Şekil fonksiyonunun temel açıklaması

Lisans derslerimde yaptığım şeye kıyasla FEM'i daha yapılandırılmış bir temelde çalışmaya başladım. Bunu yapıyorum çünkü "FEM" i ticari (ve diğer ticari olmayan) yazılımlarda kullanabilmeme rağmen, yöntemi destekleyen yeraltı tekniklerini gerçekten anlamak istiyorum. Bu yüzden buraya, en azından tekniğin deneyimli kullanıcısı için, temel soru ile geliyorum.

Şimdi Zienkwicz'den "Sonlu elemanlar yöntemi - Temeller" adlı oldukça popüler (sanırım) ve "mühendis dostu" bir kitap okuyorum. Bu kitabı ilk sayfadan okuyorum ama henüz şekil fonksiyonu kavramını Zienkwicz'in açıkladığı şekilde anlayamıyorum.

Okuduğum şeylerden bildiğim şey, bilinmeyenleri sonuçla ilişkilendiren bir "Sertlik" matrisinin ( : ) bileşenlerinin "düğümler arasındaki ilişkiler" den, ve eğer bu "ilişki" değişirse (yani bir Yüksek mertebeden interpolant olarak değiştirirsek), bu sertlik matrisi değişir, çünkü düğümler arasındaki ilişki değişir.$A$$Ak=b$

Ancak bu kitapta, tanım benim için oldukça bulanık, çünkü bir noktada fonksiyonu keyfi olarak, yani kimlik matrisi olarak seçebileceğinizi söylüyor:

Bulduğum tek açıklama bu blogda , ancak hala benim için çok açık değil. Yani, biri bana bir Şekil işlevinin ne olduğu ve sertlik matrisine "koymak" için nasıl yapıldığının basit bir açıklamasını verebilir mi?

Her zaman ayrık lineer sisteme odaklanan ve gereksiz yere kafa karıştırıcı geriye çalışan sonlu elemanlar yöntemlerini tanımlamak için bir yaklaşım buldum. Bu, başlangıçta biraz matematiksel gösterimi içeriyor olsa bile (ki minimumda tutmaya çalışacağım) diğer yöne gitmek çok daha açıktır.

$A u = f$$f$$u$$A$$(x,y)$$V$$V$$V$$V_h$$u_h \in V_h$$Au_h = f$$V$$Au_h-f\in V$$V_h$$v_h^T(Au_h-f) = 0$$v_h$$V_h$$u_h$$v_i^TAu_j$$K_{ij}$$v_j^Tf$$A$

$V_h$$V_h$$V_h$$x$$y$$V_h$$\{\psi_j\}$$(0,0)$$(0,1)$$(1,0)$$\psi_j$$1$$0$

$V_h$

Yapısal Mekanikte FEM'e mühendislik yaklaşımında, nasıl sunulduğu, Kısmi Diferansiyel Denklemleri çözdüğünüz hissini kaybedersiniz .

Size bu matrisleri gösteriyorlar, bazı fiziksel anlamlar veriyorlar ve bence bu sizi alan için şüpheli bir fiziksel sezgi geliştirmeye yönlendiriyor.

Geometri açısından konuyu düşünmek faydalı olabilir. PDE için bir sınır değer probleminin çözümü bir şekildir. VI Arnol bir keresinde Newton'un sahadaki başarılarını övmek, yorumlamak için söyledi - doğa bilimleri problemlerini düzlemdeki ve uzaydaki yüzeylerin geometrik problemlerine dönüştürmemize izin vererek diferansiyel denklemler alanını yaratarak muhteşem bir şey yaptı.

FEM'de çözümü yaklaşık olarak hesaplarsınız (FD ve FVM'de yönetim denklemini yaklaşık olarak hesaplarsınız).

Boris Gligorievich Galerkin'e girin. BG Galerkin ne dedi?

Dedi ki: “ Sizi istiyorum, aynı temel işlevlerle artık yapamamak için, çözümü yaratırdınız. ”

(PS Bu hikaye tamamen doğru değil ve okuyucularım varsa (Bubnov-) Galerkin yönteminin daha iyi bir açıklamasını bulmaya çağırıyorum.)

Temel işlevler veya deneme işlevleri, çözümü oluşturmak için kullandığınız işlevlerdir. Bunları çözeltinin şekline yaklaşık olarak ayarlamak için kullanırsınız.

$Ku=f$

$Ku=f$

"Şekil fonksiyonları" hakkında bilinmesi gereken en önemli şey, hesaplamak istediğiniz bağımlı değişken (ler) in (örneğin yer değiştirme) elemanın uzamsal koordinatlarının (örn. X ve y) bir fonksiyonu olarak nasıl değiştiğini tanımlamalarıdır. bazı bilinmeyen skaler parametreler.

Genellikle şekil işlevleri basit polinomlardır ve skaler parametreler, eleman düğümlerindeki bağımlı değişkenlerin değerleridir.

