NP'yi bir kehanete göre BQP'den ayırma

Yazarın arasında bir kehanet ayrımı verdiği bu ders notuna bakıyordum$\mathsf{BQP}$ ve $\mathsf{NP}$. "Standart köşegenleştirme tekniklerinin bunu titiz hale getirmek için nasıl kullanılabileceğini" ima ediyor.

Birisi kullanılması gereken bir köşegenleştirme tekniğini detaylandırabilir mi? Klasik karmaşıklık sınıflarının dışında bir şey koymak için kullanılanlar ile dışarıda bir şey koymak için kullanılanlar arasında sezgisel olarak önemli farklılıklar olmalıdır.$\mathsf{BQP}$. Özellikle, Grover'ın algoritmasının optimal olduğu göz önüne alındığında, bir kehanet oluşturabilmemiz için bir köşegenleştirme tekniği arıyorum$A$ hangisi için $\mathsf{NP}^{A} \not\subseteq \mathsf{BQP}^{A}$.

Bana öyle geliyor ki, kullanılabilecek köşegenleştirme argümanları standart olandan biraz farklıdır, örneğin Baker-Gill-Solovay Teoremi hakkındaki  bu ders notlarında ( örneğin , oracles var)$A$ hangisi için $\mathsf P^A = \mathsf{NP}^A$ ve ayrıca oracles $A$ hangisi için $\mathsf P^A \ne \mathsf{NP}^A$). Temel olarak, düşmanca bir girdinin nasıl farklı bir şekilde "mühendisleştirileceğini" açıklamanız gerekir.

İşte bu yaklaşımı bir kehanetin varlığını kanıtlamak için nasıl kullanabiliriz? $A$ hangisi için $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$. Herhangi bir kehanet için$A$, bir dil tanımla

$$L_A = \Bigl\{ 1^n \;\Big\vert\; \exists z \in \{0,1\}^n : A(z,0) = (z,1)\Bigr\} .$$ Açıktır ki $L_A \in \mathsf{NP}^A$ Belirsiz bir Turing makinesinin girdinin formda olup olmadığını incelemesi basit bir nedenden ötürü $1^n$ bazı $n$ve sonra bir dize tahmin et $z \in \{0,1\}^n$ hangisi için $A(z,0) = (z,1)$ böyle olursa $z$bulunmaktadır. Amaç bunu göstermek$L_A$ Tekdüze bir üniter devre ailesi tarafından sınırlı hata ile polinom zamanda karar verilemez. $O(2^{n/2})$ arama probleminin alt sınırı.

1. İzin Vermek $c,N > 0$ oracles üzerinde arama sorunu ile $n$bit girişleri en az gerektirir $c 2^{n/2}$ herkes için doğru karar vermek için kehanet sorguları (olasılıkla en az 2/3) $n > N$.
   
   

2. İzin Vermek $\mathbf C^{(1)}\!$, $\mathbf C^{(2)}\!$, $\ldots$ tüm üniter kehanet devre ailelerinin numaralandırılması $\mathbf C^{(k)} \!= \{ C^{(k)}_n \}_{n \geqslant 0 }$, devrenin kapı dizisi $C^{(k)}_n\!$ üzerinde hareket etmek $n$bit girişleri kesinlikle daha az zamanda üretilebilir $c 2^{n/2}$. (Bu zaman sınırı, devrelerle ilgileneceğimiz 'tekdüzelik' durumu ile ilgilidir, polinom zamanında deterministik bir Turing makinesi tarafından hesaplanabilir - burada empoze ettiğimizden daha güçlü bir durum. Örneğin, deterministik Turing makineleri tarafından dolaylı olarak temsil edilerek$\mathbf T^{(k)}$bunların kapı dizileri üretir ve numaralandırma olan bu .) her bir devre aile numaralandırma sonsuz sık sık meydana gelmektedir böylece devre aileleri numaralandırmak.

   • Kapı dizisinin açıklamasındaki çalışma zamanı sınırlarından, özellikle aşağıdakileri izler: $C^{(k)}_n$ daha az $c 2^{n/2}$ herkes için kapılar $k$ve özellikle $c 2^{n/2}$ kâhin sorguları.

   • Herhangi $n$, devreyi düşünün $C^{(n)}_n\!$. Arama probleminin alt sınırından şunu biliyoruz ki$n > N$ kehanet fonksiyonunun olası değerleri vardır $f: \{0,1\}^n \to \{0,1\}$ kehanet tarafından değerlendirilir, böylece 2/3 olasılıkla, çıktı $C^{(n)}_n\!$ girişte $1^n$ olup olmadığına dair doğru cevap değil $\exists z \!\in\! \{0,1\}^n\!:\! f(z) \!=\! 1$.

   • Her biri için $n > N$, böyle bir işlev seçin $f_n$ hangisi için $C^{(n)}_n$ bu şekilde "başarısız" olur.
     
     

3. İzin Vermek $A$ boyut girdilerinde bir kehanet olun $n > N$, değerlendirir $f_{\!\!\:n\!\:}$.

Yapılmış $A$ bu şekilde, her devre ailesi $\mathbf C^{(n)}$ doğru karar veremedi $L_A$ bazıları için en az 2/3 olasılıkla $n > N$ (ve sonsuz sayıda $n$aslında). O zaman hiçbir devre ailesi yok$\mathbf C^{(k)}$ doğru karar ver $L_A$ Başarı olasılığı tüm girdilerde 2/3 ile sınırlıdır, böylece $L_A$ zaman içinde inşa edilebilen tek tip üniter devre ailesi tarafından bu sınırlarla çözülemez $p(n)$.

Böylece, $L_A \notin \mathsf{BQP}^A$, bundan sonra $\mathsf{NP}^A \not\subseteq \mathsf{BQP}^A$.