17

^{Kelime ile ilgili not: "hamiltonian" kelimesi bu soruda hermitian matrisler hakkında konuşmak için kullanılır.}

HHL algoritması, kuantum hesaplama alanında aktif bir araştırma konusu gibi görünmektedir, çünkü çoğunlukla doğrusal bir denklem sisteminin çözümünü bulan çok önemli bir problemi çözmektedir.

Orijinal makaleye göre, doğrusal denklem sistemlerini çözmek için Kuantum algoritması (Harrow, Hassidim ve Lloyd, 2009) ve bu sitede sorulan bazı sorular

Kuantum faz tahmini ve HHL algoritması - gerekli özdeğerler hakkında bilgi?
Doğrusal denklem sistemleri için kuantum algoritması (HHL09): Adım 2 - Başlangıç durumlarının hazırlanması ve $\vert \Psi_0 \rangle$ $\vert b \rangle$

HHL algoritması bazı özel durumlar ile sınırlıdır. İşte HHL algoritmasının özelliklerinin bir özeti (eksik olabilir!):

HHL algoritması

HHL algoritması doğrusal bir denklem sistemi aşağıdaki kısıtlamalar ile:

A | x ⟩ = | b ⟩

$A \vert x \rangle = \vert b \rangle$

üzerindeki sınırlamalar : $A$

Hermitçe olması gerekir (ve sadece Hermitian matrisi çalışır,bu tartışmayı sohbette görün). $A$
özdeğerlerinin (bkz.Kuantum faz kestirimi ve HHL algoritması - özdeğerler hakkında bilgi gerekli mi?) $A$ $[0,1)$
etkin bir şekilde uygulanması gerekir. Şu anda bu özelliği karşılayan tek bilinen matrisler:
- yerel hamiltonians (bkz. Universal Quantum Simulators (Lloyd, 1996) ).
- -sparse hamiltonians (bkz.Adyabatik Kuantum Durum Üretimi ve İstatistiksel Sıfır Bilgi (Aharonov ve Ta-Shma, 2003)). $s$

İle ilgili sınırlamalar : $\vert b \rangle$

verimli hazırlanabilen olmalıdır. Bu durum böyledir:
1. $\vert b \rangle$ $| b ⟩ = ⨂_{i = 0}^{n} (\frac{| 0 ⟩ + | 1 ⟩}{\sqrt{2}})$ $\vert b \rangle = \bigotimes_{i=0}^{n} \left( \frac{\vert 0 \rangle + \vert 1 \rangle}{\sqrt{2}} \right)$
2. $\vert b \rangle$

$\vert x \rangle$

$\vert x \rangle$ $\vert x \rangle$ $⟨ x | M | x ⟩$ $\langle x\vert M\vert x \rangle$

Soru: Tüm bu sınırlamaları ve hayal gücünü göz önünde bulundurarak , hataya dayanıklı büyük ölçekli kuantum yongaları (yani donanım ile sınırlı değiliz) ile 2050'de (veya belki 2025'te kim bilir?) HHL algoritması çözebilir mi (HHL'nin sadece altyordam olarak kullanıldığı yerler dahil)?

Ben kağıt farkındayım sistem algoritması 2B hedefin elektromanyetik saçılma tesir kesiti hesaplamak için kullanılan lineer kuantum Beton kaynak analizi (Scherer, Valiron, Mau Alexander, Berg & Chapuran, 2016 den Van) ve karşılık gelen uygulanması halinde Quipper programlama dili ve HHL pratikte uygulanabilir olacağını diğer gerçek dünya örnekleri için arıyorum. Yayınlanmış bir kağıda ihtiyacım yok, yayınlanmamış bir kağıda bile değil, sadece gerçek dünya kullanım örnekleri için bazı örnekler istiyorum .

DÜZENLE:

Her kullanım senaryosuyla ilgilensem bile, HHL'nin doğrudan kullanıldığı, yani başka bir algoritmanın alt rutini olarak kullanılmadığı bazı örnekleri tercih ederim.

HHL ile çözülebilen bir diferansiyel operatörün takdirine bağlı doğrusal sistem örnekleri ile daha fazla ilgileniyorum.

