Boson Örnekleme kullanarak bir kalıcı maddenin mutlak değerini “hesaplamak” mümkün müdür?

Gelen boson örnekleme ilk her 1 foton ile başlarsak, bir interferometrenin modları, her bir çıkış modunda 1 foton tespit olasılığıdır: , burada sütunlar ve sıraları , interferometrenin üniter matrisi ilk sütunları ve tüm sıralarıdır. $M$ $|\textrm{Perm}(A)|^2$ $A$ $M$ $U$

Bu, herhangi bir üniter benzemesini sağlar , uygun interferometreyi inşa edebilir, matrisini oluşturabilir ve her modda bir foton algılama olasılığının kare kökünü alarak kalıcıının mutlak değerini hesaplayabiliriz ( bozon örnekleme deneyi). Bu doğru mu, yoksa biraz yakalama var mı? İnsanlar bana bozon örneklemesinden bir daimi hakkında bilgi alamayacağınızı söylediler. $U$ $A$ $A$

Ayrıca, ne diğer sütunlar olur : Ne tam olarak deneysel sonuç sadece ilk dayanıyor olmasıdır sütunları ve tüm satırları, ancak diğer sütunlar üzerinde hiç ? Bu sütunları ilk modlarındaki deneyin sonucunu hiç etkilemez mi? $U$ $M$ $U$ $U$ $U$ $M$

— user1271772
kaynak

Fotonikler oluşturduğunuzdan , lütfen bunun için etiket alıntısını yazmayı düşünün. Buraya git . Teşekkür ederim.

— Sanchayan Dutta

Yanıtlar:

Bir noktaya kadar doğru gibi görünüyor. Scott Aaronson en okurken kağıdı , size ilk her 1 foton ile başlarsanız söylüyor $M$ bir interferometreden halinin şartları ve olasılık bulmak $P_S$ bir setin olduğu $s_i$ fotonlar her modda çıkışı $i\in\{1,\ldots, N\}$ burada $\sum_is_i=M$ ,

P_{s} = \frac{| Per(A) |^{2}}{s_{1}! s_{2}! \dots s_{M}!} .

$P_s=\frac{|\text{Per(A)}|^2}{s_1!s_2!\ldots s_M!}.$ Yani, gerçekten,her olası çıktı için

s_{i} = 0

$s_i=0$ veya 1 olduğundabelirli bir örneği alırsanız, evet olasılık

kalıcılığına eşittir

A

$A$ , burada

A

$A$ ,

ilk

M

$M$ sütunlarıve

belirli bir alt kümesidirkonumlar

tarafından belirtilen satırlar. Yani, bu soruda belirtildiği gibi değil: tüm satırlar değil, sadece bazı alt kümeler, böylece

U

$U$

M

$M$

s_{i} = 1

$s_i=1$

A

$A$ "Kare" matris, deneyin "gördüğü" bitlere karşılık gelen bir kare matris, yani giriş satırları ve çıkış satırlarıdır. Fotonlar asla başka hiçbir şeyi doldurmazlar ve bu nedenle üniter matris

diğer öğelerine kördürler

U

$U$ .

Bu oldukça açık olmalıdır. Diyelim ki $3\times 3$ matrisim $V$ . Bir şekilde başlarsam devlet $|0\rangle$ ve bulmak onun ürünü, $V|0\rangle$ , o çıkışlar hakkında çok az şey söylüyor bilerek $V|1\rangle$ ve $V|2\rangle$ bir yana bilgisinden söylenebilir ne $V$ yekpare olan ve dolayısıyla sütunlar ve satırlar ortonormaldir.

