Dalgacıklar PDE'ye nasıl uygulanabilir?

Dalgacık yöntemlerinin PDE'ye nasıl uygulanabileceğini öğrenmek istiyorum, ancak ne yazık ki bu konu hakkında bilgi edinmek için iyi bir kaynak bilmiyorum.

Dalgacıklara birçok girişin enterpolasyon teorisine, örneğin tercihen birkaç dalgacın üst üste binmesiyle bir sinyalin birleştirilmesine odaklandığı görülmektedir. PDE'lere yapılan başvurular bazen bu konuya daha da derinlemesine girilmeden bahsedilmektedir. Bir WFT görmüş ancak bu konuda daha fazla bilgiye sahip olmayan kişiler için iyi özet makalelerle ilgileniyorum. Bunun yapılabileceğini düşünüyorsanız, iyi bir özet de ilgi çekici olacaktır.

Özellikle hangi tür soruların ortaya çıktığı hakkında bir izlenim edinmekle ilgileniyorum. Örneğin, sonlu elemanların tipik olarak Lipschitz sınırı olan sınırlı bir alanda bir PDE'ye uygulandığını biliyorum; aslında Galerkin teorisi Wavelets için çok farklı olmamalıdır) ve uygulamalarda matematiksel şeylerin mümkün olduğu bazı sezgilerim var. PDE için Wavelets'e böyle bir kuşbakışı bakış açısı benim için çok yararlı olacaktır.

Dalgacıklar hoş çok çözünürlüklü yaklaşım özelliklerine sahiptir, ancak PDE'lerin çözümü için özellikle popüler değildir. En sık atıfta bulunulan nedenler, sınır koşullarını uygulamada zorluk, huzursuz anizotropinin tedavisi, doğrusal olmayan terimlerin değerlendirilmesi ve verimliliktir.

Dalgacıklar ilk olarak tamamen uyarlanabilir yöntemler için güçlü yakınsama sonuçları elde etmiştir (bakınız Cohen, Dahmen ve DeVore 2001 ve 2002 ). Bununla birlikte, bu önemli teoriyi, ılımlı boyutlardaki geleneksel PDE problemleri için daha popüler olan uyarlanabilir sonlu eleman yöntemleri için benzer bir sonuç kanıtlayan Binev, Dahmen ve DeVore (2004) izledi . Dalgacık tabanları, stokastik PDE'ler Schwab ve Gittelson (2011) için seyrek tensör yöntemleri ve bu tartışma gibi daha yüksek boyutlu problemler için popülerdir .

Diferansiyel operatörleri, dalgacık bazlarında ifade edildiğinde ve Jacobi ile önceden koşullandırıldıklarında koşul sayısını sınırlandırmıştır (bu nedenle Krylov yöntemleri, çözünürlükten bağımsız olarak sabit sayıda yinelemede birleşmektedir). Bu Yserentant (1984), Bank, Dupont ve Yserentant (1988) ve diğerlerinin hiyerarşik çoklu-ızgara yöntemleri ile ilgilidir . Çarpımsal çoklu-ızgara yöntemlerinin, toplama yöntemlerine üstün yakınsama özelliklerine sahip olduğuna dikkat edin. Standart bir çoklu-ızgara V-döngüsü, normal sıralamayla dalgacık bazında standart simetrik Gauss-Seidel'e eşdeğerdir. Bunun, özellikle paralel olarak, uygulamanın en iyi yolu olmadığını unutmayın.

$\mathcal H$

Diferansiyel operatörlerinin dalgacık bazlarında değerlendirilmesi nispeten daha pahalıdır ve istenen koruma özelliklerinin belirlenmesi zor olabilir. Bazı yazarlar (örn. Vasilyev, Paolucci ve Sen 1995) kollokasyon yöntemlerine başvurur ve türevleri ve doğrusal olmayan terimleri değerlendirmek için sonlu fark şablonlarını kullanır. Dalgacık genişlemesi engellenirse (genellikle hesaplama verimliliği için iyidir), bu yöntemler blok-yapılandırılmış AMR'ye çok benzer hale gelir.

Beylkin ve Keizer'ı (1997) PDE'leri dalgacıklarla çözmeye pratik bir giriş olarak öneriyorum . ÇILGINLIK kodu bu yöntemlerin dayanmaktadır. Dalmış sınırlar için desteği vardır (bakınız Reuter, Hill ve Harrison 2011 ), ancak karmaşık geometride sınır katmanlarını temsil etmenin etkili bir yolu yoktur. Yazılım genellikle geometrinin endişe yaratmadığı kimya problemleri için kullanılır.

Dalgacıkların genel sayısal analizi için Cohen'in 2003 kitabını öneriyorum . Süreklilik çözümünün belirli bir hassasiyette değerlendirmek istediğinize kadar dalgacık tabanının gerektiği gibi değerlendirildiği bir analiz çerçevesi sunar.