Aralık aritmetiği (IA) hakkında çok temel bir fikrim var, ancak hem teorik hem de pratikte çok ilginç bir hesaplama bilimi dalı gibi görünüyor. Açık olan uygulamaların bilgisayar ve yanlış pozlanmış problemler olduğu doğrulanmıştır, ancak bu çok soyuttur. Burada uygulamalı hesaplamalarda yer alan birçok insan olduğundan, IA olmadan çözülmesi zor veya imkansız olan gerçek dünya sorunlarını merak ediyorum .
Yanıtlar:
Bu cevap kısmen JackPoulson'un (uzun olduğu için) yorumuna cevap veriyor ve kısmen soruyu cevaplıyor.
Aralık aritmetiği, hesaplanmış miktarlarda titiz sınırlar vermek için, yalnızca gerçek değerli bir fonksiyonun bir aralık üzerindeki aralık genişlemesinin, o fonksiyonun görüntüsünü aynı aralıkta kapsadığı anlamında, hesaplama amaçlı bir prosedürdür. Hiçbir şey hesaplanmadan, aralık aritmetiği, hesaplamadaki sayısal hatayı hangi faktörlerin etkilediğine dair herhangi bir fikir veremezken, Higham'ın kitabındaki ve diğerlerinin teoremleri, potansiyel olarak zayıf sınırlar pahasına sayısal hatayı etkileyen faktörler hakkında bilgi verir. Verilen aralık bağımlılığı problemi nedeniyle aralık aritmetiği kullanılarak elde edilen sınırlar da zayıf olabilir , ancak bazen çok daha güçlüdürler. Örneğin, COZY Infinity entegrasyon paketi kullanılarak elde edilen aralık sınırlarıDahlquist'in sonuçlarından sayısal entegrasyonda alacağınız hata sınırları türlerinden çok daha sıkıdır (ayrıntılar için bkz. Hairer, Wanner ve Nørsett ); bu sonuçlar (özellikle Bölüm I'de Teoremler 10.2 ve 10.6'ya atıfta bulunuyorum) hata kaynakları hakkında daha fazla bilgi verir, ancak sınırlar zayıftır, oysa COSY kullanan sınırlar sıkı olabilir. (Bağımlılık sorunlarını azaltmak için birkaç püf noktası kullanırlar.)
Aritmetik aralıkların ne yaptığını açıklarken "kanıt" kelimesini kullanmakta tereddüt ediyorum. Aralık aritmetiği içeren kanıtlar vardır, ancak sonuçların dışa yuvarlama ile aralık aritmetiği kullanılarak hesaplanması gerçekten bir fonksiyonun aralığını konservatif olarak bağlamak için bir defter tutma aracıdır. Aralıklı aritmetik hesaplamalar kanıt değildir; belirsizliği yaymanın bir yoludur.
Uygulamalar ilerledikçe, Stadtherr'in kimya mühendisliğindeki çalışmalarına ek olarak, parçacık ışını deneyleri için sınırları hesaplamak için aralık aritmetiği de kullanıldı (bkz. Makino ve Berz, COZY Infinity web sitesine bağlı) küresel optimizasyon ve kimya mühendisliği tasarım uygulamalarında (diğerleri arasında) Barton tarafından (bağlantı bir yayın listesine), uzay aracının tasarımı ve küresel optimizasyon (diğerlerinin yanı sıra) Neumaier tarafından (yine bağlantı bir yayın listesine) kullanılır ), küresel optimizasyon ve Kearfott (başka bir yayın listesi) tarafından doğrusal olmayan denklem çözücüler ve belirsizlik miktarının belirlenmesi için (çeşitli kaynaklar; Barton bunlardan biridir).
Son olarak, bir feragatname: Barton tez danışmanlarımdan biridir.
Aralık aritmetiği size matematiksel titizlikle bir kanıt verir.
Gerçek uygulamalara iyi örnekler Mark Stadtherr ve araştırma grubunun çalışmasıdır. Özellikle, faz dengesi ve kararlılık hesaplamaları aralık yöntemleri ile başarıyla çözülmüştür.
ALIAS'ın web sitesinde , fiziksel geçmişlerine atıfta bulunarak güzel bir kıyaslama koleksiyonu var .
Aralık aritmetiğinin ve genellemelerinin bir başka özelliği , bir fonksiyonun alanının uyarlamalı olarak araştırılmasına izin vermesidir . Böylece bilgisayar grafiklerinden örnekler almak için uyarlanabilir geometrik modelleme, işleme ve renderleme için kullanılabilir.
Aralık yöntemleri, Lorenz çekicisinde kaosun varlığı ve Kepler Konjonktürü gibi bazı sert matematiksel teorem kanıtlarına yer vermiştir. Bunlar ve diğer uygulamalar için http://www.cs.utep.edu/interval-comp/kearfottPopular.pdf adresine bakın .
Aralıklı aritmetik, geometrik algoritmalar için çok yararlıdır. Bu tür geometrik algoritmalar girdi olarak bir dizi geometrik nesneyi (örneğin bir nokta kümesi) alır ve noktalar arasındaki uzamsal ilişkilere dayanan bir kombinatoryal veri yapısı (örneğin bir üçgenleme) oluşturur. Bu algoritmalar, 'tahminler' adı verilen ve sabit sayıda geometrik nesne girdi olarak alan ve ayrı bir değer (genellikle 'yukarıda, hizalanmış, aşağıda') döndüren az sayıda işleve bağlıdır. Bu tür tahminler tipik olarak noktanın koordinatlarının belirleyicisinin işaretine karşılık gelir.
Standart kayan nokta sayılarını kullanmak yeterli değildir, çünkü determinantın işaretini doğru bir şekilde hesaplayamayabilir ve daha da kötüsü tutarsız sonuçları döndürür (yani, A'nın B'nin üzerinde olduğunu ve B'nin A'nın üzerinde olduğunu söyleyerek algoritmayı bir örgü yerine karışıklık!). Sistematik olarak çoklu hassasiyet (Gnu Multi-Precision kütüphanesinde ve MPFR'nin çoklu hassasiyetli kayan nokta numaralarına genişletilmesi gibi) kullanılması işe yarar, ancak önemli bir performans cezasına neden olur. Geometrik yüklem bir şeyin işareti olduğunda (çoğu durumda olduğu gibi), aralık aritmetiği kullanmak, kişinin daha hızlı bir hesaplama yapmasına izin verir ve daha sonra yalnızca aralıkta sıfır varsa, daha geniş çok hassasiyetli hesaplamayı başlatır.
Böyle bir yaklaşım birkaç büyük hesaplama geometrisi kodunda (örn. CGAL) kullanılır.