Bir kez bu çalıştırmak ve tüm olsun olasılık dağılımına göre tek örneğidir: Bir dikkatli olması gerektiğini konu doğruluğu $P_s$ . Bunu birkaç kez çalıştırırsınız ve farklı olasılıklar hakkında bilgi oluşturmaya başlarsınız. Bunu yeterince kez çalıştırıyorsunuz ve keyfi olarak doğru bir cevap alabilirsiniz, ancak kaç tane yeterli? Hatayı değerine göre ölçmenin iki farklı yolu vardır $p$ . Bir ek hata $p\pm\epsilon$ ya da çarpım hatası, $p(1\pm\epsilon)$ . cinsinden tipik bir olasılığın katlanarak küçük olmasını beklediğimizden $n+m$ çarpımsal hata, örnekleme yoluyla verimli bir şekilde elde edilemeyen çok daha yüksek doğruluk gerektirir. Diğer yandan, ilave hata yaklaşımı elde edilebilir.

Çarpıcı bir hata insanların genellikle hesaplamak istediği şey olsa da , katkı hatası da ilginç bir varlık olabilir. Örneğin, Jones polinomunun değerlendirilmesinde .

Aaronson, Boson örneklemesi ile Kalıcı arasındaki ilk bağlantının ilk yapıldığı zamanda bizi daha da ileriye götürüyor:

1953'te Caianiello tarafından yapılan çalışmalardan bu yana (daha önce olmasa da) $n$ bozon süreçlerinin genliklerinin $n\times n$ matrislerinin kalıcıları olarak yazılabileceği bilinmektedir .

Bunun yerine, ana katkıları

klasik bilgisayarların yaklaşık BosonSampling problemini çözme yetenekleri ile kalıcı

örneğin sonlu örnekleme ile ilişkili yaklaşım problemini anlamak ve ilişkili hesaplama karmaşıklığı sonuçlarını tanımlamak: böyle bir şeyin klasik olarak değerlendirilmesinin zor olduğuna inanıyoruz.

— DaftWullie
kaynak

Söylediklerinizin bu olup olmadığından emin değilim, ancak verimli bir şekilde çözmenin BosonSampling'in kalıcıları tahmin etmesine izin verdiği doğru değil, bu da kuantum bilgisayarların # P-zor problemleri çözebileceğini ima ediyor. Başka bir deyişle, kuantum bilgisayarlar bir bozon örnekleyicinin çıktısını verimli bir şekilde simüle edebilir , ancak çıktı olasılık dağılımını etkili bir şekilde hesaplayamaz

— glS

@glS Hayır, ben de öyle söylüyorum. Aaronson makalesi bu konuyu ayırt etmek için çok dikkatli, ancak hesaplama karmaşıklığı ifadesini çok daha karışık hale getiriyor, bu yüzden bunu belirtmedim.

— DaftWullie

@DaftWullie üzgünüm, şimdi kafam karıştı. Bozon örneklemesinin kalıcıları etkili bir şekilde tahmin etmesine izin vermediğine katılıyor muyuz ? (örneğin arxiv.org/pdf/1406.6767.pdf sayfasının 6. sayfasındaki sol sütunun altına bakın )

— glS

@gls Kabul ediyorum ki, bazı şeyleri tanımlamanın standart yolu olan bazı çarpımsal hata ile kalıcı bir tahmin istiyorsanız bunu yapamazsınız (ama dikkatlice bir şey tanımlamaktan kaçındım ...). Eğer bağlı bir hata hatasını tolere etmek istiyorsanız, bunu yapabileceğinize inanıyorum.

— DaftWullie

"Bazı temeli durumunda başlarsanız

ve bulmak onun ürünü,

sonra bilerek çıkışları hakkında çok az şey söylüyor

" ama her bir eleman

ilgilenmektedir size vermekte

. Ancak bozon örneklemesi için sadece ilk

sütunları söz konusudur, bu şaşırtıcı değil mi?

| 0 ⟩

$|0\rangle$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

V | 1 ⟩

$V|1\rangle$

V | 2 ⟩

$V|2\rangle$

V

$V$

V | 0 ⟩

$V|0\rangle$

M

$M$

— user1271772

Sen olamaz verimli genliklerinin mutlak değerler kurtarmak, ancak çok sayıda keyfi örnekler için izin verirse, o zaman sizin gibi doğruluk ne derece onları tahmin edebilir.

