Kübik özdeğer problemi için Jacobi-Davidson yönteminin uygulanması

Büyük bir kübik özdeğer problemim var:

({bir}_{0} + λ {bir}_{1} + λ^{2} {bir}_{2} + λ^{3} {bir}_{3}) x = 0.

$\left(\mathbf{A}_0 + \lambda\mathbf{A}_1 + \lambda^2\mathbf{A}_2 + \lambda^3\mathbf{A}_3\right)\mathbf{x} = 0.$

Bunu lineer bir özdeğer problemine dönüştürerek çözebilirdim ama bir sistemle sonuçlanırdı $3^2$ büyük gibi:

[\begin{matrix} - {bir}_{0} & 0 & 0 \\ 0 & ben & 0 \\ 0 & 0 & ben \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}] = λ [\begin{matrix} {bir}_{1} & {bir}_{2} & {bir}_{3} \\ ben & 0 & 0 \\ 0 & ben & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}],

$\begin{bmatrix} -\mathbf{A}_0 & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \\ 0 & 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix} = \lambda \begin{bmatrix} \mathbf{A}_1 & \mathbf{A}_2 & \mathbf{A}_3 \\ \mathbf{I} & 0 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ \mathbf{y} \\ \mathbf{z} \end{bmatrix},$

nerede $\mathbf{y} = \lambda\mathbf{x}$ ve $\mathbf{z} = \lambda\mathbf{y}$ . Kübik bir özdeğer problemini çözmek için başka hangi teknikler mevcuttur? Jacobi-Davidson'un bunu çözecek bir sürümü olduğunu duydum ama bir uygulama bulamadım.

Ayrıca, ARPACK'in shift-invert yöntemine benzer şekilde spesifik özdeğerleri hedefleyebilmem ve ilişkili özvektörleri bulabilmem gerekiyor.

c++ eigensystem eigenvalues

— OSE
kaynak

İlgili matrislerin boyutları nelerdir?

— Bill Barth

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ sipariş

10000 \times 10000

$10000\times 10000$ . Bu sorunun iki farklı formülasyonu var, bunlardan biri

A_{i}

$\mathbf{A}_i$ yoğun, diğerinde ise seyrek.

— OSE

SLEPc , kuadratik özdeğer problemleri ve doğrusal olmayan özdeğer problemleri için rutinlere sahiptir, bu nedenle orada neye ihtiyacınız olduğunu bulabilirsiniz. Ayrıca, vardiya ve ters çevirme olanakları ve ARPACK ile bir arayüzü vardır.

— Geoff Oxberry

ARPACK'in ters iletişim protokolü ile, $3n \times 3n$ matris açıkça: sadece hesaplayan iki fonksiyon sağlamanız gerekir:

$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} -A_0 x \\ y \\ z \end{array}\right]$ ve $\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}\right] \rightarrow \left[ \begin{array}{c} A_1 x + A_2 y + A_3 z \\ y \\ z \end{array}\right]$

(hala depolamanın bedelini ödüyorsunuz $3\times n$ boyutlu vektörler ancak matrisler için hiçbir şey ödemezsiniz).

Tersine çevirme dönüşümü ile ilgili olarak, aynısını yapabilir, yani hesaplayan bir geri arama kullanarak kendiniz uygulayabilirsiniz $x \mapsto M^{-1} x$ onun yerine $x \mapsto M x$ ve hesaplananı değiştirin $\lambda's$ ile $\lambda^{-1}$ . Hesaplamak $M^{-1}x$ , matrisinizi önceden çarpanlarına ayırabilirsiniz $M$ yalnızca ön faktoring anlamına gelir $A_0$ (matrisin yapısına bağlı olarak LU, Cholesky veya seyrek sürümlerini kullanarak). Tam vites değiştirme dönüşümü için benzer bir şeyin yapılabileceğini düşünüyorum.

— BrunoLevy
kaynak