PID kontrolünde, kutuplar ve sıfırlar neyi temsil eder?

11

Ne zaman kontrol hakkında bir metin okuduğumda (örneğin PID kontrolü) sıklıkla 'kutuplardan' ve 'sıfırlardan' bahseder. Bununla ne demek istiyorlar? Bir kutup veya sıfır hangi fiziksel durumu tanımlar?

control pid

— Rocketmagnet
kaynak

Ah, bu şeyleri kontrol altında öğrendiğimizi hatırlıyorum, ama onları unuttum. Bazı fonksiyonların nerede 0 veya sonsuzluğa (sıfırlar ve kutuplar) ulaştığı ve s-uzayında sıfırlardan kutuplara başlayan bazı eğrilerin olduğu (laplas dönüşümünden sonra mı?) Veya bunun gibi bir şey olduğuna dair bir şey. Şemaların güzel göründüğünü hatırlıyorum, ama başka bir şey hatırlamıyorum!

— Shahbaz

8

İşlev bir sisteme olanlar giriş sisteminin çıkış eşleyen açıklamaktadır bir transfer fonksiyonu olarak adlandırılır. $T(\mathbf{x})$

Doğrusal sistemler için aktarım işlevi olarak yazılabilir; burada ve polinomlardır, yani $N(\mathbf{x})/D(\mathbf{x})$ $N$ $D$

T (x) = \frac{N (x)}{D (x)}

$T(\mathbf{x}) = {N(\mathbf{x})\over D(\mathbf{x})}$

Sistemin sıfırları, ifadesini karşılayan değerleridir . Başka bir deyişle, polinom kökleridir . Olarak . sıfıra yaklaştığında, transfer fonksiyonunun (ve dolayısıyla transfer fonksiyonunun kendisinin) payı 0 değerine yaklaşır. $x$ $N(\mathbf{x}) = 0$ $N(\mathbf{x})$ $N(\mathbf{x})$

Benzer şekilde sistemin kutupları, ifadesini karşılayan değerleridir . Başka bir deyişle, bunlar polinom kökleridir . Tüm bir kutup yaklaşımlar, transfer fonksiyonunun payda sıfıra yaklaştıkça ve transfer fonksiyonunun değeri olarak sonsuza yaklaşan. $x$ $D(\mathbf{x}) = 0$ $D(\mathbf{x})$ $D(\mathbf{x})$

Kutuplar ve sıfırlar, bir sistemin çeşitli girdilere nasıl tepki vereceğini anlamamızı sağlar. Sıfırlar, frekansları engelleme yetenekleri nedeniyle ilginçtir, kutuplar bize sistemin kararlılığı hakkında bilgi verir. Genel olarak, kutupları ve sıfırları karmaşık düzlemde çizeriz ve kutupların karmaşık düzlemin sol yarısında (LHP - Sol Yarım Düzlem) yer alması durumunda bir sistemin sınırlı giriş sınırlamalı çıkış (BIBO) kararlı olduğunu söyleriz .

Son olarak, bir kontrolör tasarladığımızda, spesifik tasarım parametrelerine ulaşmak için kutuplarını ve sıfırlarını manipüle ediyoruz.

— DaemonMaker
kaynak

1

Teşekkürler, ama daha akıllı hissetmiyorum. Kontrol bağlamında sıfırların ve kutupların ne anlama geldiğini açıklayabilir misiniz ?

— Rocketmagnet

İsteğiniz başına biraz daha ekledim. Umarım bu yardımcı olur.

— DaemonMaker

2

Bence burada sorun @Rocketmagnet bu oldukça geniş bir konu olmasıdır. Muhtemelen sorunuzu cevaplayan bir kitabın tamamını hayal edebiliyorsanız, çok fazla şey soruyorsunuz .

— Mark Booth

Meslekten olmayan kişiler için, giriş ve çıkışların burada Laplace alanında olduğunu da netleştirmeniz gerekir . Mark Booth'un belirttiği gibi, kutupların ve sıfırların kontrol altında olmalarının nedeni karmaşık kontur entegrasyonundan ve diferansiyel denklemlerin Laplace alanındaki cebirsel denklemlere dönüştürülebilmesinden kaynaklanmaktadır. Polonyalılar hem bir sistemin zaman içinde ne kadar salınım gösterdiğini (dalgalanma), hem de zaman içinde katlanarak nasıl bozulduğunu veya büyüdüğünü karakterize edebilir. Bununla birlikte, genel olarak, sezgi öğrenilmelidir ve hızlı ve hızlı bir fiziksel açıklama yoktur ...

