Dalgacık paketlerinin saçılması ile ilgili basit simülasyonları tek bir boyutta çalıştırmak istiyorum.

Tek boyutlu bir parçacık için tek boyutlu TDSE'yi sayısal olarak çözmenin basit yolları var mı? Genel olarak, kısmi diferansiyel denklemleri birleştirmek için naif yaklaşımlar kullanmaya çalışmak felaketle sonuçlanabilir. Bu nedenle hangi algoritmalar için

• sayısal olarak kararlıdır,
• Uygulaması basit veya kolayca erişilebilen kod kitaplığı uygulamalarına sahip,
• oldukça hızlı koş ve umarım
• anlaşılması oldukça kolaydır.

Ayrıca, göreceli olarak spektral yöntemlerden ve özellikle zamandan bağımsız Schrödinger denklemini her zamanki gibi çözmekten çok daha az olan yöntemlerden arındırmak istiyorum. Bununla birlikte, B-spline kullanan veya olmayan psödo-spektral yöntemlerle ilgilenirim. Metot zamana bağlı bir potansiyel alabilirse, o zaman bu kesinlikle bir bonus.

Tabii ki, böyle bir yöntemin daima bir takım dezavantajları olacaktır, bu yüzden bunları duymak istiyorum. Ne zaman işe yaramıyor? Yaygın tuzaklar nelerdir? Hangi yollara itilebilir ve hangi yollardan gelemez?

Schrödinger denklemi etkili olan reaksiyon difüzyon denklemi

$$i\frac{\partial\psi}{\partial t}=-\nabla^2\psi+V\psi\tag{1}$$ (tüm sabitler 1'dir). Herhangi bir kısmi diferansiyel denklem söz konusu olduğunda, bunu çözmenin iki yolu vardır:

1. Örtük yöntem (adv: büyük zaman adımları ve koşulsuz kararlı, dezavantajı: hatalı veri verebilen matris çözücü gerektirir)
2. Açık yöntem (adv: uygulaması kolay, dezavantajı: kararlılık için küçük timesteps gerektirir)

Parabolik denklemler için ( cinsinden doğrusal $t$ve $x$ cinsinden 2. sıra ), örtük yöntem genellikle daha iyi seçimdir. Nedenidir stabilite için durum açık yöntem gerektirir $dt\propto dx^2$ , çok küçük olacak. Zaman aşımına ilişkin herhangi bir sınırlamaya sahip olmayan kapalı yöntemi kullanarak bu sorunu önleyebilirsiniz (pratikte, fiziğin bir kısmını kaybedebileceğiniz için normalde çılgınca büyük yapmazsanız da). Daha sonra tarif edeceğim, Crank-Nicolson yöntemi , ortak ikinci derece doğru (uzay ve zaman) örtük bir şemadır.

Marşlar

Hesaplamalı olarak bir PDE'yi çözmek için, onu ayrıştırmanız gerekir (değişkenleri bir ızgaraya sığdırın). En dümdüz ileri bir dikdörtgen, Kartezyen ızgarasıdır. Burada, $n$ , zaman dizinini (ve her zaman bir süper komut dosyasıdır) ve $j$ , konum dizinini (her zaman bir alt simgedir) temsil eder. Bir kullanılarak Taylor genişleme konumu bağımlı değişken için, Denklem (1) olur V=V(x