Daha spesifik olarak, giriş durumu ilk modunun her birinde tek bir foton ise ve biri çıktıdan isteğe bağlı sayıda örnek çekmek istiyorsa, prensipte kalıcılığını herhangi bir dereceye kadar tahmin etmek mümkündür . doğruluk, giriş fotonunun ilk farklı çıkış portunda çıkma süresinin bir kısmını sayarak doğrudur . Sertlik sonucu foton sayısından çok daha fazla mod rejiminde tutulduğu için bunun BosonSampling ile gerçekten fazla bir ilgisi olmadığını belirtmek gerekir ve bu, örneklemenin verimliliği ile ilgilidir. $n$ $A$ $n$ $n$

BosonSampling

Boynuz örneklemesinin ne olduğuna dair çok kısa bir giriş yapacağım, ancak bu konuda Aaronson'un kendisinden daha iyi bir iş yapamayacağımı belirtmek gerekir, bu yüzden muhtemelen ilgili blog yayınlarına bakmak iyi bir fikirdir. (ör. blog /? p = 473 ve blog /? p = 1177 ) ve buradaki bağlantılar.

BosonSampling bir örnekleme problemidir. Bu, insanların genellikle kesin cevapları olan problemleri düşünmeye daha alışkın olmalarından dolayı biraz kafa karıştırıcı olabilir. Bir örnekleme problemi, problemin çözümünün , bazı olasılık dağılımından alınan bir dizi örnek olması bakımından farklıdır .

Gerçekten de, bir bozon örnekleyicisinin çözdüğü sorun, belirli bir olasılık dağılımından örnekleme sorunudur . Daha spesifik olarak, olası sonucun (çok bozon) durumlarının olasılık dağılımından örnekleme .

4 modlarında basit örnek olarak 2 foton bir vaka düşünün ve hadi biz olmak giriş durumunu düzeltmek demek (olduğundan, iki birinci iki giriş modunun her biri bir tekli foton). Her modda birden fazla foton içeren çıkış durumlarını göz ardı ederek, $(1,1,0,0)\equiv|1,1,0,0\rangle$ olası iki foton durumu çıkışı: ve $\binom{4}{2}=6$ $(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (0,1,1,0), (0,1,0,1)$ . ile rahatlık için gösterelim -inci on (yani, örneğin, ). O zaman, BosonSampling için olası bir çözüm bir dizi sonuç olabilir: $(0,0,1,1)$ $o_i, i=1,.,6$ $i$ $o_2=(1,0,1,0)$

o_{1}, o_{4}, o_{2}, o_{2}, o_{5} .

$o_1, o_4, o_2, o_2, o_5.$

Belki daha tanıdık bir duruma benzetmek için, bir Gauss olasılık dağılımından örneklemek istediğimizi söylemek gibi. Bu, eğer yeterli sayıda çizip histograma koyarsak Gauss'a yakın bir şey üretecek bir sayı dizisi bulmak istediğimiz anlamına gelir.

Kalıcıların hesaplanması

Belli bir giriş durumunun olasılık genliği Verilen çıkış durumuna , ( tek bozon) evrimi karakterize eden birimsel matristen yapılmış uygun bir matrisin kalıcılığıdır (orantılı ). $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$

Daha özel olarak ise, eğer anlamına gelir modu atama listesini $\boldsymbol R$ ilişkili,oveevrimi tanımlayan birimsel matris, o zamandan çıkmaolasılığı genliğiiçinverilir ${}^{(1)}$ $|\boldsymbol r\rangle$ $\boldsymbol S$ $|\boldsymbol s\rangle$ $U$ $\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s)$ $|\boldsymbol r\rangle$ $|\boldsymbol s\rangle$ ile,tarafındantarafından belirtilen satırlarvetarafından belirtilen sütunlaralınarak oluşturulan matrisibelirtir.

