,0) & = | 1 \rangle \langle 1 |,\\ W(1,1) & = \frac{1}{2} | 0 \rangle \langle 0 | + \frac{1}{2} | 1 \rangle \langle 1 |. \end{align}$

p_{y}

$p_y$

p_{1}

$p_1$

p_{1} (0) = 1

$p_1(0) = 1$

p_{1} (1) = 0

$p_1(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{y}, W) = 1

$\chi(p_1,p_y,W) = 1$

p_{1}

$p_1$ ve bu ifadelerin argmax'ıdır, supremum değildir.) Benzer şekilde, , ve en uygunudur ve değer aynıdır. Ancak, , bu nedenle eşitsizlik tutmuyor.

p_{2}

$p_2$

p_{x}

$p_x$

p_{2} (0) = 1

$p_2(0) = 1$

p_{2} (1) = 0

$p_2(1) = 0$

χ (p_{1}, p_{2}, W) = 0

$\chi(p_1,p_2,W) = 0$

— John Watrous
kaynak