$$i\frac{\psi^{n+1}_j-\psi_j}{dt} = -\frac12\left(\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-2\psi_j^{n+1}+\psi_{j-1}^{n+1}}{dx^2}+\frac{\psi_{j+1}^{n}-2\psi_j^{n}+\psi_{j-1}^{n}}{dx^2}\right) \\ +\frac12\left(V_j\psi_j^{n+1} +V_j\psi_j^n\right)$$ olduğunu varsaydığımız yer. Bundan sonra ne olacağı, benzer bir mekansal ve zamansal endeks grubudur (matematiği iki kez kontrol etmek isteyebilirsiniz): 1$V=V(x)$ Bu denklem formuna sahiptir (bir0A-00⋯bir+A0A-0⋯0A+A0A-⋯⋮⋮⋮⋱⋮)(ψ n + 1 0 ψ n + 1 1 ⋮ψ n + 1 J - 1 )= $$\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j+1}^{n+1}+\left(i-\frac{dt}{dx^2}-\frac12V_j\right)\psi_j^{n+1}+\frac12\frac{dt}{dx^2}\psi_{j-1}^{n+1}=\\ i\psi_j^n-\frac12\frac{dt}{dx^2}\left(\psi_{j+1}^n-2\psi_j^n+\psi_{j-1}^n\right)+\frac12V_j\psi_j^n\tag{2}$$ , bir tri-köşegen matris adı verilen ve var olanbilinen bir çözüm! (artı benim tarafından yazılan da dahil olmak üzere çalışma örnekleri). Açık yöntem tüm sol tarafında üzerinden çizikler (ya da üst çizgi söylemek gerekir?) Denklem (2) arasında haricindeiψ n + 1 j terimi. $$\left(\begin{array}{ccccc}A_0 & A_- & 0 & 0 &\cdots\\ A_+ & A_0 & A_- & 0 &\cdots\\ 0 & A_+ & A_0 & A_- &\cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n+1} \\ \psi_1^{n+1}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n+1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\psi_0^{n} \\ \psi_1^{n}\\ \vdots \\ \psi_{J-1}^{n}\end{array}\right)$$ $i\psi_j^{n+1}$

Sorunlar

Örtük yöntemlerle bulduğum en büyük sorun, bunların sınır koşullarına şiddetle bağlı olmalarıdır. Sınırlandırılmış / uygulanmış sınır koşullarınız varsa, hücrelerinizde kötü sonuçlara yol açabilecek sahte salınımlar alabilirsiniz ( benzer bir konuda SciComp postama bakın ). Bu, aslında planınızın vermesi gereken 2. değil, uzayda birinci dereceden doğruluk elde edilmesine yol açar .

Örtük yöntemlerin aynı zamanda paralelleştirilmesi de zor, ancak bunları yalnızca 1D ısı denklemleri için kullandım ve paralel desteğe ihtiyaç duymadım, bu yüzden talebi doğrulayamam ya da reddedemem.

Ayrıca, dalga fonksiyonunun karmaşık yapısının hesaplamaları nasıl etkileyeceğinden de emin değilim. Yaptığım iş Euler akışkanının dinamik denklemlerini kullanıyor ve bu nedenle tamamen negatif olmayan büyüklüklerle gerçek.

Zamana bağlı potansiyel

Eğer analitik zamana bağlı bir potansiyeliniz varsa (örn. ), o zaman şimdiki zamanı, t , (2) 'nin RHS’si üzerindeki V j ve gelecek zaman, t + d t , lhs. Bunun herhangi bir sorun yaratacağına inanmıyorum, ancak bunu test etmedim, bu yüzden bu yönü de doğrulayamıyorum veya inkar edemiyorum.$V\propto \cos(\omega t)$$t$$V_j$$t+dt$

Alternatifler

Crank-Nicolson yönteminin de ilginç alternatifleri var. İlk adım, sözde "süper zaman adımlama" yöntemidir. Bu açık bir yöntemde, (zaman adım ) ve kullanımı Chebyshev polinom köklerini hızlı bir şekilde toplamak zaman adım optimize edilmiş bir kümesini almak için d t hızlı yaparak daha d t / K adım K kez (etkili olsun Δ T = K 2 d t her bir aşama böylece K ilerler K d $dt\propto dx^2$$dt$$dt/N$$N$$\Delta T=N^2dt$$N$$Ndt$zamanında). (Bu metodu araştırmamda kullanıyorum, çünkü Crank-Nicolson şemasını kullanarak, bir işlemciden diğerine veriyi birleştirmek için kullanılan bir hücreden diğerine iyi tanımlanmış bir "akıya sahipsin".

EDIT Unutulmaması gereken bir şey, bu yöntemin zamanla ilk sırada doğru olmasıdır, ancak birlikte bir Runge-Kutta 2 yöntemi kullanırsanız, size zamanında 2. derece bir doğru şema verir.

