Çakışan efektlere sahip çoklu kontrol döngüleri

Çıktı istenen ayar noktasına ne kadar iyi ulaştığı için tek bir çıkış ve tek bir hata sinyali olduğunda kapalı döngü kontrolü gerçekleştirmek için PID kullanarak aşinayım.

Bununla birlikte, her biri bir çıkış ve bir hata sinyaline sahip birden fazla kontrol döngüsü olduğunu, ancak döngülerin tamamen bağımsız olmadığını varsayalım. Özellikle, bir döngü aktüatör sinyalini arttırdığında, bu, sistemdeki diğer döngülerden çıkışın etkisini değiştirir.

Somut bir örnek için, paralel olarak altı ayarlanabilir rezistör sistemi boyunca bir voltaj uygulayarak, bir dirençle seri olarak bir voltaj kaynağı düşünün. Akımı her direnç üzerinden ölçebiliriz ve direnci ayarlayarak her direncin akımını bağımsız olarak kontrol etmek istiyoruz. Tabii ki, buradaki hile, bir direncin direncini ayarladığınızda, paralel setin genel direncini değiştirir, yani voltaj kaynağının direncine sahip bölücü nedeniyle voltaj düşüşünü değiştirir ve böylece diğer dirençler üzerinden akımı değiştirir. .

Şimdi, açıkça bu sistem için ideal bir modelimiz var, bu yüzden bir dizi doğrusal denklem çözerek aynı anda tüm dirençler için hangi direnci kullanmamız gerektiğini tahmin edebiliriz. Ancak, kapalı döngü kontrolünün tüm amacı, ideal modelimizden sapan sistemdeki çeşitli bilinmeyen hataları / sapmaları düzeltmek istiyoruz. Öyleyse soru: bu tür bir çapraz bağlantıya sahip bir modeliniz olduğunda kapalı döngü kontrolünü uygulamanın iyi bir yolu nedir?

control pid

— Dan Bryant
kaynak

Tipik olarak, bir ile m ultiple i Temel giriş, m ultiple O ıkış (MIMO) bir sistem, bir kontrol mühendisi kullanan durum geri besleme kontrolörü . Bu kontrolör tarzı , sistemin bir durum-uzay modelini kullanır ve genellikle şu şekildedir:

\dot{x} = A x + B u y = C x + D u

$\dot{x}=\mbox{A}x+\mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

burada bir durum vektörü, bir girişler vektörü, bir çıkışlar vektörüdür ve durumların zaman türevi, , durumların kombinasyonlarıyla belirlendiği şekilde durumların zaman içinde nasıl geliştiğini gösterir. ve girişler . Çıkışlar ayrıca durumlar ve girişler arasındaki etkileşim ile belirlenir, ancak çıkışlar herhangi bir kombinasyon olabilir, bu nedenle çıkış durumu ve giriş matrisleri farklıdır - ve . $x$ $u$ $y$ $\dot{x}$ $\mbox{A}$ $\mbox{B}$ $\mbox{C}$ $\mbox{D}$

Durum geri bildirim denetimleriyle ilgili çok fazla ayrıntıya girmeyeceğim, ancak genel olarak matrisler "harita" ya da belirli bir durumu veya girişi başka bir durumla veya girdiyle ilişkilendiriyorum. Örneğin, alakasız diferansiyel denklemler sistemini modellemek isterseniz, şöyle bir şey elde edersiniz: $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}]

{\dot{x}}_{1} = k_{1} x_{1} {\dot{x}}_{2} = k_{2} x_{2} {\dot{x}}_{3} = k_{3} x_{3}

$\dot{x}_1 = k_1 x_1 \\ \dot{x}_2 = k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 = k_3 x_3 \\$

Eğer giriş eklemek istiyorsa için denkleme ve girdi için , o zaman bir ekleyebilir terim: $u_1$ $\dot{x}_1$ $u_2$ $\dot{x}_3$ $\mbox{B}u$

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ 0 & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ 0 & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

Bunu korumak istiyorsanız, ancak durumunun değişikliğine nasıl katkıda bulunduğunu düşünüyorsanız, bu etkileşimi ekleyebilirsiniz: $x_1$ $x_2$

\dot{x} = [\begin{array}{ccc} {\dot{x}}_{1} \\ {\dot{x}}_{2} \\ {\dot{x}}_{3} \end{array}] = [\begin{array}{ccc} k_{1} & 0 & 0 \\ k_{x_{1} \to x_{2}} & k_{2} & 0 \\ 0 & 0 & k_{3} \end{array}] [\begin{array}{ccc} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{array}] + [\begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}] [\begin{array}{ccc} u_{1} \\ u_{2} \end{array}]

$\dot{x} = \left[ \begin{array}{ccc} \dot{x}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{x}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array}{ccc} k_1 & 0 & 0 \\ \boxed{ k_{x_1 \rightarrow x_2} } & k_2 & 0 \\ 0 & 0 & k_3 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right] + \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ccc} u_1 \\ u_2 \end{array} \right]$

