Hamilton evrimini simüle et

12

Bir kuantum bilgisayarında Pauli matrislerinin tensör ürünü olarak yazılan terimlerle Hamiltonluların etkileşimi altında kübitlerin evrimini simüle etmeyi anlamaya çalışıyorum. Ben bir Hamiltonian form için bu yazı açıklanan Nielsen ve Chuang'ın kitabında aşağıdaki hile buldum

H = Z_{1} \otimes Z_{2} \otimes . . . \otimes Z_{n}

$H = Z_1 \otimes Z_2 \otimes ... \otimes Z_n$ .

Ancak $X$ veya $Y$ Pauli matrislerini içeren bir Hamiltonyen için simülasyonun nasıl çalışacağı ayrıntılı olarak açıklanmamıştır . Ben göz önünde Z'nin içine bu Pauli transform olduğunu anlamak $HZH = X$ burada $H$ Hadamard kapısı ve $S^{\dagger}HZHS =Y$ $S$ fazı $i$ kapısı. Bunu tam olarak nasıl kullanmalıyım örneğin

H = X \otimes Y

$H= X \otimes Y$

Ya şimdi Hamiltoniyen Pauli matrisleri ile toplam terimleri içeriyorsa? Örneğin

H = X_{1} \otimes Y_{2} + Z_{2} \otimes Y_{3}

$H = X_1 \otimes Y_2 + Z_2 \otimes Y_3$

hamiltonian-simulation nielsen-and-chuang pauli-gates

— Pam
kaynak

4

Diyelim ki

H = σ_{1} \otimes σ_{2} \otimes σ_{2} \otimes \dots \otimes σ_{n}

$H=\sigma_1\otimes\sigma_2\otimes\sigma_2\otimes\ldots\otimes\sigma_n$ Zaman evrimini uygulamanızı sağlayan basit bir devre yapısı var

e^{- i H t}

$e^{-iHt}$ . İşin püf noktası temel olarak

\pm 1

$\pm 1$ özdeğerinde bulunan bileşenlere evrimleştiğiniz durumu parçalamaktır . Ardından, faz uygulamak

için

eigenspace ve faz

H

$H$

e^{- i t}

$e^{-it}$

+ 1

$+1$

e^{- i t}

$e^{-it}$ için

- 1

$-1$ eigenspace. Aşağıdaki devre bu işi yapar (ve sonunda ayrışmayı hesaplar).

Ortadaki faz geçidi elemanının üniter olduğunu varsayıyorum

(\begin{array}{cc} e^{i t} & 0 \\ 0 & e^{- i t} \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} e^{it} & 0 \\ 0 & e^{-it} \end{array}\right).$

$H=H_1+H_2$ $H_1$ $H_2$

e^{- i H t} \approx {(e^{- i H_{1} t / M} e^{- i H_{2} t / M})}^{M}

$e^{-iHt}\approx \left(e^{-iH_1t/M}e^{-iH_2t/M}\right)^M$

M

$M$

e^{- i H_{1} t / M}

$e^{-iH_1t/M}$

H = X \otimes Y \otimes I + Z \otimes I \otimes Y

$H=X\otimes Y\otimes\mathbb{I}+Z\otimes\mathbb{I}\otimes Y$

U = \frac{Z + Y}{\sqrt{2}}

$U=\frac{Z+Y}{\sqrt{2}}$

Y

$Y$

Z

$Z$

X

$X$

(X + Z)

$(X+Z)$

(X - Z)

$(X-Z)$

(Z - X)

$(Z-X)$

- (X + Z)

$-(X+Z)$

(- 1)^{x_{2}} (X + (- 1)^{x_{3}} Z)

$(-1)^{x_2}(X+(-1)^{x_3}Z)$

x_{2} x_{3}

$x_2x_3$

X + Z = \sqrt{2} H

$X+Z=\sqrt{2}H$

X \sqrt{2} H X = X - Z

$X\sqrt{2}HX=X-Z$

X

$X$

X

$X$

Genel olarak, simülasyonun karmaşık görünebileceğine inanıyorum , ancak devam ederken hataları biriktiren küçük zaman adımlarına ayrılma yok. Çok sık uygulanmaz, ancak bu tür olasılıkların farkında olmaya değer.

— DaftWullie
kaynak

Bir nokta ile kare kök faktörü ne anlama geliyor - bir kapı?

— Enrique Segura

@EnriqueSegura tam olarak sorduğunuz diğeriyle aynı: etiketli dönüş açısına sahip bir faz kapısı.

— DaftWullie

1

$H$ $H=UDU^\dagger$ $e^{it H} = U e^{it D} U^\dagger$

$H = \sigma_1\otimes\cdots\otimes \sigma_n$ $\sigma_i \neq I$ $i$ $H$

H = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) Z \otimes \cdot \otimes Z (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$H = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) Z\otimes\cdot\otimes Z (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

Sonuç olarak:

e^{i t H} = (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'}) e^{i t Z \otimes \cdot \otimes Z} (σ_{1}^{'} \otimes \dots \otimes σ_{n}^{'})

$e^{it H} = (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n) e^{it Z\otimes\cdot\otimes Z} (\sigma'_1\otimes\cdots\otimes \sigma'_n)$

$e^{it Z\otimes Z}$

Hamiltonian, Pauli ürünlerinin bir toplamıysa, genel bir basit çözüm yoktur, ancak yukarıdaki soruna azaltmak için çok sayıda terime kesilmiş Lie ürün formülünü kullanabilirsiniz .

— John
kaynak

0

$e^{-\Delta t H}$

— George
kaynak