Diğerine alternatif yön açık denir . Bu yöntem, bilinen ve iyi tanımlanmış sınır koşullarına sahip olmanızı gerektirir. Daha sonra doğrudan hesaplamada sınırı kullanarak denklemi çözmeye devam eder (her adımdan sonra uygulamanıza gerek yoktur). Bu yöntemde, PDE'yi iki kez, bir kez yukarı doğru süpürme ve bir kez aşağı doğru süpürme olarak çözersiniz. Yukarıya doğru kıvrılma kullanımları aşağı doğru süpürme işlemi∂2ψkullanırken

$$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j-1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j+1}^n}{dx^2}$$ başka koşullar aynı kalacaktır ise difüzyon denklemi için. Zaman-adımn+1, daha sonra iki yönlü taramanın ortalaması alınarak çözülür. $$\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}\approx\frac{\psi_{j+1}^{n+1}-\psi_j^{n+1}-\psi_j^n+\psi_{j-1}^n}{dx^2}$$ $n+1$

90'lı yılların başında TDSE'yi bir bilgisayarda gerçek zamanlı olarak animasyonlar yapacak kadar hızlı çözecek bir yöntem arıyorduk ve PB Visscher tarafından Fizikte Bilgisayarlarda açıklanan şaşırtıcı derecede basit, kararlı, açık bir yöntemle karşılaştık : " Hızlı ve açık bir algoritma Zamana bağlı Schrödinger denklemi için ". Visscher, eğer dalga fonksiyonunu gerçek ve hayali parçalara , ψ = R + i I , SE'nin sisteme dönüştüğünü belirtir :$\psi=R+iI$

$$\begin{eqnarray}\frac{dR}{dt}&=&HI \\ \frac{dI}{dt}&=&-HR \\ H&=&-\frac{1}{2m}\nabla^2+V\end{eqnarray}$$

Eğer işlem ise ve ben farklı zamanlarda ( R, en 0 , Δ t , 2 Δ t , . . . Ve bir de 0.5 Δ t , 1.5 Δ t , . . . ) , Sen ayrıştırmayı elde:$R$$I$$R$$0,\Delta t,2\Delta t,...$$I$$0.5\Delta t, 1.5\Delta t,...)$

$$R(t+\frac{1}{2} \Delta t)=R(t-\frac{1}{2} \Delta t)+\Delta t HI(t)$$

$$I(t+\frac{1}{2} \Delta t)=I(t-\frac{1}{2} \Delta t)-\Delta t HR(t)$$

ile

$$\nabla^2\psi(r,t)=\frac{\psi(r+\Delta r,t)-2\psi(r,t)+\psi(r-\Delta r,t)}{\Delta r^2}$$

$\Delta t$

Olasılık yoğunluğunu olarak tanımlamak

$$P(x,t)=R^2(x,t)+I(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)I(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)$$

$$P(x,t)=R(x,t+\frac{1}{2} \Delta t)R(x,t-\frac{1}{2} \Delta t)+I^2(x,t)$$ at half-integer time steps

makes the algorithm unitary, thus conserving probability.

With enough code optimization, we were able to get very nice animations computed in real-time on 80486 machines. Students could "draw" any potential, choose a total energy, and watch the time-evolution of a gaussian packet.

Kyle Kanos's answer looks to be very full, but I thought I'd add my own experience. The split-step Fourier method (SSFM) is extremely easy to get running and fiddle with; you can prototype it in a few lines of Mathematica and it is, extremely stable numerically. It involves imparting only unitary operators on your dataset, so it automatically conserves probability / power (the latter if you're solving Maxwell's equations with it, which is where my experience lies). For a one-dimensional Schrödinger equation (i.e. $x$ and $t$ variation only), it is extremely fast even as Mathematica code. And if you need to speed it up, you really only need a good FFT code in your target language (my experience lies with C++).

What you'd be doing is a disguised version of the Beam Propagation Method for optical propagation through a waveguide of varying cross section (analogous to time varying potentials), so it would be helpful to look this up too.

The way I look at the SSFM/BPM is as follows. Its grounding is the Trotter product formula of Lie theory:

$$\tag{1}\lim\limits_{m\to\infty}\left(\exp\left(\mathcal{D}\,\frac{t}{m}\right)\,\exp\left(\mathcal{V}\,\frac{t}{m}\right)\right)^m = \exp((\mathcal{D+V}) t)$$

which is sometimes called the operator splitting equation in this context. Your dataset is an $x-y$ or $x-y-z$ discretised grid of complex values representing $\psi(x,y,z)$ at a given time $t$. So you imagine this (you don't have to do this; I'm still talking conceptually) whopping grid written as an $N$-element column vector $\Psi$ (for a $1024\times1024$ grid we have $N=1024^2=1\,048\,576$) and then your Schrödinger equation is of the form:

