Şamandırasız Eisenstein sayılarını temsil etme

9

Ben ikinci dereceden alanları kullanmanız gereken bir proje var Özellikle ile formun sayıları . $a + b \sqrt{-3}$ $a,b \in \mathbb{Q}$

Örneğin, Eisenstein tamsayılarındaki asal sayılar şunlardır :

Adaçayı kullanmak istemiyorum. Dahil etmek için kendi veri türümü yazmak istiyorum numpy. PARI faydalı olacaktır - ancak Python ile uyumlu değildir.

Bu nesneler için oldukça açıktır $(a_{1} + b_{1} \sqrt{- 3}) + (a_{2} + b_{2} \sqrt{- 3}) = (a_{1} + a_{2}) + (b_{1} + b_{2}) \sqrt{- 3}$ $(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) + (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 + a_2) + (b_1+b_2) \sqrt{-3}$
Çarpma biraz daha hassastır, ancak onu da zor bir şekilde kodlayabiliriz $(a_{1} + b_{1} \sqrt{- 3}) \times (a_{2} + b_{2} \sqrt{- 3}) = (a_{1} a_{2} - 3 b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1}) \sqrt{- 3}$ $(a_1 + b_1 \sqrt{-3}) \times (a_2 + b_2 \sqrt{-3}) = (a_1 a_2 - 3 b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)\sqrt{-3}$
Veri tipimin de bölünmeyi barındırması gerekiyor. Basit olması için karşılıklı: $\frac{1}{a + b \sqrt{- 3}} = \frac{a - b \sqrt{- 3}}{a^{2} + 3 b^{2}}$ $\frac{1}{a + b \sqrt{-3}} = \frac{a - b \sqrt{-3}}{a^2 + 3b^2}$

nin matris cinsinden nasıl yazılabileceğine benzer şekilde, bu işlemleri kodlamanın doğal bir matris tabanlı yolu var mı? $\mathbb{C}$ $2 \times 2$

(\begin{array}{cc} a & b \\ - b & a \end{array})

$\left( \begin{array}{cc} a & b \\ -b & a \end{array}\right)$

Belki de yukarıda belirtilen üç işlemle işlemleri üçlü olarak kodlayacağım. Herhangi bir fikir?

linear-algebra precision

— john mangual
kaynak

10

For Eğer gösterimi kullanabilir Toplama besbelli çalışır. Çarpma için , temsili korur, böylece bir halka homomorfizması vardır. $a+b\sqrt{-3}$

(\begin{matrix} a & - 3 b \\ b & a \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a&-3b\\b&a\end{pmatrix}$

(\begin{matrix} a_{1} & - 3 b_{1} \\ b_{1} & a_{1} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{2} & - 3 b_{2} \\ b_{2} & a_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} a_{2} - 3 b_{1} b_{2} & - 3 (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2}) \\ a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} & a_{1} a_{2} - 3 b_{1} b_{2} \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a_1&-3b_1\\b_1&a_1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_2&-3b_2\\b_2&a_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a_1a_2-3b_1b_2&-3(a_1b_2+b_1a_2)\\a_1b_2+b_1a_2&a_1a_2-3b_1b_2\end{pmatrix}$

Matrisin determinantını almak (kare) normu , böylece karşılıklılıklar beklendiği gibi ters matrislere karşılık gelir. $a^2+3b^2$

Zaten tamsayı ve ortak payda kullanacağınızı varsaydığım üçlüyü kullanmayı zaten düşündünüz . Bu yaklaşım matris gösterimlerinde de yararlı olabilir.

Güncelleme : Matris gösterimleri için genel bir yöntem eşlik eden matrisi kullanır . Örneğin, yerine temsil etmek istediğinizi varsayalım , böylece . Tamamlayıcı matrisi isimli , ve tüm ilgili halka gibi işlemler bu davranır kendisi. Tabii ki, olarak temsil edilebilir ; Bu nedenle bir matris biçimi olan $a+b\omega$ $\omega=\exp(\frac{2\pi\mathrm{i}}{3})$ $\omega^2+\omega+1=0$ $\omega$ $\begin{pmatrix}0&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ $\omega$ $1$ $\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$ $a+b\omega$

(\begin{matrix} a & - b \\ b & a - b \end{matrix})

$\begin{pmatrix}a&-b\\b&a-b\end{pmatrix}$ Bunun bir halka homomorfizması olduğunu doğrulamak isteyebilirsiniz. Ayrıca, bunu görmek kolaydır. Çarpma için, karşılık gelen formüller artık

\begin{aligned} (a_{1} + b_{1} ω) (a_{2} + b_{2} ω) & = (a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) + (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) ω \\ (\begin{matrix} a_{1} & - b_{1} \\ b_{1} & a_{1} - b_{1} \end{matrix}) (\begin{matrix} a_{2} & - b_{2} \\ b_{2} & a_{2} - b_{2} \end{matrix}) & = (\begin{matrix} a_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} & - (a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - b_{1} b_{2}) \\ a_{1} b_{2} + b_{1} a_{2} - b_{1} b_{2} & a_{1} a_{2} - a_{1} b_{2} - b_{1} a_{2} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} (a_1+b_1\omega)(a_2+b_2\omega)&=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\omega \\\begin{pmatrix}a_1&-b_1\\b_1&a_1-b_1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_2&-b_2\\b_2&a_2-b_2\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}a_1a_2-b_1b_2&-(a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2)\\ a_1b_2+b_1a_2-b_1b_2&a_1a_2-a_1b_2-b_1a_2\end{pmatrix} \end{align}$

— ccorn
kaynak

2

Kayan nokta hataları yapabiliriz gibi ben her şey için kesin rasyonel aritmetik istiyorum tahmin ediyorum değil bile olduğunu. Bunun için SymPy paketine bir göz atmak isteyebilirsiniz ; eğer rasyonel veri türlerini doğrudan kullanmazsanız, kendi elinizdeki sürümünüz için ilham kaynağı olabilir. Daha sonra ikinci dereceden alan türünüzü, seçtiğiniz rasyonel sayı türünün üzerine inşa edebilirsiniz. $1/z$ $\mathbb{Q}[\sqrt{-3}]$ $z$

Alanınızın unsurlarını nasıl temsil ederseniz edin, "sihirli yöntemler" kullanarak Python'daki operatörleri aşırı yükleyebilirsiniz. Ayrıca Python'da kendi sayısal türünüzü oluşturmak için bu SO yayınına bakın .

İkinci dereceden bir alanın bir öğesinin bir temsilini rasyonel sayıların 2 x 2 matrisi veya bir çift rasyonel sayı olarak kodlayan çok daha fazla iş olacağını düşünmüyorum, çünkü aritmetik işlemler bu kadar karmaşık değil. Ancak, ikinci yaklaşımın daha hızlı olacağını düşünüyorum.

— Daniel Shapero
kaynak

1

numpyHızlandırılmış matris işlemlerinin pratik performansını kullanıcı tanımlı veri türleriyle karşılaştırmak ilginç olabilir . Kazanın ne olacağından emin değilim.

— korniş

Evet bu doğru, numpy'nin işleri daha hızlı hale getirmek için C tarafında çok sayıda Cython + el kodlu optimizasyonu var. Aynı etkiyi elde etmek için bazılarını kendiniz tekrarlamanız gerekir. Bununla birlikte, işlevsellik önce gelmelidir ve daha sonra hız hakkında endişelenebilirsiniz.

— Daniel Shapero