Bu şekil fonksiyonlarını kullanarak sonlu eleman denklemlerini oluşturmak, çözmeye çalıştığınız kısmi diferansiyel denklemin "zayıf bir formunu" oluşturmak gibi birkaç temel kavram gerektirir.

Sonlu elemanlar yöntemi ile ilişkili bir çok gereksiz "mistisizm" vardır, bu yüzden temelleri tam olarak anlamaya çalışma yaklaşımınızı teşvik ediyorum.

Alımım http://www.math.tamu.edu/~bangerth/videos.html adresindeki 4. derste . Özellikle, sonlu elemanlar metodunu kullandığımızda genellikle kullandığımız şapka fonksiyonlarını neden seçtiğimize dair bir fikir verir - yani, temel fonksiyonların diğer birçok seçeneği olsa bile, eşit derecede geçerli.

Her eleman, genelleştirilmiş katsayılar ve bağımsız değişkenler (x, y, z) açısından alan değişkeninin (bağımlı değişken) varyasyonunu ifade eden bir yer değiştirme modeliyle ilişkilendirilir, örneğin: 2 nodlu lineer için 1D u (x) = a0 + a1x eleman u (x) = a0 + a1x + a3x ^ 2 3 başlı ikinci dereceden eleman vb. için. Burada ai'ler genelleştirilmiş katsayılardır Sonra ai'leri ortadan kaldırır ve alan değişkeninin alan değişkeninin şekil fonksiyonları ve düğüm değerleri açısından varyasyonunu ifade ederiz. örneğin: u (x) = N1 u1 + N2 u2 Alan değişkeninin varyasyonunu alan değişkeninin nodal değeriyle ilişkilendiren fonksiyona “SHAPE FUNCTION” adı verilir. Şekil işlevlerinin sayısı düğüm sayısına ve düğüm başına değişken sayısına bağlıdır. Bu nedenle şekil işlevleri işlev olarak görülebilir, her düğüm değerinin elemanın iç noktalarına katkısını gösterir. İki başıyla işaretlenmiş eleman için Düğüm 1'de N1'in katkısı birliktir ve N2'nin katkısı sıfırdır.

Düğüm 2'de N2'nin katkısı birliktir ve N1'in katkısı sıfırdır.

Elemanın orta noktasında her iki düğüm de eşit ağırlığa veya etkiye sahiptir. Bu nedenle şekil işlevleri yalnızca alan değişkeninin öğe üzerinde nasıl değiştiğini değil, aynı zamanda alan değişkeninin her düğüm değerinin öğenin iç noktalarında ne kadar etkisi olduğunu gösterir. Mutlu öğrenme :)

Ayrıca şekil işlevlerini burada daha ayrıntılı olarak açıkladım: http://stochasticandlagrangian.blogspot.lt/2012/02/rayleigh-ritz-method-explained-for.html

Rayleigh-Ritz yönteminin nasıl çalıştığını görsel olarak adım adım açıklar. Bu makaleyi yazmak sonunda şekil işlevlerini anlamama yardımcı oldu.

Anladığım kadarıyla .. şekil fonksiyonları, alan değişkenleri ile düğüm noktaları arasındaki ilişkiden başka bir şey değildir.

Dünyamızın dış yüklerle basınç altında olduğunu ve dünyamızın çatlamaya başladığını varsayın. analitik yöntemle, birçok formül kullanırız ve bir kısımda (Asya Kıtası olduğunu varsayalım) dünyanın çatlamaya başladığını öğreniriz. FEM yöntemini kullanarak dünyayı farklı ülkelere, eyaletlere ve şehirlere böleriz, her şehri birbirine bağlarız ve sonunda tüm şehirlere dünya adı verilen bir dünya oluşturmak için katılırız. şekil fonksiyonları, örülmüş şehirler arasında bir devlet ve ülke ve son olarak dünya oluşturmak için bir köprü sağlayan anahtardır. ağı bağlayan bağlantıdır. Bu yapıldıktan sonra yük uygulanır ve çatlağın başladığı ve güçlendirilebileceği kesin bir yer bulunabilir.

umarım bu sana yardımcı olmuştur.

Şekil işlevleri hakkında anladığım kadarıyla, geometrik düğüm koordinatlarını aynı şekil işleviyle Öğe yer değiştirmesi ile bağlamakla ilgilidir.

Bir 1D durumu düşünün. İçinde 2 düğüm bulunan bir çubuk sona erer.

Bu elemanı düğüm koordinatları ile bağladığımda, enterpolasyon fonksiyonu yardımıyla bu elemanın herhangi bir noktasında yer değiştirmeyi bulabilirim.

Temel olarak şekil fonksiyonları, uzayda herhangi bir noktada deformasyonu övgüye değer bir şekilde bulmak için yaptığımız yaklaşımlardır.

Şekil işlevleri, öğenin herhangi bir noktasında yer değiştirmeyi, öğenin düğümlerinin yer değiştirmesiyle ilişkilendiren işlevlerdir. Şekil işlevinin eleman üzerindeki noktalara karşı grafiği, elemanın deforme olmuş "şeklini" ve dolayısıyla şekil şekli işlevini gösterir.