Bunları şimdi yazdığınızda şunları elde edersiniz:

\begin{matrix} {\dot{x}}_{1} & = & k_{1} x_{1} + u_{1} \\ {\dot{x}}_{2} & = & k_{x_{1} \to x_{2}} x_{1} + k_{2} x_{2} \\ {\dot{x}}_{3} & = & k_{3} x_{3} + u_{2} \end{matrix}

$\begin{array} \\ \dot{x}_1 & = & k_1 x_1 + u_1 \\ \dot{x}_2 & = & k_{x_1 \rightarrow x_2}x_1 + k_2 x_2 \\ \dot{x}_3 & = & k_3 x_3 + u_2 \end{array}$

Sisteminizin gerektirdiği şekilde karmaşıklık oluşturmaya devam edebilirsiniz. Eğer bir modele sahip kez devlet geribildirim kontrolleri için, sistem olduğundan emin olmak gerekir lineer sistem açı fonksiyonları veya kendisini veya başka bir devlet çarparak bir devlet var ve emin olduğunu yapmaz ki, zamanla değişmez , matrislerinin zamanla değişmemesi - (t) işlevinin olmaması. matrisinizi bir sonraki adım için gerekli LTI formuna almanıza yardımcı olmak için küçük bir açı yaklaşımı gibi bazı basitleştirmeler yapabilirsiniz . $\mbox{A} \rightarrow \mbox{D}$ $\mbox{A}$

Şimdi tüm sistemi ilk önce gösterilen düzenli iki denklemin içine "maskeleyebilirsiniz" ve tüm matrisini sadece 'A' harfiyle gizleyebilirsiniz . Laplace dönüşümü ile kontrolsüz (el-dalga) değerlendirebilirsiniz , sistemin açık döngü dinamikleri. Bunu , terimin sistem yanıtını gösteren sistemin kutuplarını bularak yaparsınız . $\mbox{A}$

Sistemi kontrol edilebilir olup olmadığını görmek için değerlendirebilirsiniz , yani tüm durumları benzersiz bir şekilde değiştirmek için girişlerinizi kullanabilirsiniz ve gözlemlenebilir olup olmadığını görmek için , yani değerlerin gerçekte ne olduğunu belirtebilirsiniz. devletler.

Sistem kontrol edilebilir , durumlar hakkında bilgi alabilir, ve bunları istediğiniz bir değere götürmek için durumlarla ilgili sahip olduğunuz bilgileri kullanarak sisteme besleyebilirsiniz. Netlik için sadece ilk iki denklemi kullanarak, kontrol sinyalini girişe eklediğinizde: $-\mbox{G}x$

\dot{x} = A x + B (u - G x) y = C x + D u

$\dot{x} = \mbox{A}x + \mbox{B}(u - \mbox{G}x) \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

hangi olur:

\dot{x} = A x - BG x + B u y = C x + D u

$\dot{x} = \mbox{A}x - \mbox{BG}x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

aşağıdaki gibi yeniden düzenlenebilir:

\dot{x} = [A - BG] x + B u y = C x + D u

$\dot{x} = [\mbox{A}-\mbox{BG}]x + \mbox{B}u \\ y = \mbox{C}x + \mbox{D}u \\$

Sistem yanıtından önce matrisi, şimdi tarafından yönlendirildi . Kutupları Laplace dönüşümü üzerinden tekrar değerlendirebilirsiniz, ancak şimdi denetleyiciyi ayarlamak için kutupları istediğiniz yere koyarak, istediğiniz zaman olmak üzere zaman yanıtını oluşturan bir kazanç matrisiniz var. $\mbox{A}$ $\mbox{A-BG}$ $\mbox{G}$

Gözlemciler , gerçek sistem çıkışı ile modelin öngörülen çıkışı ı karşılaştırmak için süreç devam eder . Burada, çıkışların durum diferansiyel denkleminde kullandığınız durumların bir kombinasyonu olması gerekmediğine dikkat etmek önemlidir - durumlarınızın bir akım olabileceği yerlerde çıktınız bir voltaj olabilir ( ) gerçek sisteminizde ölçülebilir bir sinyalle bir karşılaştırma yapabilirsiniz. $y$ $\hat{y}$ $R\times I$

Söylediğim gibi, modelleme sistemleri ve devlet geri besleme kontrolörleri tasarlama ile ilgili bir ton bilgi var, genel süreci özetledim, çünkü bunun sorunuzla aradığınız kapsam olduğuna inanıyorum.

— Chuck
kaynak

Teşekkürler, bu daha fazla araştırma için mükemmel bir temeldir.

— Dan Bryant

büyük cevap, tl; dr; bir SISO sistemini tanımlayan skaler değerler bir MIMO sistemi için matris haline gelir, "çapraz bağlanma" matrislerdeki köşegen dışı değerlerde görülebilir.

— Bükme Ünitesi 22