A (r \to s) = \frac{1}{\sqrt{r! s!}} perm U [R | S],

$\mathcal A(\boldsymbol r\to\boldsymbol s) = \frac{1}{\sqrt{\boldsymbol r!\boldsymbol s!}} \operatorname{perm} U[\boldsymbol R|\boldsymbol S],$

U [R | S]

$U[\boldsymbol R|\boldsymbol S]$

U

$U$

R

$\boldsymbol R$

S

$\boldsymbol S$

Böylece, sabit giriş durumu dikkate alındığında , olası sonuçların olasılık dağılımı olasılıkları ile verilmektedir $|\boldsymbol r_0\rangle$

p_{s} = \frac{1}{r_{0}! s!} | perm U [R | S] |^{2} .

$p_{\boldsymbol s} = \frac{1}{\boldsymbol r_0! \boldsymbol s!} \lvert \operatorname{perm}U[\boldsymbol R|\boldsymbol S] \rvert^2.$

BosonSampling, bu dağılıma göre "nokta" çizme problemidir.

Bu olasılıklar işlem aynı değildir $p_s$ ve hatta perma kendileri işlem. Gerçekten de, karmaşık matrislerin kalıcılarını hesaplamak zordur ve kuantum bilgisayarların bile bunu verimli bir şekilde yapabilmesi beklenmez.

Meselenin özü, olasılık dağılımından örneklemenin genel olarak dağıtımın kendisini hesaplamaktan daha kolay olmasıdır . Bir dağılımdan örneklemenin naif bir yolu olasılıkları hesaplamak (henüz bilinmiyorsa) ve bunları noktaları çizmek için kullanmak olsa da, bunu yapmak için daha akıllı yollar olabilir. Bir bozon örnekleyicisi, dağılımın kendisini oluşturan olasılıklar bilinmese de (veya daha iyisi, etkili bir şekilde hesaplanamaz) bilinmesine rağmen, belirli bir olasılık dağılımına göre noktalar çizebilen bir şeydir .

Ayrıca, bir dağıtımdan verimli bir şekilde numune alma yeteneği, temel olasılıkları etkin bir şekilde tahmin etme yeteneğine dönüşmelidir gibi görünse de , olası birçok sonuç olduğu anda bu geçerli değildir. Bu gerçekten ) 'nin olduğu muntazam rastgele üniteler (yani, BosonSampling'in orijinal ayarı) ile bozon örneklemesi durumudur.-modesçıkış durumlarındaolası-bozon(yine bazı modlarda birden fazla bozonu olan durumları ihmal ederek). Forbu sayı ile katlanarak artar. Bu, pratikte, olasılıkları kendileri iyi bir doğrulukla tahmin etmek yerine, tek bir sonucu bir kereden fazla görme şansına sahip olmak için bile üstel sayıda örnek çizmeniz gerektiği anlamına gelir (bunun sertliğin temel nedeni değildir, çünkü olası sonuçların üstel sayısı daha akıllı yöntemlerle aşılabilir). $\binom{m}{n}$ $n$ $m$ $m\gg n$ $n$

Bazı özel durumlarda, bir bozon örnekleme düzeneği kullanarak matrislerin kalıcılığını etkili bir şekilde tahmin etmek mümkündür. Bu sadece alt matrislerden birinin kendisiyle ilişkili büyük (yani üstel olarak küçük olmayan) bir kalıcı olması durumunda mümkün olacaktır, böylece onunla ilişkili giriş-çıkış çifti bir tahminin polinom zamanında mümkün olabilmesi için yeterince sık olacaktır. Bu çok atipik bir durumdur ve rastgele rastgele bir çizim yaparsanız ortaya çıkmaz. Önemsiz bir örnek için, kimliğe çok yakın olan matrisleri düşünün - tüm fotonların geldikleri modlarda ortaya çıktığı olay, deneysel olarak tahmin edilebilecek bir kalıcıya karşılık gelecektir. Sadece belirli matrisler için uygulanabilir olmasının yanı sıra, . ${}^{(2)}$

İlgili sütunlar

, tek bozon evrimini tanımlayan üniter olsun . Daha sonra, tanım gereği, moduna giren tek bir fotonun evrimini tanımlayan çıkış genlikleri , sütununda yer alır . $U$ $k$ $k$ $U$

