Sonlu bir jeneratör seti verilen Lie cebir matrisinin temelini nasıl hesaplayabilirim?

(Sayısal) kare kompleks matrislerin herhangi bir küme verilen , I ile oluşturulan gerçek matris Lie cebir işlem ilgilenen am , çağrı . Yani, burada özyinelemeli olarak ve için . $\mathcal{A}=\{A_1,A_2,\cdots,A_m\}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{L_\mathcal{A}}$

L_{bir} = s p bir n_{R,} {B : B \in \cup_{k = 1}^{\infty} C_{k}}

$\mathcal{L_\mathcal{A}} = \mathbb{span_R}\{B:B\in\cup_{k=1}^{\infty}\mathcal{C}_k\}$

C_{k}

$\mathcal{C}_k$

C_{1} = A

$\mathcal{C_1}=\mathcal{A}$

C_{k + 1} = {[X, Y] : X, Y \in \cup_{j = 1}^{k} C_{j}}

$\mathcal{C_{k+1}}=\{[X,Y]:X,Y\in\cup_{j=1}^k\mathcal{C_j}\}$

k \geq 1

$k\geq 1$

Bu hesaplama (kuantum) kontrol teorisinde ortaya çıkar.

Şu anda burada tekrarlanan Lie parantezleri (yani ) ve sonlandırılacağı garanti edilir. Ancak başka (daha hızlı) yöntemler olup olmadığını bilmek istiyorum. Belki P. Hall üslerini mi kullanıyorsunuz? Belki özyinelemeli bir algoritma? Şu anda varsayılan dilim Matlab. $[A_{j_1},[A_{j_2},[A_{j_3},\cdots[A_{j_{n-1}},A_{j_n}]\cdots]]]$

linear-algebra matlab basis-set

— Ian Hincks
kaynak

Orijinal jeneratörlerinizin Hermitili olduğunu tahmin ediyorum. Bu doğru mu? Eğer öyleyse, ilk adımın jeneratörlerin öz uzamlarını karşılaştırmak olacağını düşünürüm, çünkü komütatörler öz uzamalar farklı olduğunda sıfır değildir.

— Jack Poulson

@JackPoulson Evet, A'lar Hamiltonyalılardan geliyorlar ve bu yüzden çarpık Hermitiyenler (Hermityalı değil, çünkü Schroedinger denklemindeki i ile çarpılıyorlar). Bunun neden iyi bir ilk adım olacağını anladığımdan emin değilim. Komütatörleri hesaplamak ve sıfır olup olmadıklarını kontrol etmek, eigenspaces ile uğraşmaktan daha hızlı olmaz mı?

— Ian Hincks

Tek bir komütatör seviyesi için, muhtemelen evet. Ancak birkaç seviye komütatör düşünmeye başladığınızda kombinatoryal bir patlama olur. Bir algoritma bilmiyorum, ama genellikle olabildiğince fazla yapıyı kullanmak iyi bir fikirdir. Jeneratörlerinizi de ilgilendiren başka özellikleri bilip bilmediğinizi dikkatlice düşünürüm.

— Jack Poulson

Bu link P. Hall üslerini kullanarak bunun nasıl yapılacağını açıklar.

$A - p(A)$ $A$ $p$

— Erik P.
kaynak

@EricP Bağlantı için teşekkürler, çok faydalı. P. Hall üslerini sadece sağlam bir kavrayışım olmayan serbest Lie cebirleri bağlamında görmüştüm ve doğrusal bağımlılıktan kurtulma konusundaki sezgimin doğru olduğunu bilmekten memnunum. Sayısal doğruluk, çok endişelendiğim bir şey. Yani p (A) normunu A normuyla karşılaştırmam gerekir mi? Ve bunun Ap (A) normunu 0 ile karşılaştırmaktan daha kararlı olacağını?

— Ian Hincks

‖ A - p (A) ‖

$\Vert A - p(A) \Vert$

‖ A ‖

$\Vert A \Vert$

R^{n^{2}}

$\mathbb{R}^{n^2}$

n^{2} \times k

$n^2 \times k$