Kuantum hata düzeltme perspektifinden Clifford operasyonlarının önemi

QECC literatüründe, Clifford kapıları yüksek bir statüye sahiptir.

Bunu kanıtlayan aşağıdaki örnekleri düşünün:

• Dengeleyici kodlarını incelediğinizde, kodlanmış Clifford kapılarının nasıl gerçekleştirileceğini ayrı ayrı incelersiniz (bunlar enine uygulanamaz olsa bile). QECC'deki tüm tanıtım materyalleri, kuantum kodlarında kodlanmış Clifford işlemlerinin gerçekleştirilmesine vurgu yapmaktadır. Aksi takdirde, Clifford kapılarını vurgulayın (yani kuantum kodlarında kodlanmış Clifford kapılarını gerçekleştirmese bile).

• Sihirli durum damıtma * nın tüm konusu, belirli operasyonların (Clifford kapılarının performansı dahil) düşük maliyetli operasyonlar olarak sınıflandırılmasına, örneğin toffoli kapısının veya $\pi/8$-gate, yüksek maliyetli işlemler olarak.

Olası cevaplar:

1. Bu, literatürdeki bazı yerlerde, örneğin Gottesman'ın doktora tezi ve onun birçok makalesinde ve ayrıca https://arxiv.org/abs/quant-ph/0403025'te haklı çıkarılmıştır . Bu yerlerde verilen neden, bazı stabilizatör kodları üzerinde bazı Clifford kapılarının enine (prototipik Hataya dayanıklı çalışma) gerçekleştirilmesinin mümkün olmasıdır. Öte yandan, kuantum kodlarında Clifford olmayan kapıların çapraz bir uygulamasını bulmak kolay değildir. Bunu kendim doğrulamam, ancak Gottesman'ın doktora yaptığı açıklamalarla gidiyorum. tez ve inceleme makaleleri.

Kodlanmış bir kapıyı kuantum kod üzerinde enine şekilde gerçekleştirememek, söz konusu kapının kod üzerinde gerçekleştirilme maliyetini hemen arttırır. Ve böylece Clifford kapılarını gerçekleştirmek düşük maliyetli kategoriye girerken, Clifford olmayan kapılar yüksek maliyetli kategoriye giriyor.

2. Mühendislik açısından bakıldığında, kuantum hesaplama temel birimlerinin standartlaştırılmış bir listesine (devlet hazırlığı, kapılar, ölçüm-gözlemlenebilir / temel) vb. Karar vermek önemlidir. (en çok bilinen evrensel kuantum kapıları, içinde birçok Clifford kapısı, Gottesman-Knill teoremi **, vb. içerir).

Bunlar, Clifford grubunun QECC çalışmasında neden bu kadar yüksek bir statüye sahip olduğunu düşünebilmem için sadece iki neden (özellikle sabitleyici kodları okurken). Her iki sebep de mühendislik perspektifinden kaynaklanmaktadır.

Öyleyse soru, mühendislik perspektifinden kaynaklanmayan diğer nedenleri belirleyebilir mi? Kaçırdığım Clifford kapılarının oynadığı başka bir önemli rol var mı?

Olası başka bir neden: Clifford grubunun Üniter gruptaki Pauli grubunun normalleştirici olduğunu biliyorum ( $n$kübit sistemler). Ayrıca, yarı ürün yapısı (aslında yarı ürün grubunun projektif bir temsili) olması. Kendileri tarafından bu ilişkiler / özellikler başka bir neden veriyor mu neden kimse Sabitleyici kodları ile birlikte Clifford grubunu incelemek gerektiğini?

* Bunu düzeltmekten çekinmeyin. ** Belirli işlemlerle sınırlı olan, kuantum avantajını elde edemeyeceğinizi ve bu nedenle başlangıçta kendinizi kısıtladığınız işlem grubundan biraz daha fazlasına ihtiyacınız olduğunu belirtir.

Clifford operasyonları, enine veya kod deformasyonu ile stabilizatör kodlarında hataya dayanıklı olarak yapmak kolaydır. Nedeni tam olarak düşündüğünüz gibidir: bu kapılar ve Pauliler arasındaki özel ilişki, çünkü ikincisi sabitleyici kodlarını tanımlamak için kullanılır.

Clifford dışı kapıları kodlarla almak mümkündür, ancak bir fiyat ödenmelidir. Özellikle, kodların geometrik yerleşimi ile enine şekilde yapabilecekleri kapılar arasında bir ilişki vardır. Bu nedenle, 2D bir kafes üzerinde (yüzey veya Renk kodu gibi) yalnızca en yakın komşu kontrollü kapılar yapmanıza izin verilirse, sadece Cliffords mümkün olacaktır. Bununla ilgili daha fazla bilgi için buna benzer makalelere bakın.

Daha sonra hataya dayanıklı Clifford'ları sabitleyici kodlarından bekleyebileceğimiz gerçeği daha sonra evrensel geçit setlerini sentezlemek için tekniklerin merkezine konuldu. Bu nedenle, hataya dayanıklı olmayan bir şekilde sabitleyici kodlanmamış bir durum oluşturmanın bir yolu varsa, mantıksal Clifford'larımızı kullanarak nasıl temizleneceğini biliyoruz. Bu durumları rotasyona dönüştürmek için mantıksal Clifford'larımızı kullanıyoruz. Bu nedenle, bir kodunuz varsa ve tüm bu kullanıma hazır sonuçları uygulamak istiyorsanız, hataya dayanıklı Cliffords'unuzu bulmanız daha iyi olur. Veya en azından Paulis, H ve bir CZ veya CNOT hepsini yönetemezseniz.