$$\tag{2}\mathrm{d}_t \Psi = K\Psi = (\mathcal{D+V}(t)) \Psi$$

where $K = \mathcal{D+V}$ is an $N\times N$ skew-Hermitian matrix, an element of $\mathfrak{u}(N)$, and $\Psi$ is going to be mapped with increasing time by an element of the one parameter group $\exp(K\,t)$. (I've sucked the $i\hbar$ factor into the $K = \mathcal{D+V}$ on the RHS so I can more readily talk in Lie theoretic terms). Given the size of $N$, the operators' natural habitat $\mathfrak{U}(N)$ is a thoroughly colossal Lie group so PHEW! yes I am still talking in wholly theoretical terms!. Now, what does $\mathcal{D+V}$ look like? Still imagining for now, it could be thought of as a finite difference version of $i\,\hbar\,\nabla^2/(2\,m) - i\hbar^{-1}V_0 + i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t_0))$, where $V_0$ is some convenient "mean" potential for the problem at hand.

We let:

$$\tag{3}\begin{array}{lcl}\mathcal{D} &=& i\frac{\hbar}{2\,m} \nabla^2 - i\hbar^{-1}V_0\\ \mathcal{V}&=&i\hbar^{-1}(V_0-V(x,y,z,t))\end{array}$$

Why I have split them up like this will become clear below.

The point about $\mathcal{D}$ is that it can be worked out analytically for a plane wave: it is a simple multiplication operator in momentum co-ordinates. So, to work out $\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$, here are the first three steps of a SSFM/BPM cycle:

1. Impart FFT to dataset $\Psi$ to transform it into a set $\tilde{\Psi}$ of superposition weights of plane waves: now the grid co-ordinates have been changed from $x,\,y,\,z$ to $k_x,\,k_y,\,k_z$;
2. Impart $\tilde{\Psi}\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \tilde{\Psi}$ by simply multiplying each point on the grid by $\exp(i\,\Delta t (V_0-k_x^2+k_y^2+k_z^2)/\hbar)$;

3. Impart inverse FFT to map our grid back to $\exp(\Delta t\,\mathcal{D}) \Psi$

   .Now we're back in position domain. This is the better domain to impart the operator $\mathcal{V}$ of course: here $\mathcal{V}$ is a simple multiplication operator. So here is your last step of your algorithmic cycle:

4. Impart the operator $\Psi\mapsto\exp(\Delta t\,\mathcal{V}) \Psi$ by simply multiplying each point on the grid by the phase factor $\exp(i\,\Delta t\,(V_0-V(x,y,z,t))/\hbar)$

....and then you begin your next $\Delta t$ step and cycle over and over. Clearly it is very easy to put time-varying potentials $V(x,y,z,t)$ into the code.

So you see you simply choose $\Delta t$ small enough that the Trotter formula (1) kicks in: you're simply approximating the action of the operator $\exp(\mathcal{D+V}\,\Delta t)\approx\exp(\mathcal{D}\,\Delta t)\,\exp(\mathcal{V}\,\Delta t)$ and you flit back and forth with your FFT between position and momentum co-ordinates, i.e. the domains where $\mathcal{V}$ and $\mathcal{D}$ are simple multiplication operators.

Notice that you are only ever imparting, even in the discretised world, unitary operators: FFTs and pure phase factors.

One point you do need to be careful of is that as your $\Delta t$ becomes small, you must make sure that the spatial grid spacing shrinks as well. Otherwise, suppose the spatial grid spacing is $\Delta x$. Then the physical meaning of the one discrete step is that the diffraction effects are travelling at a velocity $\Delta x/\Delta t$; when simulating Maxwell's equations and waveguides, you need to make sure that this velocity is much smaller than $c$. I daresay like limits apply to the Schrödinger equation: I don't have direct experience here but it does sound fun and maybe you could post your results sometime!

A second "experience" point with this kind of thing - I'd be almost willing to bet this is how you'll wind up following your ideas. We often have ideas that we want to do simple and quick and dirty simulations but it never quite works out that way! I'd begin with the SSFM as I've described above as it is very easy to get running and you'll quickly see whether or not its results are physical. Later on you can use your, say Mathematica SSFM code check the results of more sophisticated code you might end up building, say, a Crank Nicolson code along the lines of Kyle Kanos's answer.

