EKF'de kovaryans matrisi?

16

Kovaryans matrisi kavramıyla mücadele ediyorum. Şimdi, , ve anlayışım belirsizliği tanımlar. Örneğin,

Σ = [\begin{matrix} σ_{x x} & σ_{x y} & σ_{x θ} \\ σ_{y x} & σ_{y y} & σ_{y θ} \\ σ_{θ x} & σ_{θ y} & σ_{θ θ} \end{matrix}]

$\Sigma = \begin{bmatrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{x \theta} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{y \theta} \\ \sigma_{\theta x} & \sigma_{\theta y} & \sigma_{\theta \theta} \\ \end{bmatrix}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

σ_{y y}

$\sigma_{yy}$

σ_{θ θ}

$\sigma_{\theta \theta}$

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$ , x değerinin belirsizliğini açıklar. Şimdi, diğer sigmalarla ilgili sorum, neyi temsil ediyor? Sıfırlarsa bu ne anlama geliyor? Eğer

sıfırsa, x'in değeri hakkında belirsizliğim olmadığı anlamına gelir.

σ_{x x}

$\sigma_{xx}$

Not, Howie Choset ve ark. Tarafından Robot Hareket - Teorisi, Algoritmalar ve Uygulama Prensiplerini okuyorum. al., ki bu

Bu tanım ile , varyansı aynıdır . İçin , eğer , o zaman ve birbirinden bağımsızdır. $\sigma_{ii}$ $\sigma_{i}^{2}$ $X_{i}$ $i ≠ j$ $\sigma_{ij} = 0$ $X_{i}$ $X_{j}$

Sigma'nın geri kalanı sıfırsa bu sorumu yanıtlayabilir, ancak yine de bu değişkenler arasındaki ilişki hakkında kafam karıştı, örneğin ve . Bu ne zaman olur? Yani aralarındaki korelasyon. Veya başka bir deyişle, bunların sıfır olduğunu varsayabilir miyim? $x$ $y$

Başka bir kitap FastSLAM: Ölçeklenebilir Bir Yöntem ... Michael ve Sebastian tarafından

Bu çok değişkenli Gauss'un kovaryans matrisinin köşegen olmayan elemanları, durum değişkenleri çiftleri arasındaki korelasyonları kodlar.

Korelasyonun ne zaman olabileceğinden ve bunun ne anlama geldiğinden bahsetmiyorlar.

kalman-filter noise

— CROCO
kaynak

5

İşte diyagonal olmayan elemanların sıfır olmadığı bir oyuncak çantası.

Robot için tek bir konum yerine hem sol hem de sağ tekerlerin konumunu içeren bir durum vektörü düşünün. Şimdi sol tekerleğin 100m konumu varsa, sağ tekerleğin de yaklaşık 100m'lik bir konuma sahip olacağını biliyorsunuz (aks uzunluğuna bağlı olarak). Sol tekerlek konumu artırdıkça, genel olarak sağ tekerlek de artacaktır. Tam bir 1: 1 korelasyonu değildir, örneğin robot dönerken tam olarak tutmaz, ancak genel olarak tutar.

Yani burada sol tekerlek x-konumu ve sağ tekerlek x-konumu arasındaki çapraz diyagonal giriş 1'e yakın olacaktır.

— ryan0270
kaynak

Tamam, eğer modelim düzlemsel bir ortamda (ei 2D) hareket eden bir nokta olarak temsil edilirse, diyagonal elemanlar arasında böyle bir korelasyon olmadığı için diyagonal elemanlar sıfırdır. Bu varsayım doğru mu? Ve bu noktanın iki koordinatı (ei

) olan bir dönüm noktası tespit etmesi durumunda , korelasyon sıfırlarını da varsayabilir miyim?

x, y

$x, y$

— CroCo

İlk sorunuzda, evet diyagonal olmayan öğeleri sıfır bırakabilirsiniz. İkincisi, bu nasıl idare ettiğinize bağlı. Mevcut konumu tahmin etmek için yer işaretini kullanırsanız, korelasyon yoktur. Eğer durum vektörüne (SLAM'de yaygın olduğu gibi) yer işareti konumlarını eklerseniz, aralarında korelasyonlar geliştirmeye başlarlar.

— ryan0270

4

Kovaryans matrisi hakkında bir his elde etmek için - burada matematik detaylarına girmeden - 2x2 matrisiyle başlamak en iyisidir. Daha sonra, kovaryans matrisinin, varyans kavramının çok değişkenli kasaya bir uzantısı olduğunu unutmayın. 1D durumunda, varyans tek bir rastgele değişken için bir istatistiktir. Rastgele değişkeninizin sıfır ortalaması olan bir Gauss dağılımı varsa, varyansı olasılık yoğunluk fonksiyonunu tam olarak tanımlayabilir.

$\sigma_{xx}$ $\sigma_{yy}$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

$x$ $y$ $x$ $y$ $\sigma_{xy}$

$x$ $y$ $x$ $y$

$\theta$

$1 \sigma$

Bu, 3D durumda da geçerlidir. Burada daha matematiksel olmayı çok isterdim, ama belki bir süre sonra.

— Jakob
kaynak

Σ

$\Sigma$

x

$x$

y

$y$

1

@CroCo İstediğiniz örneğin cevabın dördüncü paragrafında açıklandığını düşünüyorum.

— Demetris