Ama bildiğim her kullanım durumu (altyordamlar ya da değil) ile ilgilendiğim bir kez daha vurgulayayım .

algorithm hhl-algorithm applications

— Nelimee
kaynak

HHL'nin "doğrudan kullanıldığı" bazı örnekler istediğinizden bahsediyorsunuz. Bununla ne demek istediğin konusunda çok net değilim. HHL'nin birincil adımlardan biri olduğu, ancak kesinlikle tek adım olmadığı bazı algoritmaları (potansiyel olarak pratik kullanımlara sahip olabilir) biliyorum . HHL'yi kullanarak genetik dizileri birincil adımlardan biri olarak tanımlamak (bahsettiğiniz tüm kısıtlamalara tabi olarak) uygun bir cevap olabilir mi? Diğer birincil adımlar temel olarak Hamilton simülasyonu ve durum hazırlığını içerir.

— Sanchayan Dutta

Ben ediyorum tercih HHL doğrudan kullanılan bazı örnekler. Bu, sorunun doğrudan çözülecek doğrusal bir denklem sistemi olarak formüle edilebileceği anlamına gelir. Diferansiyel denklemleri çözerken durum budur: denklemi ayrıştırırız ve çoğu zaman seyrek doğrusal bir sistem olan ayrıklaştırılmış problemi çözeriz. Ancak diğer örnekler de memnuniyetle karşılanmaktadır.

— Nelimee

6

Birkaç yıl önce, Quantum algoritmalarında ve Montanaro ve Pallister tarafından sonlu elemanlar metodunda HHL algoritmasının "sınır değerin çözümlerine sayısal yaklaşımları verimli bir şekilde bulmak için bir teknik olan Sonlu Elemanlar Metodu'na (FEM) uygulanabileceği gösterildi. "sonlu bir ağ üzerinden parametre boşluğunun ayrıklaştırılmasına dayanan kısmi diferansiyel denklemler için problemler (BVP'ler)" .

Bu bağlamda HHL'nin standart klasik algoritma ("konjuge gradyan yöntemi") üzerinde bir polinom hızlandırması elde etmek için kullanılabileceğini (belki de en fazla) gösterebildiler.

Gerçek dünyadaki kullanım durumları ile ilgili olarak,

$n$

$A$

— SLesslyTall
kaynak

2

M

$M$

M

$M$

s

$s$

s = 3

$s=3$

Hey Nelimee, cevabı yararlı bulduysanız ve sorunuzu cevapladığını düşünüyorsanız, lütfen kabul edilen cevap olarak seçmekten çekinmeyin. Teşekkürler! :)

— SLesslyTall

0

Rebentrost ve diğ. yakın zamanda HHL09 algoritmasını Hopfield ağının enerji fonksiyonunun optimizasyonu için A Quantum Hopfield Sinir Ağı (2018) makalelerinde kullandı .

$E = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx$ $Px - x^{\text{(inc)}} = 0$

L = - \frac{1}{2} x^{T} W x + θ^{T} x - λ^{T} (P x - x^{(inc)}) + \frac{γ}{2} x^{T} x

$\mathcal{L} = -\frac{1}{2}x^{T}Wx + \theta^Tx - \lambda^T (Px - x^{\text{(inc)}}) + \frac{\gamma}{2}x^T x$

\frac{\partial L}{\partial x} = 0

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial x} = 0$

\frac{\partial L}{\partial λ} = 0

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda} = 0$

A v = w

$A \mathbf{v} = \mathbf{w}$

γ

$\gamma$

v

$\mathbf{v}$

P x = x^{(inc)}

$Px = x^{(\text{inc})}$

Kısacası, yeterince çok sayıda kubit ve dekondans süresine sahip kuantum bilgisayarlara sahip olduğumuzda, HHL algoritmasının herhangi bir kuantum makine öğrenme algoritması için en faydalı alt programlardan biri olacağına inanıyorum (neredeyse tüm makine öğrenimi ve sinir ağı algoritmalar bir çeşit "gradyan inişi" veya "optimizasyon" içerir).

— Sanchayan Dutta
kaynak

HHL algoritması için gelecekteki olası uygulamalar neler olabilir?

HHL algoritması

üzerindeki sınırlamalar :birAA

İle ilgili sınırlamalar :|b⟩|b⟩\vert b \rangle

|x⟩|x⟩\vert x \rangle

üzerindeki sınırlamalar : $A$

İle ilgili sınırlamalar : $\vert b \rangle$

$\vert x \rangle$