Evrimini anlatan üniter birçok-bozon devletler, ancak, değil aslında , ancak daha büyük bir üniter, genellikle ile gösterilir olan unsurlar dışında yerleşik matrislerin kalıcı malzemelerde gelen hesaplanır, . $U$ $\varphi_n(U)$ $U$

Ancak gayri resmi olarak, eğer giriş durumu ilk modlarında fotonlar içeriyorsa, doğal olarak sadece ilk sütunu evrimi tanımlamak için gerekli (ve yeterli) olmalıdır, çünkü diğer sütunlar fotonların evrimini tarif edecektir aslında kullanmadığımız modlara giriyoruz. $n$ $n$ $U$

(1) Bu, birçok bozon durumunu tanımlamanın başka bir yoludur. Durumu her bir mod için işgal numaraları listesi (yani, birinci moddaki bozon sayısı, saniye cinsinden sayı, vb.) Olarak karakterize etmek yerine, her bozonun işgal ettiği modu isimlendirerek durumları karakterize ederiz. Örneğin, durum eşdeğer olarak olarak yazılabilir ve bunlar birinci modda bir bozon ve üçüncü modda bir bozon olduğunu söylemenin iki eşdeğer yoludur . $(1, 0, 1, 0)$ $(1, 3)$

(2): S. Aaronson ve T. Hance. "Gurvits'in Kalıcı İçin Yaklaşım Algoritmasını Genelleştirmek ve Azaltmak". https://eccc.weizmann.ac.il/report/2012/170/

— GLS
kaynak

Her giriş modunda 1 foton ile başladım ve her çıkış modunda 1 foton alma olasılığına baktığımızı söyledik, böylece sağladığınız kalıcı olanı içeren tüm bu daha karmaşık genel denklemlerden kaçınabildik. Aslında

sütun sayısıdır

, her çıkış modunda 1 fotonu sahip olma olasılığının olduğunu olsun

biz kolayca alabilirsiniz

. Denemenin yeterince uzun süre devam etmesine ve yeterli örnek almasına izin verirsek,

M

$M$

U

$U$

| Perm (U) |^{2}

$|\textrm{Perm}(U)|^2$

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$ ?

— user1271772

Sorunun hiçbir bölümünde "verimlilik" veya "katlanarak" bahsetmedim. Sadece tahmin etmenin mümkün olup olmadığını bilmek istiyorum

bozon örneklemesi kullanarak.

| Perm (U) |

$|\textrm{Perm}(U)|$

— user1271772

@ user1271772 Anlıyorum. Bu bağlamda bu şeyler hakkında konuşmanın standart yolu budur, bu yüzden otomatik olarak verimlilikten bahsetmek istediğinizi varsaymış olabilirim. Eğer çizmeniz gereken örneklerin sayısını umursamıyorsanız, çıktı olasılık dağılımını ve dolayısıyla daimi değerlerin mutlak değerlerini istediğiniz doğruluğa göre

— hesaplayabilirsiniz

@gIS, Aram Harrow bir keresinde bana boson örneklemesi kullanarak Kalıcıları hesaplayamayacağınızı söyledi, bu yüzden bazı "yakalama" olduğunu düşündüm. Tam bozon örneklemesinin simülasyonu için en iyi klasik algoritma:

çıkış modlarındaki

fotonlar için , interferometreyi kullanmanın maliyeti nedir?

O (m 2^{n} + m n^{2})

$\mathcal{O}\left(m2^n + mn^2\right)$

n

$n$

m

$m$

— user1271772

@ user1271772 Düzenlemedeki ilk noktanızı daha spesifik olarak yanıtladım. Sanırım kafam karıştı çünkü bahsettiğiniz ayar bozon örnekleme ile gerçekten fazla bir şey gibi görünmüyor, ancak daha genel olarak bir interferometre ile ayırt edilemeyen bozonların dinamikleriyle ilgili

— glS