---

Error Bounds

The Dynkin formula realisation of the Baker-Campbell-Hausdorff Theorem:

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2 + \cdots\right)$$ converging for some $\Delta t>0$ shows that the method is accurate to second order and can show that:

$$\exp(\mathcal{D}\Delta t)\,\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) = \exp\left((\mathcal{D}+\mathcal{V})\Delta t + \mathcal{O}(\Delta t^3)\right)$$

You can, in theory, therefore use the term $\exp(\mathcal{V})\Delta t)\,\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right)$ to estimate the error and set your $\Delta t$ accordingly. This is not as easy as it looks and in practice bounds end up being instead rough estimates of the error. The problem is that:

$$\frac{\Delta t^2}{2}[\mathcal{D},\,\mathcal{V}] = -\frac{i\,\Delta t^2}{2\,m}\,\left(\partial_x^2 V(x,\,t) + 2 \partial_x V(x,\,t)\,\partial_x\right)$$

and there are no readily transformed to co-ordinates wherein $[\mathcal{D},\,\mathcal{V}]$ is a simple multiplication operator. So you have to be content with $\exp\left(-\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,\Delta t^2\right) \approx e^{-i\,\varphi\,\Delta t^2}\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right)$ and use this to estimate your error, by working out $\left(\mathrm{id} -\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2\right) \,\psi$ for your currently evolving solution $\psi(x,\,t)$ and using this to set your $\Delta t$ on-the-fly after each cycle of the algorithm. You can of course make these ideas the basis for an adaptive stepsize controller for your simulation. Here $\varphi$ is a global phase pulled out of the dataset to minimise the norm of $\left(\frac{1}{2} [\mathcal{D},\,\mathcal{V}]\,-i\,\varphi(t)\right)\,\Delta t^2$; you can of course often throw such a global phase out: depending on what you're doing with the simulation results often we're not bothered by a constant phase global $\exp\left(\int \varphi\,\mathrm{d}t\right)$.

A relevant paper about errors in the SSFM/BPM is:

Lars Thylén. "The Beam Propagation Method: An Analysis of its Applicability", Optical and Quantum Electronics 15 (1983) pp433-439.

Lars Thylén thinks about the errors in non-Lie theoretic terms (Lie groups are my bent, so I like to look for interpretations of them) but his ideas are essentially the same as the above.

Sonlu farklar zaman-etki alanı (FDTD) yöntemini kullanmanızı tavsiye ederim. Bir süre önce, sorularınızın çoğuna cevap vermesi gereken bir ders bile yazdım:

JR Nagel, "Schrödinger denklemine uygulanan sonlu farklı zaman-alan algoritmasının tekrarı ve uygulaması," ACES Journal, Vol. 24, No. 1, Şubat 2009

1D sistemler için iyi çalışan bazı Matlab kodlarım var. FDTD'nin elektromanyetikle ilgili tecrübesi varsa, kuantum mekaniği için de harika çalışır. İlgileniyorsanız kodlarımı gönderebilirim.

Temel olarak, sadece türevleri sonlu farklara bölerek doğrudan dalga fonksiyonları üzerinde çalışır. Crank-Nicholson programına benzer, ancak tam olarak değil. Eğer elektromanyetik dalga teorisinden FDTD'yi tanıyorsanız, Schrodinger denklemini çözerken FDTD çok sezgisel olacaktır.

The most straightforward finite difference method is fast and easy to understand, but is not unitary in time - so probability is not conserved. Crank-Nicholson-Crout averages the forward and backward finite difference methods to produce a hybrid implicit/explicit method that is still pretty easy to understand and to implement and is unitary in time. This site explains the method well, provides pseudocode, and gives the relevant properties:

http://www.physics.utah.edu/~detar/phycs6730/handouts/crank_nicholson/crank_nicholson/ Note: There is a - sign missing from the LHS of equation one of this link, which propagates throughout the page.

Where does the nonunitarity come from?

In a nut shell, solving the TDSE comes down to figuring out how to deal with

$| \psi(x,t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(x,0)\rangle$

which contains a differential operator in an exponential.