— daaxix

5

Bu polinom transfer fonksiyonları, robotunuzu gerçekten tanımlayan veya robotun dinamiklerini istenen bir durumda doğrusallaştırmanın bir sonucu olan bazı doğrusal diferansiyel denklem üzerinde Laplace dönüşümü gerçekleştirdiğinizde ortaya çıkar . Bunu bu durumun etrafında bir "Taylor açılımı" gibi düşünün.

Laplace dönüşümü Fourier dönüşümünün periyodik olmayan fonksiyonlara genelleştirilmesidir. Elektrik mühendisliğinde Laplace dönüşümü, sistemin frekans alanında temsili olarak yorumlanır , yani sistemin giriş sinyallerinden herhangi bir frekansı nasıl ilettiğini açıklar. Sıfırlar daha sonra iletilmeyen frekansları tanımlar. DaemonMaker tarafından daha önce de belirtildiği gibi, kutuplar sistemin kararlılığı göz önüne alındığında önemlidir: Sistemin transfer fonksiyonu kutupların yakınındaki sonsuzluğa gider.

Bir kontrol bağlamında ne anlama geliyorlar:

Polonyalılar : Bir sistemin (kontrol yasasıyla bir geri bildirim döngüsü eklediğiniz yeni bir sistem de olabilir) kararlı olup olmadığını söylerler. Genellikle bir sistemin kararlı olmasını istersiniz. Böylece, sistemin tüm kutuplarının sol yarım düzlemde olmasını istersiniz (yani kutupların gerçek kısımları sıfırdan küçük olmalıdır). Kutuplar, sistem matrisinizin özdeğerleridir . Sol yarım düzlemde ne kadar uzak olduklarını size sistemin dinlenme durumuna ne kadar hızlı yaklaştığını söyler. Hayali eksenden ne kadar uzaklaşırlarsa, sistem o kadar hızlı birleşir.

Sıfırlar : Sağ yarım düzlemde veya hala sol yarım düzlemde bir direğe sahipseniz, ancak hayali eksene çok yakınsanız kullanışlı olabilirler: Sisteminizin akıllıca değiştirilmesiyle, sıfırları istenmeyen kutuplarınıza yok edebilirsiniz. onları .

— Daniel Eberts
kaynak

Bunu göstermek için bazı resimler ekleyebilir misiniz?

— Ian

Uzun saçmaladığım için üzgünüm. Şu anda yapmak zorunda olduğum birçok çalışma işi ile ilgili. Hâlâ istenirse, vaktim olur olmaz bir tane ekleyebilirim.

— Daniel Eberts

2

Söylenenlerin aksine, kontrol edilecek bitkinin kutbu RHP'de olduğunda asla kutup / sıfır iptali yapılmaz. Bunun nedeni, direk ile yok etmek için eklenen sıfır arasında çok küçük bir farkın bile artacağı ve sistem yanıtını farklılaştıracağıdır. Unutmayın: asla asla !

— Ugo Pattacini

0

Transfer fonksiyonunun sıfırları için gerçekten konuşamam, ancak transfer fonksiyonunun kutuplarının kesinlikle anlamlı bir yorumu var.

Bu yorumu anlamak için kontrol etmek istediğimiz sistemin gerçekten iki şeyden biri olduğunu hatırlamak zorundasınız: ya diferansiyel denklem ya da fark denklemi. Her iki durumda da, bu denklemlerin çözümü için ortak yaklaşım özdeğerlerini belirlemektir. Daha da önemlisi, sistem doğrusal olduğunda, diferansiyel / fark denkleminin özdeğerleri tam olarak transfer fonksiyonunun kutuplarına karşılık gelir. Böylece, kutupları elde ederek, orijinal denklemin özdeğerlerini gerçekten elde edersiniz. Sistemin kararlılığını gerçekten belirleyen, orijinal denklemin özdeğerleridir (bence); doğrusal bir sistemin kutuplarının tam olarak orijinal denklemin öz değerleri olması şaşırtıcı bir tesadüf.

Bunu göstermek için iki vakayı ayrı ayrı düşünün:

Durum 1: Diferansiyel Denklem

$x(t)=Ce^{\lambda t}$ $\lambda$ $x(t)\rightarrow 0$ $t\rightarrow \infty$ $Re(\lambda)<0$ $Re(\lambda)\ge 0$ $e^{\lambda t}$

Durum 2: Fark Denklemi

$x_t=C\lambda^t$ $\lambda$ $x_t\rightarrow 0$ $t\rightarrow\infty$ $|\lambda|<1$ $|\lambda|\ge 1$ $\lambda^t$

Her iki durumda da, sistem fonksiyonunun kutupları ve (homojen) diferansiyel / fark denkleminin özdeğerleri tamamen aynı şeydir! Bence, kutupları özdeğer olarak yorumlamak benim için daha mantıklı çünkü özdeğerler kararlılık durumunu daha doğal bir şekilde açıklıyor.

— Paul
kaynak