MATLAB ters eğik çizgi operatörü kare matrisler için

Birkaç kodumu "stok" MATLAB kodları ile karşılaştırıyordum. Sonuçlara şaşırdım.

Örnek bir kod koştum (Sparse Matrix)

n = 5000;
a = diag(rand(n,1));
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('Inv(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

Sonuçlar :

    For a\b
    Elapsed time is 0.052838 seconds.

    For LU
    Elapsed time is 7.441331 seconds.

    For Conj Grad
    Elapsed time is 3.819182 seconds.

    Inv(A)*B
    Elapsed time is 38.511110 seconds.

Yoğun Matris için:

n = 2000;
a = rand(n,n);
b = rand(n,1);
disp('For a\b');
tic;a\b;toc;
disp('For LU');
tic;LULU;toc;
disp('For Conj Grad');
tic;conjgrad(a,b,1e-8);toc;
disp('For INV(A)*B');
tic;inv(a)*b;toc;

Sonuçlar:

For a\b
Elapsed time is 0.575926 seconds.

For LU
Elapsed time is 0.654287 seconds.

For Conj Grad
Elapsed time is 9.875896 seconds.

Inv(A)*B
Elapsed time is 1.648074 seconds.

Kahretsin nasıl bu kadar muhteşem?

Matlab'da '\' komutu, A matrisinin yapısına bağlı olan ve A'nın özelliklerine ilişkin kontrolleri (küçük yükü) içeren bir algoritma çağırır.

1. A seyrek ve bantlı ise, bantlı bir çözücü kullanın.
2. A, bir üst ya da alt üçgen matris ise, geriye doğru bir ikame algoritması kullanın.
3. Eğer A simetrik ise ve gerçek pozitif köşegen unsurlara sahipse, bir Cholesky faktoringi deneyin. A seyrekse, doldurmayı en aza indirmek için önce yeniden sıralama uygulayın.
4. Yukarıdaki kriterlerden hiçbiri yerine getirilmezse, kısmi dönme ile Gauss eleme işlemini kullanarak genel bir üçgen faktörlendirme yapın.
5. A seyrekse, UMFPACK kütüphanesini kullanın.
6. A kare değilse, belirsiz sistemler için QR faktoringine dayalı algoritmalar kullanın.

Yükü azaltmak için Matlab'da linsolve komutunu kullanmak ve bu seçenekler arasından kendiniz için uygun bir çözücü seçmek mümkündür.

a\bÖzel matrisiniz için ne yaptığını görmek spparms('spumoni',1)istiyorsanız, etkilendiğiniz algoritmayı tam olarak ayarlayabilir ve anlayabilirsiniz. Örneğin:

spparms('spumoni',1);
A = delsq(numgrid('B',256));
b = rand(size(A,2),1);
mldivide(A,b);  % another way to write A\b

çıkacak

sp\: bandwidth = 254+1+254.
sp\: is A diagonal? no.
sp\: is band density (0.01) > bandden (0.50) to try banded solver? no.
sp\: is A triangular? no.
sp\: is A morally triangular? no.
sp\: is A a candidate for Cholesky (symmetric, real positive diagonal)? yes.
sp\: is CHOLMOD's symbolic Cholesky factorization (with automatic reordering) successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's numeric Cholesky factorization successful? yes.
sp\: is CHOLMOD's triangular solve successful? yes.

bu yüzden "\" nin bu durumda "CHOLMOD" ile bittiğini görebiliyorum.

Seyrek matrisler için, Matlab " \" işlemi için UMFPACK'i kullanır ; bu, örneğinizde, temelde değerleri atersine çevirir ve değerleri ile çarpar b. Bu örnek için, yine de b./diag(a)daha hızlı kullanmanız gerekir .

Yoğun sistemler için ters eğik çizgi operatörü biraz daha karmaşıktır. Verildiğinde ne kısa bir açıklaması yapılır burada . Bu açıklamaya göre, örneğin, Matlab a\bgeriye doğru ikameyi kullanarak çözecektir . Genel kare matrisler için bir LU ayrışımı kullanılır.

Genel bir kural olarak, eğer makul bir karmaşıklığa sahip seyrek bir matrisiniz varsa (yani, 5-nokta stencil olması gerekmez, ama aslında sıra başına sıfır sayısının olduğu Stokes denklemlerinin ayrıklaştırılması olabilir. 5'ten çok daha büyükse), o zaman UMFPACK gibi seyrek bir doğrudan çözücü tipik olarak, problem yaklaşık 100.000 bilinmeyenden daha büyük değilse, yinelemeli bir Krylov çözücüyü yener.

Başka bir deyişle, 2d takdirsizleştirmelerden kaynaklanan çoğu seyrek matris için doğrudan bir çözücü en hızlı alternatiftir. Yalnızca hızlıca 100.000 bilinmeyenin üzerine çıktığınız 3B sorunlar için, yinelemeli bir çözücü kullanmak zorunlu hale gelir.