Applying a forward finite difference turns the differential operator into a tridiagonal matrix (converting the Reals to a grid) and the exponential into the first two terms of its Taylor series

$e^{-iHt}\approx1-iHt$

This discretization and linearization is what gives rise to the nonunitarity. (You can show that the tridiagonal matrix is not unitary by direct computation.) Combining the forward finite difference with the backward finite difference produces the approximation

$e^{-iHt}\approx \frac {1-\frac{1}{2} iHt} {1+\frac{1}{2} iHt}$

which, kindly, happens to be unitary (again you can show it by direct computation).

Buradaki birkaç cevap ve yorum, TDSE'yi dalga denklemi ile karıştırır; belki bir anlambilim sorunu, bir dereceye kadar. TDSE klasik göreceli olmayan klasik hamiltonyenlerin sayısal versiyonudur.

$$H=\frac{p^2}{2m} + V(x)= E.$$ Kuralları ile $$p \rightarrow i\hbar\partial_x,\ \ E\rightarrow i\hbar\partial_t, \ \ x\rightarrow x,$$ (d'Espagnat, Bölüm 1, kuantum mekaniğinin kavramsal temelleri, https://philpapers.org/rec/ESPCFO ) da tartışıldığı gibi , bu nedenle okur $$\left[-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{xx} + V(x)\right]\psi = i\hbar\partial_t\psi,$$ bu yüzden açıkça difüzyon benzeri bir denklem. Eğer biri E içeren relativistik enerjiyi kullandıysa$^2$ terim, sonra gibi dalga benzeri bir denklem $$\partial_{xx}\psi = \partial_{tt}\psi +\dots$$ Pauli veya Klein-Gordon denklemleri gibi (basitlik için V = 0 için) elde ederdi. Fakat bu elbette tamamen farklı bir konudur.

Şimdi, TDSE'ye geri dönülürse, açık yöntem, bahsedildiği gibi Crank-Nicolson'dur, çünkü evrimin ünitesini koruyan küçük bir genişlemedir (örneğin, FTCS değildir). 1-uzay-D vakası için, bir matris yineleme, okuma okunabilir

$$\vec{\psi}^{n+1}=({\cal I} + \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})^{-1} ({\cal I} - \frac{i\tau}{2\hbar}\tilde{H})\vec{\psi}^{n}$$ ile ${\cal I}$ kimlik matrisi ve $$H_{jk}=(\tilde{H})_{jk}=\frac{-\hbar^{2}}{2m}\left[\frac{\delta_{j+1,k}+\delta_{j-1,k}-2\delta_{jk}}{h^{2}}\right]+V_{j}\delta_{jk}.$$ (Ayrıntılar, örneğin, fizik için sayısal yöntemlerde, http://algarcia.org/nummeth/nummeth.html , AL Garcia). Periyodik sınır koşullarında en belirgin şekilde görüldüğü gibi, yer-yerelleştirilmiş$\psi$ zamanla yayılır: başlangıç ​​beklenir çünkü bu beklenir $\psi$sabit Schroedinger denkleminin bir özdeğeri değil, bir süperpozisyonudur. (Klasik masif serbest parçacık) sabit momentumlu eigenstat (göreceli olmayan kinetik operatörü için) basitçe$\psi_s=e^{ikx}/\sqrt{L}$yani, her yerde sabit olasılık yoğunluğu 1 / L olan olasılıksız bir şekilde, her yerde sabit olasılık yoğunluğuyla (tamamen partikül sınırlı) (partikülümün sınırlı, periyodik olarak tekrarlanan bir çizgide yaşamaya devam etmesiyle, süreklilik durumları ile normalleşme sorunlarından kaçınıyorum). CN, norm kullanarak $$\int |\psi|^2 dx$$ unitarity sayesinde korunur (bu, örneğin FTCS gibi diğer programlarda geçerli değildir). Bu arada, bunun gibi bir enerji baskısından başladığına dikkat edin. $$cp=E$$ ile $c$ sabit, alırsın $$ic\hbar\partial_x=i\hbar\partial_t$$ yani dispersiyonu olmayan (Lax-Wendroff yöntemleriyle düzgün bir şekilde entegre edilmişse) tavsiye denklemi ve dalgalı çantanız bu durumda zamanla yayılmayacaktır. Kuantum analogu, kütlesiz parçacık Dirac denklemidir.